数学 微分方程式

2013/11-2013/1　Yuji.W

◎ 1階　x,y　同次　y/x

■ 同次形 y;=f(y/x)

　関数 g(x,y)/h(x,y) で、g(x,y) と h(x,y) のすべての各項の次数(文字数の数)が等しい ★.{これは役に立つ!2013/11}

■ 同次形の例

　(x+y)/x　(x-y)/(x+y)　x*y/(x^2+y^2)

■ 置く[y/x=u(x)] ★.　y;=u+x*u;

　u+x*u;=f(u)　[1/(f-u)]*du=(1/x)*dx

◎ 置く[u=y/x]　u+x*u;=y;

★ x*y;=y+x　x=1 で y=0

　y;=y/x+1　y;=u+x*u;　x=1 で u=0

　u+x*u;=u+1　u;=1/x　u=ln(x)　y=x*ln(x)

★ (x+y)*y;=x-y

　y;=(x-y)/(x+y)　y;=(1-y/x)/(1+y/x)　y;=u+x*u;　u+x*u;=(1-u)/(1+u)

　u^2+x*u*u;+u+x*u;=1-u

　[(u+1)/(u^2+2*u-1)]*u;=-1/x　両辺を積分すると、

(u^2+2*u-1);u=2*(u+1) だから、

　左辺=(1/2)*ln(u^2+2*u-1)　右辺=-ln(x)

　u^2+2*u-1=C/x^2　y^2/x^2+2*y/x-1=C/x^2

　y^2+2*x*y-x^2=C　x^2-2*x*y-y^2=C

★ (x^2-x*y)*y;+y^2=0

　(x^2-x^2*u)*(u+x*u;)+x^2*u^2=0

　x^2*u-x^2*u^2+x^3*u;-x^3*u*u;+x^2*u^2=0

　u;/u-u;=-1/x　Lu-u=-Lx+C　ln(u*x)=u+C　Ly=y/x+C

　y=C*exp(y/x)

★ x^2*y;=y^2+x*y

　y;=(y/x)^2+(y/x)　u+x*u;=u^2+u

　u;/u^2=1/x　-1/u=ln|x|+C　u=-1/(ln|x|+C)　y=-x/(ln|x|+C)

★ x^2*y;-y^2-2*x*y=0　x=1,y=1,u=y/x=1

　x^2*(u+x*u;)-x^2*u^2-2*x^2*u=0

　u+x*u;-u^2-2*u=0　u;/[u*(u+1)]=1/x　u;*[1/u-1/(u+1)]=1/x

　Lu-ln(u+1)=Lx-ln(2)　ln{2*u/[x*(u+1)]}=0

　2*u/[x*(u+1)]=1　2*u=x*(u+1)　2*u*x=x^2*(u+1)

　2*y=x^2+x*y　x^2+x*y-2*y=0

★ x*y*y;=x^2+y^2　x=1,y=2,u=y/x=2

　x^2*u*(u+x*u;)=x^2+x^2*u^2

　u^2+x*u*u;=u^2+1　u*u;=1/x　(1/2)*u^2=Lx+2

　u^2=2*(Lx+2)　y^2=2*x^2*(Lx+2)

★ x*y*y;=2*y^2+x^2

　y;=2*y/x+x/y　u+x*u;=2*u+1/u　x*u;=u+1/u=(u^2+1)/u

　u/(u^2+1)*u;=1/x

左辺の積分=(1/2)*${2*u*u;/(u^2+1)}d(u^2)=(1/2)*ln|u^2+1|

　(1/2)*ln|u^2+1|=ln|x|+C　ln|u^2+1|=ln|x^2|+C

　u^2+1=C*x^2　y=±x*root(C*x^2-1)

{確かめ}y=x*root(C*x^2-1) のとき、

左辺=y;=root(C*x^2-1)+C*x^2/root(C*x^2-1)

=(2*C*x^2-1)/root(C*x^2-1)

右辺=2*root(C*x^2-1)+1/root(C*x^2-1)
=(2*C*x^2-1)/root(C*x^2-1)

● 1/root(x^2+1) =$> arcsinh(x)+C=ln[x+root(x^2+1)]+C

★ x*y;=y+root(x^2+y^2)

　y;=y/x+root[1+(y/x)^2]　y;=u+x*u;　u+x*u;=u+root(1+u^2)

　[1/root(1+u^2)]*du=(1/x)*dx　ln[u+root(u^2+1)]=ln(x)+C

　u+root(u^2+1)=C*x　y/x+root(y^2/x^2+1)=C*x

　y+root(x^2+y^2)=C*x^2

★ (x-3*y-5)*y;=3*x+y-5

　y;=(3*x+y-5)/(x-3*y-5)　分子・分母の定数 -5 がなければ、同次形になる。

　x-x0=X , y-y0=Y と置くと

　分子=3*X+Y+(3*x0+y0-5)　分母=X-3*Y+(x0-3*y0-5)

　3*x0+y0-5=0 , x0-3*y0-5=0 にしたい。x0=2 , y0=-1

したがって、x-2=X , y+1=Y と置けば、

　Y;=(3*X+Y)/(X-3*Y)=[3+(Y/X)]/[1-3*(Y/X)]

さらに Y/X=U と置けば　Y;=U+X*U;

　U+X*U;=(3+U)/(1-3*U)

　X*U;=(3+U)/(1-3*U)-U=-(U^2+1)/(U-1/3)

　[(U-1/3)/(U^2+1)]*U;=-1/X

　(1/2)*[2*U/(U^2+1)]*U;-(1/3)*[1/(U^2+1)]*U;=-1/X

　(1/2)*ln(U^2+1)-(1/3)*arctan(U)=-ln(X)+C

　3*ln(U^2+1)-2*arctan(U)+6*ln(X)=C

　3*ln[X^2*(U^2+1]-2*arctan(U)=C

　3*ln[Y^2+X^2]-2*arctan(U)=C

　3*ln[(y+1)^2+(x-2)^2]-2*arctan[(y+1)/(x-2)]=C