物理-力学  2014/7-2012 Yuji.W

地球内部での運動  

 ・地球内部での運動 地球内を自由に動ける物質を、赤道上から落とす。どう運動するだろうか。物質は、重力に反応するとする。

◆地球は球形 密度は一様 自転角速度 w 赤道面 xy平面

■まず、自転の効果を考慮しない場合を考える。次に自転の効果も考える。

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 10^x=Ten(x)
ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 成分<>:x 内積* 外積#
e^(x)=exp(x)=E(x) e^(i*x)=expi(x)=Ei(x) 微分;x 
時間微分' 物理定数

◇地球◇

●R(earth)~6.4*Ten(6)_m

M(earth)~6*Ten(24)_kg G*M(earth)~4.0*Ten(14)

■周期=24_hour=60*60*24_sec=8.64*Ten(4)_sec

 角振動数=2(Pi)/T~7.27*Ten(-5)_1/sec

■赤道上の遠心力=m*R*w^2
~m*[6.4*Ten(6)]*[7.27*Ten(-5)]^2*(質量)
~3.38*Ten(-2)*(質量)_N~0.003*(質量)_kg重

{注}地表面の重力~9.8*(質量)_N

■赤道上で 遠心力:重力~0.003~0.3% 

■赤道上の地表面の速さ~6.4*Ten(6)*7.27*Ten(-5)
~465_m/sec~1670_km/hour

■地表面を円運動する R*W^2=GM/R^2

 W=root[GM/R^3}=root{4.0*Ten(14)/[6.4*Ten(6)]^3}
~root[1.53*Ten(-6)]~1.24*Ten(-3)_1/sec

 速さ=R*W~6.4*Ten(6)*1.24*Ten(-3)=7.94*Ten(3)_m/sec

 周期=2(Pi)/W~5000_sec~80_min

■赤道上で 地表面の速さ:円運動の速さ~0.06~6% 

◇地球の重力◇

●地球の密度_g/cm^3 平均 5.5
 表面 3 マントル 5 外核 12 内核 13 中心 13

◆質量が一様に広がる球の重力場 G(r)

密度 (rho)=一定 半径 R 総質量 M=(4/3)*(rho)*(Pi)*R^3

 K=G*M/R^3

{注}地球は、密度一様でない。地球の中心密度=

■球の外側 G(r>R)=-G*M/r^2 V(r>R)=-G*M/r

■球の内側 半径 r より内側にある質量は、M*(r/R)^3

 G(r<R)=-G*[M*(r/R)^3]/r^2=-(G*M/R^3)*r=-K*r

 V(r<R)=+(1/2)*K*r^2+積分定数=+(1/2)*K*[r^2-3*R^2]

◇慣性系 初速度0◇

◆[+]慣性系で 質点 m を、初速度 0 で放す。

■質点 m に働く力=-m*K*r ⇒ r''=-K*r

1次元のバネ(調和振動子)と同じになる。

地球の場合、K=G*M/R^3=4.0*Ten(14)/[6.4*Ten(6)]^3~1.52*Ten(-6)

 角速度=root[K]~1.24*Ten(-3)

 周期=2(Pi)/root[K]~5000_sec~80_min

◇慣性系 初速度あり◇

◆[+]慣性系で 半径と垂直な方向に質点を投げる。

■運動を、xy成分で分解すると、成分ごとに、距離に比例する引力を原点から受け、調和振動(単振動)になる。2つの調和振動の角振動数や周期は一致している。両方合わせると、軌道は、楕円を描く。周期~80_min

◇自転する地球で、物をそっと放す◇

[◎]回転系(地球の赤道上) 質点を、そっと放す。地球の重力(内向き)と遠心力(外向き)を受ける。遠心力は、重力の 0.3% なので、質点は中心に向かって動き始める。動き出すと、コリオリ力を受け、曲線を描くようになる。まっすぐ、中心に向かわない。 

[+]慣性系 地球は自転しているから、そこで初速度 0 で、そっと放しても、慣性系(静止系)では、半径に垂直な方向に、初速度 465_m/sec で投げたことになる。 ⇒ 「慣性系、初速度あり」の場合になる。

 ⇒ 質点は、楕円運動をする。 

■円運動をするためには、8000_m/sec で投げればよい。今は、465_m/sec だから、約 6% の速さで投げたことになる。楕円の短径は長径の約 6% になると考えられる。

 地球の半径*6%~400_km  地球の中心から、この程度ずれる。

[+]慣性系での楕円運動は、[◎]回転系では、どういう軌道になるのか。今、考えている問題は、回転の効果が非常に小さいので、非常に細長い楕円とほぼ変わらない。

◇10秒間落ちると◇

◆地表で、そっと物を放す。慣性系(静止系)では、地球は自転しているから、横向きに 500_m^sec で投げたことになる。10秒後を考えてみる。

横向きに 5000_m 移動する。下には、5*10^2=500_m 落ちる。

■半径 r 中心角 a の扇形の円周上の長さ x

半径 (r-h) 同じ中心角 a の扇形の円周上の長さ x-Δx

 x=r*a x-Δx=(r-h)*a

 Δx=h*x/r これだけ、長さが短くなる

■横向きに 5000_m、下向きに 500_m 移動すると、地球の中心に向かった場合より、Δx だけ長くなる。

 Δx=h*x/r~500*5000/[6.4*Ten(6)]~0.4_m

まっすぐ中心に向かうよりは、10秒間で、40_cmほどずれることになる。

{思っていたより大きい!コリオリ力、おそるべし!}

 地球内部での運動 

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