2013/7-2012/12　Yuji.W

◎Lhopital　lim[x->c]{f(x)/g(x)}

◎{f(x->c)/g(x->c)} を求めたいが、0/0　∞/∞　などとなってしまう時がある。このとき、便利な公式がある。

{証明のようなもの}「ロピタルの定理の基本形　f(x->c)=g(x->c)=0 のとき

　lim[x->c]{f(x)/g(x)}=lim[x->c]{[f(x);x]/[g(x);x]}」

　lim[x->c]{f(x);x}=lim[x->c]{[f(x)-f(c)]/(x-c)]}

　lim[x->c]{g(x);x}=lim[x->c]{[g(x)-g(c)]/(x-c)]}

　右辺
=lim[x->c]{([f(x)-f(c)]/(x-c)])/([g(x)-g(c)]/(x-c)])}

=lim[x->c]{[f(x)-f(c)]/[g(x)-g(c)]}
=lim[x->c]{f(x)/g(x)}
=左辺

★自然数 n　lim[x->∞]{exp(x)/x^n}=∞/∞ ?

ロピタルの定理が使えて、exp(x);x=exp(x)　x^n;x=n*x^(n-1)　⇒

　lim[x->∞]{exp(x)/x^n}=lim[x->∞]{exp(x)/n*x^(n-1)}

exp(∞)=∞　∞^(n-1)=∞　⇒

さらに、ロピタルの定理が使えて、微分して、…

　lim[x->∞]{exp(x)/x^n}=…=lim[x->∞]{exp(x)/n!}=∞ ★

●図形的考察より　0<x<Pi/2 で　cos(x)<sin(x)/x<1

　-Pi/2<x<0 でも　cos(x)<sin(x)/x<1

　lim[x->0]{sin(x)/x}=1

★sin(x->0)=0　x(x->0)=0　lim[x->0]{sin(x)/x}=0/0 ?

ロピタルの定理が使えて、sin(x);x=cos(x)　x;x=1　⇒

　lim[x->0]{sin(x)/x}=lim[x->0]{cos(x)/1}=1 ★

★lim[x->0]{sin(a*x)=0　lim[x->0]{sin(a*x)/x}=0/0 ?

ロピタルの定理が使えて、sin(a*x);x=a*cos(x)　x;x=1　⇒

　lim[x->0]{sin(a*x)/x}=lim[x->0]{a*cos(x)/1}=a ★

★lim[x->0]{2*sin(x)-sin(2*x)}=0　lim[x->0]{x-sin(x)}=0

　lim[x->0]{[2*sin(x)-sin(2*x)]/[x-sin(x)]}=0/0 ?

ロピタルの定理が使えて、

　lim[x->0]{[2*sin(x)-sin(2*x)]/[x-sin(x)]}
=lim[x->0]{[2*cos(x)-2*cos(2*x)]/[1-cos(x)]}

lim[x->0]{2*cos(x)-2*cos(2*x)}=lim[x->0]{1-cos(x)}=0　だから、

さらに、ロピタルの定理が使えて、

　lim[x->0]{[2*sin(x)-sin(2*x)]/[x-sin(x)]}
=lim[x->0]{[-2*sin(x)+4*sin(2*x)]/sin(x)}

lim[x->0]{-2*sin(x)+4*sin(2*x)}=lim[x->0]{sin(x)}=0　だから、

さらにさらに、ロピタルの定理が使えて、

　lim[x->0]{[2*sin(x)-sin(2*x)]/[x-sin(x)]}
=lim[x->0]{[-2*cos(x)+8*cos(2*x)]/cos(x)}
=6/1
=6 ★ {めでたし、めでたし!ロピタルの定理を3回使った!2013/9}