物理-力学　　2015/6-2011　　Yuji.W

◎ 角運動量　太陽　地球　惑星　自転　公転

◇ ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#　|<A>|=A
微分;　時間微分'　積分$　10^x=Ten(x)　e^(i*x)=expi(x)　物理定数 ★

◆ 惑星の公転運動　円運動　質量 m　太陽からの距離 D　角速度 w　周期 T　角運動量 L

太陽の質量 Ms　地球の質量 Me　地球-太陽 De　地球の角運動量 Le

● 力学的相似により　公転角運動量 ∝ root(軌道半径)　公転角運動量 ∝ 周期^(1/3)

■ w*T=2Pi　L=m*D*(D*w)=m*D^2*(2Pi/T)=2Pi*m*D^2/T

ケプラーの法則より　T^2/D^3=4*Pi^2/(G*Ms)

　L=m*root(G*Ms)*root(D)

　Le
=root(G*Ms)*Me*root(De)
=root[1.33*Ten(20)]*[5.97*Ten(24)]*root[1.50*Ten(11)]
=[5.97*Ten(24)]*root[13.3*1.50*Ten(30)]
~[5.97*Ten(24)]*[4.47*Ten(15)]
~2.67*Ten(40)_kg*m^2/sec

　L/Le=(m/Me)*root(D/De) ★

★ 火星　Mm/Me=0.11　Dm/De=1.52　root(1.52)~1.23

　Lm/Le=0.11*1.23~0.135

◆ 月の公転運動　円運動　質量 m　地球からの距離 D　角速度 w　周期 T　角運動量 L

太陽の質量 Ms　地球の質量 Me　地球-太陽 De　地球の角運動量 Le

■ L=m*root(G*Me)*root(D)

　L/Le=(m/Me)*root(Me/Ms)*root(D/De)

　m/Me~0.0123　Ms/Me=333400　root(333400)~577

　De/D=[1.50*Ten(11)]/[3.844*Ten(8)]~390　root(390)~19.7

　L/Le=0.0123/(577*19.7)=1.08*Ten(-6)

■ 自転する球(半径 r)　質量 m　自転角速度 w　自転周期 T

　球の慣性モーメント I=(2/5)*m*r^2　自転角運動量 S=I*w

★ 地球の慣性モーメント Ie
=(2/5)*6*Ten(24)*[6.4*Ten(6)]^2
~9.8*Ten(37)　　測定値 8.02*Ten(37)

※ 中心に近いほど密度は大きいので、実際の慣性モーメントは小さくなる。

　地球の自転角運動量 Se
~8.02*Ten(37)*2Pi/[8.64*Ten(4)]
~5.8*Ten(33)

　公転角運動量L(earth)、自転角運動量S(earth)の比を求めると、

  L(earth):S(earth)=2*R*R/T:(4/5)*r*r/t=3790000〜380万倍

★ 月の慣性モーメント Im
=(2/5)*7.3*Ten(22)*[1.8*Ten(6)]^2
~9.5*Ten(34)　　測定値 8.87*Ten(34)

　自転角運動量 Sm
~8.87*Ten(34)*2Pi/[27.32*8.64*Ten(4)]
~2.4*Ten(29)

　Se/Sm=[5.8*Ten(33)]/[2.4*Ten(29)]~24000

■ 計算してみよう。

・自転角運動量は、それぞれの天体の内部の密度は場所によって変化せず、一定であるとしている。

・それぞれの量は、地球の値を1として計算して求めた概数である。計算では、もっと詳しい値を使っている。

・地球の公転角運動量/自転角運動量=380万

・惑星の自転角運動量は、地球の自転角運動量の何倍であるかを示している。
元々、地球の自転角運動量は非常に小さいので、惑星の自転角運動量は無視できる。

・太陽の自転角運動量は、地球の公転角運動量の38倍であり、地球の自転角運動量の1億5000倍である。

・太陽系全体の角運動量=太陽の自転角運動量+惑星の公転角運動量
=1160*(地球の公転角運動量)

■ 太陽系全体の角運動量の62%を木星(公転)が、25%を土星(公転)が占める。太陽(自転)は3%に過ぎない。太陽系ができる時に、角運動量が、木星や土星に伝わっていったことを示している。

■ 上の計算では、小惑星や彗星を考えに入れていない。それぞれの質量は小さくても、総量は多くなるだろうから、角運動量に影響を与えるかもしれない。

■ 実際の天体の観測では、木星が70%、土星が27%、太陽が2%の角運動量を占めるというデータがある。

★ 太陽系の角運動量 ★