物理　電磁気

2015/8-2012/1　Yuji.W

☆ファラデーの法則☆

◎ 磁場が時間変化すると、電場が生まれる　電磁誘導　electronmagnetic induction

ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#
微分;　時間微分'　積分$　10^x=Ten(x)　e^(i*x)=expi(x)　物理定数 ★ 2015/08/03

◎ Maxwell方程式から、ファラデーの法則を作る

■ 起電力(emf)
=単位電荷あたりに働く力の接線成分を、電線にそって積分したもの
=単位電荷が回路を一周する時に得る仕事量

　起電力の単位　[V]=[N/C]*[m]=[J/C]

■ Maxwellの法則�A <curl<E>>=-<B>' の両辺を、閉曲線内で面積分すると、

　左辺=$${<curl<E>>*<dS>}[面]=${<E>}*<ds>}[閉曲線]

　右辺=-$${<B>'*<dS>}=-{$${<B>*<dS>}'

　起電力=${<E>}*<ds>}[閉曲線]=-{$${<B>*<dS>}'

≫　起電力[V]=-磁束の時間変化率[Wb/sec] ★ ファラデーの電磁誘導の法則

※ 閉曲線は、実際の回路でなくてもよく、空間上の任意の閉曲線について、ファラデーの法則は成り立つ。

※ 磁場が変化しなくても、導体を磁場中で動かせば、ローレンツ力を受け、起電力が生じる。

★ コイル　250巻　1/100_sec で磁束が 4*Ten(-4)_Wb -> 0

　起電力=250*[4*Ten(-4)]/(1/100)=10_V

■【渦電流】金属板の磁束が変化し、電磁誘導により、金属内に生じる渦状の電流。

■【アルミ】磁石にはくっつかない。しかい、アルミの近くで、磁石を動かすと、そのアルミは、磁石についていこうとする。アルミ内に渦電流が生じ、磁束ができているからである。

■ アルミなどの導体でできた輪または円盤を、コイルの近くに置く。コイルに電流を流す。磁場が生じる。導体には、電流が流れる。磁場の向きは、コイルによって磁場と反対である。導体は、コイルから離れる力を受ける。

■ 超伝導体などの完全導体(抵抗0)perfect conductor の近くに、磁石を持ってくる。導体にうず電流が流れる。磁石の磁場とうず電流の磁場がちょうど相殺されるようになる。仮に、相殺されないと、抵抗0であるから、電流は無限大に大きくなってしまう。無限大にはならないので、磁場は相殺される。いったんできた渦電流は減衰せず流れ続ける。

その状況は、あたかも、磁石の磁場が、完全導体に入り込まないように見える。(マイスナー効果)

完全導体を皿のような形にすれば、磁石を空中に浮かすことができる。

■ 磁場内で、導体を動かそうとすると、うず電流が生じ、止まろうとする。

■ 交流誘導モーター　磁場が回転するようにする。導体もそれにつられて回る。

■ 遮蔽(しゃへい)電極形誘導モーター　電磁石の近くにアルミ円板を置く。2つの間の一部にアルミ板を置くと、渦電流が生じ、その部分だけ、アルミ円板に届く磁場の変化が少しずつ遅れる。アルミ円板が回る。

◎ 一様な磁場　長方形回路の面積を増やす

◆ 一様な磁場 B0　磁場に垂直な平面上に長方形回路　

長方形の1辺(長さ L)を横に引っ張り、長方形の面積を増やす　動かす速さ v

動かすのに必要な力 F　長方形内の磁束 Φ　流れる電流 I

■ 長方形の面積が増える割合 L*v　Φ'=B0*L*v　回路に起電力が生じる

　その起電力 emf=Φ'=B0*L*v　その電流が消費する仕事率 I*emf=I*B0*L*v　�@

一方　F=I*B0*L　一辺を引っ張るのに必要な仕事率=F*v=I*B0*L*v　�A

　�@=�A

◎ 長方形回路を、磁場のない所から、磁場のある所へ動かす

◆ 長方形回路(xy平面にある　縦 a　横 b)　抵抗 R

磁場 z軸方向に一様な磁場 B0　ただし、x>0 のみあるとする

長方形の右辺は、時刻 0 で、x=0　その後回路全体が右に速さ v で動く

回路は、磁場に侵入していく　時刻 t　0<t<b/v を考える

■ 時刻 t での、回路内の総磁場量 B0*a*v*t　起電力 B0*a*v

　電流 B0*a*v/R

■ 長方形回路にかかる力 F

上辺と下辺にかかる力はつり合う　右辺にかかる力だけを求めて、

　F=(B0*a*v/R)*B0*a=B0^2*a^2*v/R　�@

　仕事=F*b=B0^2*a^2*b*v/R

■ 電力量=(B0*a*v/R)^2*R*(b/v)=B0^2*a^2*b*v/R　�A　　�@=�A

{素晴らしい!2014/5}

◎ 磁場中の円回路の半径を変えると、起電力が生じる

◆ 円回路　半径 r　垂直に一様な磁場B

■ ファラデーの法則　emf=(Pi*r^2*B)'=2Pi*B*r*r'　�@

■ 単位電荷が受けるローレンツ力=B*r'

長さ 2Pi*r で　emf=(B*r')*2Pi*r=2Pi*B*r*r'　�A　　�@=�A

◎ 円回路の磁場の大きさを変えると、電流が流れる

◆ 円回路　半径 R　その中を垂直に通る磁場 B

電線の線密度抵抗 Ω　全抵抗=2Pi*r*Ω　流れる電流 I

以下、大きさのみを考える。

■ emf=B'*(4Pi*R^2)

オームの法則より　B'*(4Pi*R^2)=I*(2Pi*R*Ω)

　B'=I*Ω/(2*R)

★ I=1〔A〕　Ω=1〔Ω〕　R=0.1〔m〕

　B'=5〔J/C〕=〔T/sec〕

0.2_T の磁石を、 0.04〔sec〕で振り切ればよい

◆ xy平面に正方形回路(1辺 L　抵抗 Ｒ)　磁場 <B>=<zu>*C/x^2

正方形回路は x軸方向に、速さ v で等速で動く

正方形の一番後が、時刻 0 で原点にある　以下 t>0 を考える

■ x=v*t　x1=v*t　x2=v*t+L

正方形回路の磁束 ψ(t)=L*C*${(1/x^2)*dx}[x:x1~x2]

　ψ(t)'
=L*C*[${(1/x^2)*dx}];x*x'[x:(v*t)~(v*t+L)]
=L*C*v*[1/x^2][x:x1~x2]
=L*C*v*(1/x2^2-1/x1^2)
=-L*C*v*[1/(v*t)^2-1/(v*t+L)^2

t=2*L/v のとき　ψ(t)'
=-L*C*v*[1/(2*L)^2-1/(3*L)^2]
=-5*C*v/(36*L)

　起電力=5*C*v/(36*L)

{別解}　左辺へのローレンツ力(単位電荷当たり)=-<yu>*v*C/(v*t)^2

　右辺へのローレンツ力(単位電荷当たり)=-<yu>*v*C/(v*t+L)^2

　起電力
=ローレンツ力の差*長さ
=v*C*L*[1/(v*t)^2-1/(v*t+L)^2]

t=2*L/v のとき　起電力=v*C*L*[1/(2*L)^2-1/(3*L)^2]=5*C*v/(36*L)

★ ファラデーの法則 ★