◇ラプラシアン2Uz

　数学　微分

2016/1-2013/3　Yuji.W

☆Laplacian2☆

◎ ベクトルに対するラプラシアン

〔表記〕ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#〔物理定数〕
微分 y;x　2階微分 y;;x　時間微分 y'　積分 ${f(x)*dx}　定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^　10^x≡Ten(x)　exp(i*x)≡expi(x)　複素共役 z! ★.2015/11/13

☆△☆

◎ Laplacian △　スカラー関数とベクトル関数、両方に作用することができる。

◆ スカラー関数 f(x,y,z)　ベクトル関数 <A(x,y,z)>=<Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)>

■ △f=f;;x+f;;y+f;;z　△<A>=<△Ax,△Ay,△Az> ★.

他にも　∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)　△=∇^2

△f=div<grad(f)>　と考えることもできる

『2階微分の意味.Laplacianの意味』　2015/9

◆ y=f(x)　微少量 h　2地点 x-h , x+h　2地点の平均 Avg[f(x),h]=[f(x+h)+f(x-h)]/2

　へこみ量 D[f(x),h]=Avg[f(x),h]-f(x)

■ f;;x=2*D[f(x),h]/h^2

◆ 2変数　f(x,y)　微少量 h

4地点 (x+h,y) , (x-h,y) , (x,y+h) , (x,y-h)

4地点の平均 Avg[f(x,y),h]=[f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)]/4

　へこみ量 D[f(x,y),h]=Avg[f(x,y),h]-f(x,y)

■ f;;x+f;;y=4*D[f(x,y),h]/h^2

◆ 3次元　f(x,y,z)　微少量 h

6地点 (x+h,y,z) , (x-h,y,z) , (x,y+h,z) , (x,y-h,z) , (x,y,z+h) , (x,y,z-h)

　6地点の平均 Avg[f(x,y,z),h]
=[f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)]/6

　へこみ量 D[f(x,y,z),h]=Avg[f(x,y,z),h]-f(x,y,z)

■ ラプラシアン △f(x,y,z)=f;;x+f;;y+f;;z=6*D[f(x,y,z),h]/h^2

☆簡単なスカラー関数の Laplacian☆

「laplacian」　△=div<grad(f)>

■ デカルト座標(x,y,z)　△f=f;;x+f;;y+f;;z

■ 球対称スカラー関数 f(r)　△f(r)=f;;r+2*(f;r)/r

■ 円柱対称スカラー関数 f(r.)　△f(r.)=f;;r.+(f;r.)/r.

★ <grad(x)>=<xu>　div<xu>=0　△x=x;;x=0

★ <grad(x^2)>=<xu>*2*x　div(<xu>*2*x)=2　△x^2=(x^2);;x=2

★ <grad(1/r)>=-<ru>/r^2　div(-<ru>/r^2)=0

　△(1/r)=(1/r);;r-(2/r^2)/r=2/r^3-2/r^3=0

★ <grad(r^2)>=<ru>*2*r　div(<ru>*2*r)=(2*r^3);r/r^2=6

　△r^2=r^2;;r+2*(r^2;r)/r=2+4=6

★ <grad[ln(r.)]>=<r.u>/r.　div(<r.u>/r.)=0

　△ln(r.)=ln(r.);;r.+ln(r.);r./r.=-1/r.^2+1/r.^2=0

★ <grad(r.^2)>=<r.u>*2*r.　div(<r.u>*2*r.)=(2*r.^2);r./r.=4

△r.^2=r.^2;;r.+r.^2;r./r.=2+2=4

「簡単なスカラー関数の Laplacian」

〓◆〓　r=root(x^2+y^2+z^2)　r.=root(x^2+y^2)

　△=div<grad(f)>=f;;x+f;;y+f;;z

● △f(r)=f;;r+2*(f;r)/r　△f(r.)=f;;r.+(f;r.)/r.

■ △x=0　△x^2=2

■ △(1/r)=0　△r^2=6

■ △ln(r.)=0　△r.^2=4

☆△☆

◎ Laplacian △　スカラー関数とベクトル関数、両方に作用することができる。

■ デカルト座標(x,y,z)

　∇=<xu>*(;x)+<yu>*(;y)+<zu>*(;z)

　△=∇^2=(;;x)+(;;y)+(;;z)

　<△<A>>=<△Ax,△Ay,△Az>

スカラー関数 φ に対して　△φ=div<grad(φ)>

「nabla,grad,div,curl,laplacian」

◆ デカルト座標(x,y,z)

■ ∇=<;x , ;y , ;z>

　<grad(f)>=<f;x , f;y ,f;z>

　div<A>=Ax;x+Ay;y+Az;z

　<curl<A>>=<Az;y-Ay;z , Ax;z-Az;x , Ay;x-Ax;y>

　△f=f;;x+f;;y+f;;z

◆ 円柱座標(r.,b,z)　円柱座標での成分表示 <>_c

■ ∇=<;r , (1/r.)*(;b) , ;z>_c

　<grad(f)>=<f;r. , f;b/r. ,f;z>_c

　div<A>=Ar.;r.+Ar./r.+Ab;b/r.+Az;z=(r.*Ar.);r./r.+Ab;b/r.+Az;z

　<curl<A>>=<Az;b/r.-Ab;z , Ar.;z-Az;r. , Ab;r.+Ab/r.-Ar.;b/r.>_c

　△f=f;;r.+f;r./r.+f;;b/r.^2+f;;z

※ (r.*f;r.);r.=f;r.+r.*f;;r.　[(r.*f;r.);r.]/r.=f;r./r.+f;;r.

■ <grad[f(r.)>=<r.u>*f;r.

　div(<r.u>*Ar.)=Ar.;r.+Ar./r.=(r.*Ar.);r./r.

　curl(<r.u>*Ar.)=<0 , Ar.;z , -Ar.;b/r.>_c

　△f(r.)=[(r.*f;r.);r.]/r.

★ △r.^2=4　△ln(r.)=0

◆ 球座標(r,a,b)　球座標での成分表示 <>_s

■ ∇=<;r , (1/r)*(;a) , [1/(r*Sa)]*(;b)>_s

　<grad(f)>_s=<f;r , f;a/r , f;b/[r*sin(a)]>_s

　div<A>=(Ar;r+2*Ar/r)+Aa;a/r+Aa/[r*tan(a)]+Ab;b/[r*sin(a)]

　<curl<A>>_s
=<[sin(a)*Ab];a/[r*sin(a)]-Aa;b/[r*sin(a)] ,
Ar;b/[r*sin(a)]-(r*Ab);r/r , (r*Aa);r/r-Ar;a/r>_s

　△f=f;;r+2*f;r/r++f;;a/r^2+f;a/[r^2*tan(a)]+f;;b/[r^2*sin(a)^2]

※ (r^2*f;r);r=2*r*f;r+r^2*f;;r　[(r^2*f;r);r]/r^2=2*f;r/r+f;;r

■ <grad[f(r)]>=<ru>*f;r

　div(<ru>*Ar)=Ar;r+2*Ar/r=(r^2*Ar);r/r^2

　<curl(<ru>*Ar)>=<0 , Ar;b/[r*sin(a)] , -Ar;a/r>_s

　△f(r)=[(r^2*f;r);r]/r^2

★ △r^2=6　△(1/r)=0

■

☆△(f*g)☆

■ f(x,y,z)　g(x,y,z)

　(f*g);;x=(f;x*g+f*g;x);x=f;;x*g+2*f;x*g;x+f*g;;x

　△(f*g)
=(f*g);;x+(f*g);;y+(f*g);;z
=(f;;x+f;;y+f;;z)*g
+2*(f;x*g;x+f;y*g;y+f;z*g;z)
+f*(g;;x+g;;y+g;;z)
=△f*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*△g

　△(f*g)=△f*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*△g ★

☆△[f(r.)]☆

◆ 円柱座標(r.,a,z)　△f(r.)=f;;r.+f;r./r.

● r.;;x=1/r.-x^2/r.^3

　(r.^n);;x=n*r.^(n-2)+n*(n-2)*x^2*r.^(n-4)

　(x*r.^n);;x=3*n*x*r.^(n-2)+n*(n-2)*x^3*r.^(n-4)

■ △(r.^n)=n*(n-1)*r.^(n-2)+n*r.^(n-1)/r.=n^2*r.^(n-2) ★

{別解}△r.^n
=(r.^n);;x+(r.^n);;y
=n*r.^(n-2)+n*(n-2)*x^2*r.^(n-4)+n*r.^(n-2)
+n*(n-2)*y^2*r.^(n-4)
=2*n*r.^(n-2)+n*(n-2)*r.^(n-2)
=n^2*r.^(n-2)

★ △(r.^3)=9*r.　△(r.^2)=4　△r.=1/r.　△(定数)=0　△(1/r.)=1/r.^3

★ △ln(r.)=-1/r.^2+(1/r.)/r.=0

■ △f(r.)=0 を満たすのは、f(r.)=定数 or. f(r.) ∝ ln(r.)

円柱座標(r.,a,z)　r.=r.oot(x^2+y^2)

● △(f*g)=△f*g+2*<grad(f)>*<grad(g)>+f*△g

　<grad(r.^n)>:x=n*r.^(n-1)*x/r.=n*x*r.^(n-2)

■ △(x*r.^n)
=△x*r.^n+2*<grad(x)>*<grad(r.^n)>+x*△(r.^n)
=0+2*n*x*r.^(n-2)+x*n^2*r.^(n-2)
=n*(n+2)*x*r.^(n-2) ★

{別解}△(x*r.^n)
=(x*r.^n);;x+(x*r.^n);;y
=3*n*x*r.^(n-2)+n*(n-2)*x^3*r.^(n-4)
+x*[n*r.^(n-2)+n*(n-2)*y^2*r.^(n-4)]
=4*n*x*r.^(n-2)+n*(n-2)*x*r.^(n-2)
=n*(n+2)*x*r.^(n-2)　{別解を求めると、勉強になる!2013/3}

☆Laplace's equation☆

■ Laplace's equation △[f(r.)]=0 ⇒ f=1/r.　ただし、r.=0 を除く

■ φ=f(r.)*cos(a)=f(r.)*z/r.　△[φ]=0
f(r.) が r. で級数展開できるとき、

　φ=b*z+c*z/r.^3

■ 円柱座標(r.,a,z)　r.^2=x^2+y^2
φ=f(r.)*cos(a)=f(r.)*x/r.　△[φ]=0
f(r.) が r. で級数展開できるとき、

　φ=b*x+c*x/r.^2

☆距離r.だけの関数のポアソン方程式☆

■ 円柱座標(r.,a,z)　△[f(*<yu>)=-b'*<r.u> ★

{別解}<ru> と <bu> は、大きさは1で変化しないが、方向は時間と共に変わっていく。<ru>⊥<bu>

時間 t～t+Δt の変化に対して、r～r+Δr、b～b+Δb と変化するとする。

　Δ<ru>=Δb*<au>　Δ<bu>=Δb*(-<r.u>)　⇒

●デカルト座標(x,y,z)と球座標(r,a,b)

■球座標(r,a,b)

　<ru>'
=a'*(Ca*Cb*<xu>+Ca*Sb*<yu>-Sa*<zu>)
+b'*Sa*(-Sb*<xu>+Cb*<yu>)
=a'*<au>+b'*Sa*<bu> ★

　<au>'
=-a'*(Sa*Cb*<xu>+Sa*Sb*<yu>+Ca*<zu>)
+b'*Ca*(-Sb*<xu>+Cb*<yu>)
=-a'*<ru>+b'*Ca*<bu> ★

　<bu>'
=-b'*(Cb*<xu>+Sb*<yu>)
=-b'*<r.u>
=-b'*(Sa*<ru>+Ca*<au>) ★

　★　laplacian　★　