物理 力学

2013/9-2011　Yuji.W

◎トルク　力のモーメント　角運動量　☆angular momentum　接線 tangent

◎ 力を受け運動をする質点　回転運動でなくてよい。

● <r>#<A>
=<y*Az-z*Ay , z*Ax-x*Az , x*Ay-y*Ax>
=r*A*sin(∠rOA)*<rA⊥u>
=A*(原点から<A>までの距離)*<rA⊥u>
=r*(<A>の接線方向成分)*<rA⊥u>　<r>,<A>が作る平面に垂直

■ 原点におけるトルク <N>
=<r>#<F>
=r*F*sin(∠rOF)*<rF⊥u>
=<y*Fz-z*Fy , z*Fx-x*Fz , x*Fy-y*Fx> ★ <r>,<F>が作る平面に垂直

　原点における角運動量 <L>
=m*<r>#<v>
=m*r*v*sin(∠rOv)*<rv⊥u>
=<y*vz-z*vy , z*vx-x*vz , x*vy-y*vx> ★ <r>,<v>が作る平面に垂直

●z軸の周りのトルク Nz
=x*Fy-y*Fx
=z軸の周りに回転させようとする大きさ
=力の大きさ*力ベクトルを通る直線と原点との距離
=[力の方位角方向(接線方向)成分]*(原点のその位置との距離)

●z軸の周りの角運動量 Lz
=m*(x*y'-y*x')
=z軸の周りに回転しようとする勢い
=運動量の大きさ*速度ベクトルを通る直線と原点との距離
=[運動量の方位角方向(接線方向)成分]*(原点のその位置との距離)

■<L>=m*<r>#<r>' ★

時間微分を考えると、

　<L>'=m*<r>'#<r>'+m*<r>#<r>''=<r>#<F>=<N> ★

　<N>=0 のとき　<L>'=0 ★ 角運動量保存の法則

▲角運動量の時間微分の方向は、トルクの方向と同じになるのであって、力の方向と同じにならない。力の方向と垂直になる。 ★ {誤解しやすい!2013/9}

{ベクトルの微分は、大きさだけでなく、向きまでも計算してくれる。よくできているなあ!2013/12}

◆ある慣性座標系で、力 <F> が、位置 <r> で働く。

その原点におけるトルク(力のモーメント) <N>=<r>#<F>

　位置 <h> を新しい原点としたときの任意の位置 <r_h>=<r>-<h>

　新しい原点におけるトルク <N_h>

一般に、not[<N>=<N_h>]

※位置ベクトル <r> は、原点を変えれば、その成分も当然変わるし、ベクトルの大きさや方向そのものも変わる。
力 <F> は、原点を変えれば、その成分は当然変わるが、ベクトルの大きさや方向は変わらない。原点の位置に関係なく、ひとつのベクトルで表せる。 ★ {大事なことだ!2013/9}

■複数の力のトルクを考える。ただし、<F1>+<F2>+…=0 の場合を考える。

　<N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…

　<N_h>
=<r1_h>#<F1>+<r2_h>#<F2>+…
=(<r1>-<h>)#<F1>+(<r2>-<h>)#<F2>+…
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…-<h>#(<F1>+<F2>+…)
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…
=<N> ★

力の合計が 0 ならば、トルクの大きさは、どの位置におけるものでも同じ。
原点の位置を、都合のいいように、適当に選ぶことができる。

■2点でのトルクが0であれば、外力の合計=0 となる。 ★

{証明}点0でのトルク<N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…=0
別の点 <h> でのトルク <N_h>
=(<r1>-<h>)#<F1>+(<r2>-<h>)#<F2>+…=0
ただし、<h>は0でない。このとき、

　0
=<N_h>
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…-<h>#(<F1>+<F2>+…)
=<N>-<h>#(<F1>+<F2>+…)
=-<h>#(<F1>+<F2>+…)

　<h>は0でないので、<F1>+<F2>+…=0 ★

■まとめると、

�@力の合計が 0 ならば、トルクの大きさは、どの位置におけるものでも同じ。

�A2点でのトルクが0であれば、外力の合計=0 となる。

したがって、剛体のつりあいを考えるときに、次のどちらの立式でもよい。

�@外力=0 & トルク=0 ★

�A2点でのトルク=0 ★ {これを使うと、便利な事が多い!}

{高校でちゃんと教えてほしかった!なんとなく使ってましたが…!2013/9}