物理-力学 2018/4-2012 Yuji.W
☆ 地球内部での運動 ☆
★・地球内部での運動 地球内を自由に動ける物質を、赤道上から落とす。どう運動するだろうか。物質は、重力に反応するとする。
◆地球は球形 密度は一様 自転角速度 w 赤道面 xy平面
■まず、自転の効果を考慮しない場合を考える。次に自転の効果も考える。
◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
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◇地球◇ |
●R(earth)~6.4*Ten(6)_m
M(earth)~6*Ten(24)_kg G*M(earth)~4.0*Ten(14)
■周期=24_hour=60*60*24_sec=8.64*Ten(4)_sec
角振動数=2(Pi)/T~7.27*Ten(-5)_1/sec
■赤道上の遠心力=m*R*w^2
~m*[6.4*Ten(6)]*[7.27*Ten(-5)]^2*(質量)
~3.38*Ten(-2)*(質量)_N~0.003*(質量)_kg重
{注}地表面の重力~9.8*(質量)_N
■赤道上で 遠心力:重力~0.003~0.3% ★
■赤道上の地表面の速さ~6.4*Ten(6)*7.27*Ten(-5)
~465_m/sec~1670_km/hour
■地表面を円運動する R*W^2=GM/R^2
W=root[GM/R^3}=root{4.0*Ten(14)/[6.4*Ten(6)]^3}
~root[1.53*Ten(-6)]~1.24*Ten(-3)_1/sec
速さ=R*W~6.4*Ten(6)*1.24*Ten(-3)=7.94*Ten(3)_m/sec
周期=2(Pi)/W~5000_sec~80_min
■赤道上で 地表面の速さ:円運動の速さ~0.06~6% ★
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◇地球の重力◇ |
●地球の密度_g/cm^3 平均
5.5
表面 3 マントル 5 外核 12 内核 13 中心 13
◆質量が一様に広がる球の重力場 G(r)
密度 (rho)=一定 半径 R 総質量 M=(4/3)*(rho)*(Pi)*R^3
K=G*M/R^3
{注}地球は、密度一様でない。地球の中心密度=
■球の外側 G(r>R)=-G*M/r^2 V(r>R)=-G*M/r
■球の内側 半径 r より内側にある質量は、M*(r/R)^3
G(r<R)=-G*[M*(r/R)^3]/r^2=-(G*M/R^3)*r=-K*r
V(r<R)=+(1/2)*K*r^2+積分定数=+(1/2)*K*[r^2-3*R^2]
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◇慣性系 初速度0◇ |
◆[+]慣性系で 質点 m を、初速度 0 で放す。
■質点 m に働く力=-m*K*r ⇒ r''=-K*r
1次元のバネ(調和振動子)と同じになる。
地球の場合、K=G*M/R^3=4.0*Ten(14)/[6.4*Ten(6)]^3~1.52*Ten(-6)
角速度=root[K]~1.24*Ten(-3)
周期=2(Pi)/root[K]~5000_sec~80_min
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◇慣性系 初速度あり◇ |
◆[+]慣性系で 半径と垂直な方向に質点を投げる。
■運動を、xy成分で分解すると、成分ごとに、距離に比例する引力を原点から受け、調和振動(単振動)になる。2つの調和振動の角振動数や周期は一致している。両方合わせると、軌道は、楕円を描く。周期~80_min
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◇自転する地球で、物をそっと放す◇ |
[◎]回転系(地球の赤道上) 質点を、そっと放す。地球の重力(内向き)と遠心力(外向き)を受ける。遠心力は、重力の 0.3% なので、質点は中心に向かって動き始める。動き出すと、コリオリ力を受け、曲線を描くようになる。まっすぐ、中心に向かわない。 ★
[+]慣性系 地球は自転しているから、そこで初速度 0 で、そっと放しても、慣性系(静止系)では、半径に垂直な方向に、初速度 465_m/sec で投げたことになる。 ⇒ 「慣性系、初速度あり」の場合になる。
⇒ 質点は、楕円運動をする。 ★
■円運動をするためには、8000_m/sec で投げればよい。今は、465_m/sec だから、約 6% の速さで投げたことになる。楕円の短径は長径の約 6% になると考えられる。
地球の半径*6%~400_km ★ 地球の中心から、この程度ずれる。
[+]慣性系での楕円運動は、[◎]回転系では、どういう軌道になるのか。今、考えている問題は、回転の効果が非常に小さいので、非常に細長い楕円とほぼ変わらない。
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◇10秒間落ちると◇ |
◆地表で、そっと物を放す。慣性系(静止系)では、地球は自転しているから、横向きに 500_m^sec で投げたことになる。10秒後を考えてみる。
横向きに 5000_m 移動する。下には、5*10^2=500_m 落ちる。
■半径 r 中心角 a の扇形の円周上の長さ x
半径 (r-h) 同じ中心角 a の扇形の円周上の長さ x-Δx
x=r*a x-Δx=(r-h)*a
Δx=h*x/r これだけ、長さが短くなる
■横向きに 5000_m、下向きに 500_m 移動すると、地球の中心に向かった場合より、Δx だけ長くなる。
Δx=h*x/r~500*5000/[6.4*Ten(6)]~0.4_m
まっすぐ中心に向かうよりは、10秒間で、40_cmほどずれることになる。
{思っていたより大きい!コリオリ力、おそるべし!}