◎ 球面の焦点距離　最小時間の原理

累乗^　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　ベクトル<A>　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　2階微分;;x　時間微分y'　定積分${f(x)*dx}[x:a~b]〔物理定数〕 ★_

● 平ぺったい直角三角形　斜辺 s　他の2辺 h,a　h/s<<1　Δ=s-a

　a=root(s^2-h^2)=s*root[1-(h/s)^2]=s*[1-(1/2)*(h/s)^2

　Δ=s-root(s^2-h^2)=(1/2)*s*(h/s)^2=(1/2)*h^2/s

■ 球面(半径R)のガラスの軸に近い部分だけを考える。空気中の点Oから出た光が、いろいろな経路をとり、ガラスの中の1点O'(球の中心ではない)に集まるとしよう。始点O、ガラス球の中心、終点O'は、一直線上にある。

<経路2-折れ線>同じ始点O、同じ終点O'で、空気とガラスの境目のPを通る経路。かかる時間は、経路1と同じ最小値を取らなくてはならない。

点Pから軸OO'への垂線の足Q　PQ=h
空気中の距離=OP=s　ガラス中の距離=O'P=s'
空気中の光の速さ(c/n1)、ガラス中の光の速さ(c/n2)
経路2にかかる時間=s*n1/c+s'*n2/c

<経路1-直線>直線OO'を進む経路。最小時間の原理により、そのかかる時間は最小。

ガラスが丸くなっていて出っ張っている分の長さ=h^2/2R　に注意して、
空気中を進むのにかかる時間=(s-h^2/2s-h^2/2R)n1/c
ガラス中を進むのにかかる時間=(s'-h^2/2s'+h^2/2R)n2/c

経路1にかかる時間=(s-h^2/2s-h^2/2R)n1/c+(s'-h^2/2s'+h^2/2R)n2/c

2つの経路にかかる時間は等しくてはならないので、

sn1/c+s'n2/c=(s-h^2/2s-h^2/2R)n1/c+(s'-h^2/2s'+h^2/2R)n2/c

=> n1/s+n2/s'=(n2-n1)/R

=> 空気中の1点からでた光は、球面のガラスの中の1点に必ず集まる。sが変われば、s'も変わるが、どこか1点には集まる。同様に、ガラスの中の1点から出た光は、空気中の1点に必ず集まる。

■ 空気中の平行光線(s=∞)の時、ガラス中の焦点距離f'　f'=R*n2/(n2-n1)

ガラス中の平行光線(s'=∞)の時、空気中の焦点距離f　f=R*n1/(n2-n1)

=> n1/s+n2/s'=1/f

　★　球面の焦点距離　★