数学-積分　　2014/4-2013/2　　Yuji.W

☆ 心臓形(カージオイド) ☆

◎ 心臓形(カージオイド)　曲線の長さ　面積〔★〕

〔表示のお約束140710〕cos(a)=Ca　sin(b)=Sb　tan(x)=Tx　10^x=Ten(x)
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　成分<>:x　内積*　外積#
e^(x)=exp(x)=E(x)　e^(i*x)=expi(x)=Ei(x)　微分;x　時間微分'　物理定数

◆ 心臓形　r=1-Ca　1周の長さ s　〓◆

● sin(a/2)^2=(1/2)*(1-Ca)

■ 円座標(r,a)で　dr=+Sa*da

　(ds)^2
=(dr)^2+r^2*(da)^2
=[Sa^2+(1-Ca)^2]*(da)^2
=2*(1-Ca)*(da)^2

　1-Ca=2*sin(a/2)^2

　ds=root2*root(1-Ca)*da=2*sin(a/2)*da

　s
=2*${ds}[a:0~Pi]
=4*${sin(a/2)*da}[a:0~Pi]
=8*[-cos(a/2)][a:0~Pi]
=8【★】{整数になった!}

◆ 心臓形　r=1-Ca　面積 S　〓◆

※ デカルト座標(x,y)で扱うと、xの値とyの値が 1対1 になっていないので、分けて考える必要があり、面倒である。

● cos(a/2)^2=(1/2)*(1+Ca)　sin(a/2)^2=(1/2)*(1-Ca)

■ 円座標(r,a)で　dS=(1/2)*r^2*da

　r^2=(1-Ca)^2=1-2*Ca+Ca^2=3/2-2*Ca+cos(2*a)/2

　S
=${r^2*da}[a:0~Pi]
=[3*a/2-2*Sa+sin(2*a)/4][a:0~Pi]
=3Pi/2【★】

★　線積分　★