数学-積分 2014/8-2013/5 Yuji.W
|
☆ガウス積分-3次元☆ |
◎ (x^2+y^2+z^2)*exp[-(x^2+y^2+z^2)] r^2*exp(-r^2)
|
微分;x 時間微分' ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積# e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x) cos(a)=Ca cos(2*x)=C2x sin(b)=Sb tan(x)=Tx ★・ |
| ☆exp[-a*(x^2+y^2+z^2)] の定積分☆ |
■ 2次元で、
exp[-a*(x^2+y^2)]=exp(-a*x^2)*exp(-a*y^2)
${exp[-a*(x^2+y^2)]*dx*dy}[x:-∞~∞][y:-∞~∞]
=(${exp(-a*x^2)*dx}[x:-∞~∞])*(${exp(-a*y^2)*dy}[y:-∞~∞])
=(${exp(-a*x^2)*dx}[x:-∞~∞])^2
=Pi/a ★…
■ 同様に3次元で、
${exp[-a*(x^2+y^2+z^2)]*dx*dy*dz}[x,y,z:-∞~∞]
=(Pi/a)^(3/2) ★…
{別解} 球対称な関数 f(x,y,z)=f(r)
f(x,y,z)*dx*dy*dz=f(r)*4Pi*r^2*dr
${exp(-a*r^2)*4Pi*r^2*dr}[r:0~∞]
=4Pi*${r^2*exp(-a*r^2)*dr}[r:0~∞]
=4Pi*root(Pi)/[4*a^(3/2)]
=(Pi/a)^(3/2) ★…
| ☆(x^2+y^2+z^2)*exp[-a*(x^2+y^2+z^2)] の定積分☆ |
◆ 2次元で
I2=${(x^2+y^2)*exp[-a*(x^2+y^2)]*dx*dy}[x,y:-∞~∞]
● ${exp(-a*x^2)*dx}[x:-∞~∞]=root(Pi/a)
${x^2*exp(-a*x^2)*dx}[x:-∞~∞]=[root(Pi)/2]/a^(3/2)]
${x^3*exp(-a*x^2)*dx}[x:0->∞]=(1/2)/a^2
● 円座標(r.,b) r.=root(x^2+y^2)
方位角 b に依らない関数 f(r.)
${f(r.)*dx*dy}[x,y:-∞~∞]=2Pi*${f(r.)*r.*dr.}[r.:0~∞]
■
I2
=2Pi*${r.^3*exp(-a*r.^2)*dr}[r.:0~∞]
=2Pi*(1/2)/a^2
=Pi/a^2 ★…
◆
I3
=${(x^2+y^2+z^2)*exp[-a*(x^2+y^2+z^2)]*dx*dy*dz}[x,y,z:-∞~∞]
● ${x^4*exp(-a*x^2)*dx}[0~∞]=(3/8)*root(Pi)/a^(5/2)
● 球座標(r,a,b) r=root(x^2+y^2+z^2)
rだけの関数 f(r)
${f(r)*dx*dy*dz}[x,y,z:-∞~∞]=4Pi*${f(r)*r^2*dr}[r:0~∞]
■ I3
=4Pi*${r^4*exp(-a*r^2)*dr}[r:0~∞]
=4Pi*(3/8)*root(Pi)/a^(5/2)
=(3/2)*Pi^(3/2)/a^(5/2)
${(x^2+y^2+z^2)*exp[-a*(x^2+y^2+z^2)]*dx*dy*dz}[x,y,z:-∞~∞]
=(3/2)*Pi^(3/2)/a^(5/2) ★★…{ゴール!}
{大学時代、ここまでたどり着かなかった!2013/5}
★ ガウス積分-3次元 ★