物理-量子力学 2014/8-2012 Yuji.W
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☆黒体放射☆ |
◎
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★.微分;x 時間微分' ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積# e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x) cos(a)=Ca cos(2*x)=C2x sin(b)=Sb tan(x)=Tx |
| ☆☆ |
| 「プランクの法則 1900 Planck law」 ■ 光子(温度 T 周波数 f)の平均エネルギー U=h*f/{exp[h*f/(k*T)]-1} ■ 黒体(温度 T 単位表面積)が、λ〜λ+dλ の波長の光を単位時間に放射するエネルギー F(λ) F(λ)=[2(pi)*h*c^2/λ^5]/{exp[hc/(λk*T)]-1} ■ エネルギーのピーク 2.9*Ten(6)_nm ■ エネルギーは、ピークのエネルギーの 30倍程度まで、分布する。 |
■
| ☆黒体☆ |
■ 黒体 外部から入射する電磁波を、あらゆる波長で完全に吸収し、また放出できる
温度 T の黒体から放射される、波長 λ の強度 B
B(λ)=(2*h*c^2/λ^5)/{exp[h*c/(λ*k*T)]-1}
=(2*h*f^3/c^2)/{exp[h*f/(k*T)]-1} ★プランク分布
| ☆プランクの法則☆ |
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「部分積分を使って」 ■
${x*exp(ax)}dx=${x*[(1/a)exp(ax)]'}dx ■
${x*exp(-ax)}dx=${x*[-(1/a)exp(-ax)]'}dx ■ ${x*exp(-ax)}dx[x:0->∞]=+1/a^2 |
● ボルツマン分布
■ 光子(温度 T 周波数 f エネルギー u)の数 N
N ∝ exp(-u/k*T) エネルギーは連続とすれば、
エネルギーの平均 U
U=${u*N}du/${N}du[u:0->∞]=(k*T)^2/(k*T)=k*T ★
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「等比数列の無限級数」-1<r<1 ■ 1+r+r^2+r^3+…=1/(1-r) ■ r+2*r^2+3*r^3+4*r^4+…=r/(1-r)^2 |
■光子(温度 T 周波数 f エネルギー u)の数 N
N ∝ exp(-u/k*T) エネルギーは h*f の整数倍しか取らないとすれば、
エネルギーの平均 U exp[-h*f/(k*T)]=1/exp[h*f/(k*T)]=r
U=[h*f*r+2h*f*r^2+3h*f*r^3+…]/[1+r+r^2+r^3+…]
=[h*f*r/(1-r)^2]/[1/(1-r)]=h*f*r/(1-r)=h*f/(1/r-1)
=h*f/{exp[h*f/(k*T)]-1} ★
プランクの法則
▲ h*f->0 で U->k*T
■ グラフ 1/{[x^5*[exp(a/x)-1]}
上から a=1 a=1.2 a=1.4
ピークは
5=a/x {注}正確には、4.965…
● k=1.38*Ten(-23)_J/K hc~6.6*Ten(-34)*3*Ten(8)=1.98*Ten(-25)
■ エネルギーのピークになる波長 λ=hc/(5*k*T)
λ*T=hc/(4.968k)=1.99*Ten(-25)/[4.965*1.38*Ten(-23)]
=2.90*Ten(-3)_m=2.9*Ten(6)_nm ★
{計算例}T=300
λ=9700_nm T=1500 λ=1900_nm~赤外線
T=5000 λ=580_nm~可視光
★ 黒体放射 ★