◎ ヤコビアン　Jacobian

◇ ベクトル<A>　単位ベクトル<Au>　内積*　外積#　〔物理定数〕
◆ ネイピア数 e　虚数単位 i　exp(i*x)=expi(x)　微分;x　積分$　10^x=Ten(x)

■【 2重積分.変数変換 】

デカルト座標 (x,y)　関数 f(x,y)　新しい変数 u(x,y) , v(x,y)

ヤコビアン J(u,v)=|(x;u)*(y;v)-(x;v)*(y;u)|

　$${f(x,y)*dx*dy}[x,yの領域]=$${f(u,v)*du*dv}[u,vの領域] ★.

◆ I=$${(x+y)*dx*dy}[0<x+y<1 , 0<x-y<1]

■ x+y=u , x-y=v と置くと、

　x=(u+v)/2　&　y=(u-v)/2

　x;u=1/2　x;v=1/2　y;u=1/2　y;v=-1/2

　J(u,v)=|-1/4-1/4|=1/2　[0<x+y<1 , 0<x-y<1]=[u:0~1][v:0~1]

　I=$${u*(1/2)*du*dv}[u:0~1][v:0~1]

　(1/2)*u*${1*dv}[v:0~1]=(1/2)*u

　I=(1/2)*${u*du}[u:0~1]=(1/4)*[u^2][u:0~1]=1/4

◆ x^2/A^2+y^2/B^2=1〔 A,B:正の数 〕　面積 S

■【 変数変換して 】

　x=A*r*cos(a)　y=B*r*sin(a)　[x:0~A][y:0~B]=[r:0~1][a:0~Pi/2]

※ not[tan(a)=y/x]　tan(a)=(A/B)*(y/x)

　x;r=A*cos(a)　x;a=-A*r*sin(a)　y;r=B*sin(a)　y;a=B*r*cos(a)

　J(r,a)=|A*B*r*cos(a)^2+A*B*r*sin(a)^2|=A*B*r

r を固定して　${1*J(r,a)*da}[a:0~Pi/2]
=Pi*A*B*r/2

　S/4
=(Pi*A*B/2)*${r*dr}[r:0~1]
=(Pi*A*B/2)*[r^2/2][r:0~1]
=Pi*A*B/4

　S=Pi*A*B ★.

{おみごと!2016/9}

{別解}　S/4
=${y*dx}[x:0~A]
=B*${root[1-(x/A)^2]*dx}[x:0~A]

x/A=X と置いて、dx=A*dX　[x:0~A]=[X:0~1]

　S/4
=B*${root[1-(x/A)^2]*dx}
=A*B*${root[1-X^2]*dX}　　積分は、円の面積の(1/4)
=A*B*Pi/4

　S=Pi*A*B　‖

　.★ 　2重積分.変数変換　 ★.