ビリアル定理Uz

☆お勉強しようUz☆　物理.力学

2016/3-2012/10　Yuji.W

☆ビリアル定理☆

◎ 運動エネルギーの平均と位置エネルギーの平均の関係　十分に長い時間による平均 @

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　　物理定数 ★.

◇逆2乗則の力による等速円運動◇

◎ 力 ∝ -1/r^2　運動エネルギーと位置エネルギーの関係

◆ 1質点　質量 m　等速円運動　原点を中心　半径 r=一定　角速度 w=一定

原点に向かう引力　距離の2乗に反比例　F=-k/r^2

運動エネルギー K=(1/2)*m*(r*w)^2　位置エネルギー U=-k/r　全エネルギー E

※ 等速円運動だから、K,U,E は一定

■ 運動方程式　m*r*w^2=k/r^2　w^2=(k/m)/r^3

　U=-k/r

　K=(1/2)*m*r^2*[(k/m)/r^3]=(1/2)*k/r

　E=K+U=(1/2)*k/r-k/r=-(1/2)*k/r

　K:U:E=1:-2:-1 ★.

☆1次元調和振動子のエネルギーの関係☆

◎ 力 ∝ -k*x　運動エネルギーの平均と位置エネルギーの平均の関係

◆ 1次元調和振動子　重り[質量 m]　バネ定数 k　変位 x　振幅 x0

力=-k*x　root(k/m)=w　2Pi/w=T 周期

運動エネルギー K　位置エネルギー U　その平均 @K,@U　全エネルギー E

■【運動】x=x0*cos(w*t)　x'=-x0*w*sin(w*t)

■【運動エネルギー】

　K=(1/2)*m*x'^2=(1/2)*m*x0^2*w^2*sin(w*t)^2

　@K=(1/2)*m*x0^2*w^2*@[sin(w*t)^2]

ここで　@[sin(w*t)^2]=1/2　だから、

　@K=(1/4)*m*x0^2*w^2=(1/4)*m*x0^2*(k/m)=(1/4)*k*x0^2

■【位置エネルギー】

　U=(1/2)*k*x^2=(1/2)*k*x0^2*cos(w*t)^2

ここで　@[cos(w*t)^2]=1/2　だから、

　@U=(1/4)*k*x0^2

■【ビリアル定理】

1次元調和振動子　@K:@U:E=1:1:2 ★.

◇円運動-バネ◇

★ バネの場合、ビリアル定理は単純な形にならない。

+---(k)---●m

◆ バネの先に質量 m　円運動　バネ係数 k　バネの元々の長さ L　のび (r-L)

■ 力はいつでも回転の中心に向いているが、力の大きさは、中心からの距離の何乗かに比例していないので、ビリアル定理は単純な形にならない。

■ m*v^2/r=k*(r-L)

　@K=(1/2)*m^v^2=(1/2)*k*r*(r-L)

@(<F1>*<r1>+<F2>*<r2>+…)=-k*r*(r-L)

2*@K+@(<F1>*<r1>+<F2>*<r2>+…)=0 が成り立つ。

ちなみに、U=(1/2)*k*(r-L)^2

◇1質点のビリアル定理◇

◆ 1質点　質量 m　位置 <r>　運動量 =m*<r>'

その粒子への力 <F>　運動エネルギー K=(1/2)*m*(<r>')^2　十分に長い時間平均 @

ビリアル Vi=<r>*=m*<r>*<r>'　※ ビリアルは、スカラー量

<r>,<r>' は有限な場合に限定する。任意の時刻において　Vi は有限

※ ビリアルは G で表す事が多い。

■ ビリアルの時間微分 Vi'=m*<r>''*<r>+m*<r>'*<r>'=<F>*<r>+2*K

十分に長い時間間隔 0~T の平均をとると、

　左辺={${Vi'*dt}[t:0~T]}/T=[Vi(T)-Vi(0)]/T

時刻 T におけるビリアル Vi(T)　時刻 0 におけるビリアル Vi(0)　だから、

　Vi(T) , Vi(0) は有限　十分に長い時間がたてば　左辺=0　①

右辺も、十分に長い時間間隔 0~T の平均をとると、

右辺=@(<F>*<r>)+2*@K　②

①②より　@(<F>*<r>)=-2*@K ★.

■ 逆2乗則の力 <F>=-<ru>*k/r^2　U=-k/r

@(<F>*<r>)=-@(<ru>*<r>*k/r^2)=-@(k/r)=@U

　@U=-2*@K　E=@K+@U=-@K ★.

■ 距離に比例する力 F=-k*x　U=(1/2)*k*x^2

@(<F>*<r>)=-k*@(x^2)=-2*@U

　@K=@U ★.

「ビリアル定理-1質点」　2015/3　◇ 十分に長い時間平均 @

◆ 1質点　位置 <r>　その粒子への力 <F>　<r>,<r>' が有限

■ 逆2乗則の引力 <F> ∝ -<ru>/r^2　のとき　@K:@U:E=1:-2:-1

■ 距離に比例する力 <F> ∝ -<r>　のとき　@K:@U:E=1:1:2

※ 両方とも、無限遠へ押しやる方向の力が働く場合は、成り立たない。

◇1質点のビリアル定理◇

◆ 1質点　質量 m　位置 <r>　運動量 =m*<r>'

その粒子への力 <F>　運動エネルギー K=(1/2)*m*(<r>')^2　十分に長い時間平均 @

ビリアル Vi=<r>*=m*<r>*<r>'　※ ビリアルは、スカラー量

<r>,<r>' は有限な場合に限定する。任意の時刻において　Vi は有限

※ ビリアルは G で表す事が多い。

■ ビリアルの時間微分 Vi'=m*<r>''*<r>+m*<r>'*<r>'=<F>*<r>+2*K

十分に長い時間間隔 0~T の平均をとると、

　左辺={${Vi'*dt}[t:0~T]}/T=[Vi(T)-Vi(0)]/T

時刻 T におけるビリアル Vi(T)　時刻 0 におけるビリアル Vi(0)　だから、

　Vi(T) , Vi(0) は有限　十分に長い時間がたてば　左辺=0　①

右辺も、十分に長い時間間隔 0~T の平均をとると、

右辺=@(<F>*<r>)+2*@K　②

①②より　@(<F>*<r>)=-2*@K ★.

■ 逆2乗則の力 <F>=-<ru>*k/r^2　U=-k/r

@(<F>*<r>)=-@(<ru>*<r>*k/r^2)=-@(k/r)=@U

　@U=-2*@K　E=@K+@U=-@K ★.

■ 距離に比例する力 F=-k*x　U=(1/2)*k*x^2

@(<F>*<r>)=-k*@(x^2)=-2*@U

　@K=@U ★.

「ビリアル定理-1質点」　2015/3　◇ 十分に長い時間平均 @

◆ 1質点　位置 <r>　その粒子への力 <F>　<r>,<r>' が有限

■ 逆2乗則の引力 <F> ∝ -<ru>/r^2　のとき　@K:@U:E=1:-2:-1

■ 距離に比例する力 <F> ∝ -<r>　のとき　@K:@U:E=1:1:2

※ 両方とも、無限遠へ押しやる方向の力が働く場合は、成り立たない。

☆質点系のビリアル定理☆

◆ 質量 m1,m2,　位置 <r1>,<r2>,　運動量 <p1>,<p2>,

その粒子への力 <F1>,<F2>,　ビリアル Vi=<r1>*<p1>+<r2>*<p2>+…

<r>,は有限

■ 1質点のビリアル定理を拡張すれば、

2*@K+@(<F1>*<r1>+<F2>*<r2>+…) ★.ビリアル定理(質点系)

◆ U(r)=K*r^(n+1)　K=定数

F(r)=-K*grad[r^(n+1)]=-<ru>*K*(n+1)*r^n

■ <F1>=-<ru>*K*(n+1)*r1^n　<F2>=-<ru>*K*(n+1)*r2^n　…

@(<F1>*<r1>+<F2>*<r2>+…)
=-K*(n+1)*@(r1^(n+1)+r2^(n+1)+…)
=-(n+1)*@U

　2*@K-(n+1)*@U=0 ★.ビリアル定理{U(r) ∝ r^(n+1)}

◇ビリアル定理◇

「同次関数のオイラーの定理」

◆ k次の同次関数

任意の定数 α に対して　f(α*x,α*y, … )=α^k*f(x,y, … )

■ (f;x)*x+(f;y)*y+…=k*f

■ <x,y,…>=<r>　<grad(f)>*<r>=k*f

● 時間平均 @f(t)=lim[T->∞]{(1/T)*${f(t)}dt[t:0->T]}

さらに、f(t)=F(t);t であて、有界であるとき、

　@[F(t);t]=lim[T->∞]{(1/T)*${F;t}dt[t:0->T]}
=lim[T->∞]{(1/T)*[F(T)-F(0)]}=0

◆ 位置エネルギー U(α*x,α*y,…)=α^k*U(x,y,…)　同次関数

系の運動は有界

■ @(<F>*<r>)=-@(<grad(U)*<r>>)=-k*@U

　2*@K-k*@U=0 ★.ビリアル定理{U:同次関数}

■ 全エネルギー E=@K+@U

　@K=[k/(k+2)]*E　@U=[2/(k+2)]*E ★.

■ 重力　U ∝ 1/r　k=-1　2*@K+@U=0　@K=-E >0　@U=2*E <0

■ ばね　U ∝ r^2　k=2　@K=@U　@K=@U=E/2

◇ビリアル定理(重力系)◇

◎ 質点系、重力のみが働く場合

◆ 2質点(質量 m1,m2)　位置 <r1>,<r2>　r12=|<r1>-<r2>|

(<r1>-<r2>)/r12=<r12u>

　U=-G*m1*m2/r12

<F1>=-<r12u>*G*m1*m2/r12^2
　<F2>=+<r12u>*G*m1*m2/r12^2

■ <r1>*<F1>+<r2>*<F2>
=-(<r1>-<r2>)*<r12u>*G*m1*m2/(r12)^2
=-G*m1*m2/r12
=U

@(<r1>*<F1>+<r2>*<F2>)=@U

　2*@K+@U=0 ★.ビリアル定理(2質点自己重力系)

◆ 3質点(質量 m1,m2,m3)　位置 <r1>,<r2>,<r3>

r12=|<r1>-<r2>|　…　(<r1>-<r2>)/r12=<r12u>　…

<r21u>=-<r12u>　…

　U=-G*(m1*m2/r12+m2*m3/r23+m1*m3/r13)

<F1>=-G*m1*(<r12u>*m2/r12^2-<r31u>*m3/r31^2)
　<F2>=-G*m2*(<r23u>*m3/r23^2-<r12u>*m1/r12^2)
　<F3>=-G*m3*(<r31u>*m1/r31^2-<r23u>*m2/r23^2)

■ -(<r1>*<F1>+<r2>*<F2>+<r3>*<F3>)/G
=<r1>*<r12u>*m1*m2/r12^2-<r1>*<r31u>*m3*m1/r31^2
+<r2>*<r23u>*m2*m3/r23^2-<r2>*<r12u>*m1*m2/r12^2
+<r3>*<r31u>*m3*m1/r31^2-<r3>*<r23u>*m2*m3/r23^2
=(<r1>-<r2>)*<r12u>*m1*m2/r12^2
+(<r2>-<r3>)*<r23u>*m2*m3/r23^2
+(<r3>-<r1>)*<r31u>*m3*m1/r31^2
=m1*m2/r12+m2*m3/r23+m3*m1/r31^2

@(<r1>*<F1>+<r2>*<F2>+<r3>*<F3>)
=-G*@(m1*m2/r12+m2*m3/r23+m3*m1/r31^2)
=@U

　2*@K+@U=0 ★.ビリアル定理(3質点自己重力系)

{わ-いできた!2014/3}

■ 拡張して、質点系、互いに重力のみ及ぼしあう系で、

　2*@K+@U=0 ★.ビリアル定理(自己重力質点系)

◇銀河団◇

★ 銀河団の質量を、ビリアル定理を使って見積もろう。

「暗黒物質」

■ Fritz Zwick　1934年　ビリアル定理を使い、かみのけ座銀河団の質量を見積もった。それまで見えていた質量の400倍であった。何かまだ観測されていない物質があるということになった。

● かみのけ座銀河団　Coma cluster　Abell 1656

1000個以上の銀河　3.21億光年

● G*M(sun)~1.3*Ten(20)_m^3/sec^2

◆ 銀河を質点、銀河団を質点系とみなす。銀河が銀河団の中で動き回る速さから、銀河団の質量を見積もる。

銀河　平均質量 m　銀河1個のランダムな動きの平均速度 V　視線方向の成分 v

　V^2=3*v^2　v~Ten(6)_m/sec　V^2~3*Ten(12)_m/sec

銀河の数 n　銀河団の質量 M=n*m　銀河団の半径 R~3*Ten(6)_pc~9.3*Ten(22)_m

銀河団の運動エネルギー K　位置エネルギー U

■ K=n*(1/2)*m*V^2=M*V^2/2　U=-G*M^2/R

ビリアル定理より　2*K=|U|

　M*V^2=G*M^2/R

　G*M=R*V^2

　M/M(sun)=(G*M)/[G*M(sun)]=R*V^2/[G*M(sun)]

　M/M(sun)
=[9.3*Ten(22)]*[3*Ten(12)]/[1.3*Ten(20)]
~2*Ten(15)

≫　M/M(sun)~2*Ten(15) ★.

　★　ビリアル定理　★　