数学-積分 2014/8-2012/10 Yuji.W
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☆ガウス積分-奇関数☆ |
◎ x*exp(-x^2) x^3*exp(-x^2)
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微分;x 時間微分' ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積# e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x) cos(a)=Ca cos(2*x)=C2x sin(b)=Sb tan(x)=Tx ★・ |
| ☆奇関数☆ |
■ 奇関数 任意のxに対して f(x)=-f(-x)
■ 奇関数 f(x) ${f(x)*dx}[x:-a~+a]=0
| ☆x*exp(-x^2) の定積分☆ |
◎ ${x*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞] を求めよう。{簡単、基本的!2014/1}
● ∞*exp(-∞^2)=0
■ d(x^2)=2*x*dx
${x*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]
=(1/2)*${exp(-x^2)*d(x^2)}[x^2:0~∞]
=-(1/2)*exp(-x^2)][x^2:0~∞]
=1/2 ★…{ふーん!2013/5}
■ ${x*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=1/(2*a) ★…
| ☆[x^(2*n+1)]*exp(-x^2) の定積分☆ |
※ n=0,1,2,… のとき 2*n+1=1,3,5,…奇数
◆ ${x^(2*n+1)*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=Go(n)
n+1 のとき 2*(n+1)+1=2*n+3 に注意して、
Go(n+1)=${x^(2*n+3)*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]
n=0 Go(0)=${x*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=1/2
● ${x*exp(-x)*dx}[x:0~∞]=1
■ Go(1)=${x^3*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]
d(x^2)=2*x*dx
Go(1)
=(1/2)*${x^2*exp(-x^2)*2*x*dx}[x:0~∞]
=(1/2)*${x^2*exp(-x^2)*d(x^2)}[x^2:0~∞]
=1/2*1
=1/2 ★…
■ Go(n)=${x^(2*n+1)*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]
Go(n+1)=${x^(2*n+3)*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞] ※ (2*n+3){!}
[exp(-x^2)];x=-2*x*exp(-x^2)
x^(2*n+3)*exp(-x^2)
=-(1/2)*x^(2*n+1)*[-2*x*exp(-x^2)]
=-(1/2)*x^(2*n+1)*[exp(-x^2)];x
部分積分を使って、定積分の領域[x:0~∞]を省略すると、
Go(n+1)
=-(1/2)*${x^(2*n+2)*[exp(-x^2)];x*dx}
=-(1/2)*x^(2*n+2)*exp(-x^2)
+(1/2)*(2*n+2)*${x^(2*n+1)*exp(-x^2)*dx}
[x:0~∞]を考えると、
第1項=0 第2項=(n+1)*Go(n)
Go(n+1)=(n+1)*Go(n) ★…
Go(1)=Go(0)=1/2 Go(2)=2*Go(1)=1 Go(3)=3*Go(2)=3
Go(4)=4*Go(3)=12 … Go(n)=n!/2
${x^(2*n+1)*exp(-x^2)*dx}[x:0~∞]=n!/2 ★…{おもしろいなあ!}
■ ${x^(2*n+1)*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=n!/[2*a^(n+1)] ★…
★ ${x^3*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=1/(2*a^2)
| ☆{別解} 微分と積分の順序を交換して☆ |
◆ ${x^(2*n+1)*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]==Go(a,n)
Go(a,0)=${x*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=(1/2)/a
■ [exp(-a*x^2)];a=-x^2*[exp(-a*x^2)] だから、
Go(a,n);a
=-${x^(2*n+3)*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]
=-Go(a,n+1)
Go(a,n);a=-Go(a,n+1) ★…
Go(a,1)=-Go(a,0);a=+(1/2)/a^2
Go(a,2)=-Go(a,1);a=+1/a^3
Go(a,n)=(n!/2)/[a^(n+1)]
${x^(2*n+1)*exp(-a*x^2)*dx}[x:0~∞]=n!/[2*a^(n+1)] ★…
{へー、素晴らしい！2013/5}
★ ガウス積分-奇関数 ★