_★ ベクトルの線積分 ★_〔物理定数〕

★ 積 *　商 /　微分 ;x　時間微分 '　積分 $　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)
ベクトル <>　単位ベクトル <-u>　縦ベクトル <)　内積 *　外積 #

■ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az>

経路に沿った線素ベクトル <ds>=<dx dy dz>

内積 <A>*<ds>=Ax*dx+Ay*dy+Az*dz

　<A>の線積分=${<A>*<ds>}[経路]

■ パラメータ t　x=x(t)　y=y(t)　z=z(t)

　<ds>=<x;t , y;t , z;t>*dt

◆ <A>=<2*x y>　${<A>*<ds>}[原点~(1,1)]

■ 経路1　原点-x軸-(1,0)-y軸と平行に-(1,1)

x軸上で　<A>=<2*x 0>　<ds>=<xu>*dx　<A>*<ds>=2*x*dx

　${<A>*<ds>}[原点~(1,0)]=${2*x*dx}[x:0~1]=[x^2][x:0~1]=1

y軸と平行に　<A>=<2 y>　<ds>=<yu>*dy　<A>*<ds>=y*dy

　${<A>*<ds>}[(1,0)~(1,1)]=${y*dy}[y:0~1]=[y^2/2][y:0~1]=1/2

　${<A>*<ds>}[原点~(1,1)]=1+1/2=3/2

■ 経路2　直線 y=x

パラメータ t を使って　x=t , y=t　0<t<1

<A>=<2 1>*t　<ds>=<1 1>*dt　<A>*<ds>=<2,1>*<1,1>*t*dt=3*t*dt

　${<A>*<ds>}=${3*t*dt}[t:0~1]=[3*t^2/2][t:0~1]=3/2

{こんな計算でも、いろいろな事が見えてくる!2014/3}

◆ 円　半径 1　円周の長さ L ?

■ <A>=<-sin(a)　cos(a)>　<A>*<ds>=[sin(a)^2+cos(a)^2]*ds=ds

　L
=${<A>*<ds>}[a:0~2Pi]
=${1*ds}[a:0~2Pi]
=[a][a:0~2Pi]
=2Pi

{別解}　Ay;x=(Ay;a)/(x;a)=-sin(a)/[-sin(a)]=+1

　Ax;y=(Ax;a)/(y;a)=-cos(a)/[cos(a)]=-1

　<curl<A>>=<zu>*(Ay;x-Ax;y)=<zu>*(1+1)=<zu>*2

　　L
=${<A>*<ds>}[a:0~2Pi]
=$${<curl<A>>*<dS>}[円]
=2*$${1*dS}[円]
=2Pi

◆ 経路　円　中心 原点　半径 1　　<A>=<2*x,y>

■ x=cos(a)　y=sin(a)　と置くと、

　<A>=<2*cos(a)　sin(a)>　<ds>=<-sin(a)　cos(a)>*da

　<A>*<ds>
=[-2*cos(a)*sin(a)+cos(a)*sin(a)]*da
=-cos(a)*sin(a)*da
=-sin(2*a)*da/2

　${<A>*<ds>}[円]
=-(1/2)*${sin(2*a)*da}[円]
=+[cos(2*a)/4][a:0~2Pi]
=0

{別解}　<curl<A>>=0　⇒　閉曲線の線積分は 0

◆ xy平面上の円　中心 原点　半径 1　<x y 0>=<cos(a) sin(a) 0>

　<A>=<x -y 0>

■ <A>*<ds>
=<cos(a) -sin(a) 0>*<-sin(a) cos(a) 0>*da
=-2*cos(a)*sin(a)
=-sin(2*a)

　${<A>*<ds>}[a:0~Pi/2]
=-${sin(2*a)*da}[a:0~Pi/2]
=[(1/2)*cos(2*a)][a:0~Pi/2]
=(1/2)*[cos(Pi)-cos(0)]
=(1/2)*[-1-1]
=-1 ★_

◆ xy平面上の円　中心 原点　半径 1　<x y 0>=<cos(a) sin(a) 0>

　<A>=<-y^3　x^3　0>/(x^2+y^2)

■ <A>
=<-y^3　x^3　0>/(x^2+y^2)
=<-sin(a)^3　cos(a)^3　0>

　<A>*<ds>
=+sin(a)^4+cos(a)^4
=[sin(a)^2+cos(a)^2]^2-2*sin(a)^2*cos(a)^2
=1-2*sin(a)^2*cos(a)^2
=1-sin(2*a)^2/2
=1-[1-cos(4*a)]/4
=3/4+cos(4*a)/4

　${<A>*<ds>}[a:0~2*Pi]
=${[3/4+cos(4*a)/4]*da}[a:0~2*Pi]
=[3*a/4+sin(4*a)/16][a:0~2*Pi]
=3*Pi/2 ★_

◎ きちんと <A>,<ds>,<A>*<ds> を求めるのがポイント!

◆ <A>=<2*x y>　始点 原点　終点 (1,1)　経路 放物線 y=x^2

■ x=t　と置くと　y=t^2　<A>=<2*t　t^2>　<ds>=<1 2*t>*dt

　<A>*<ds>=(2*t)*1+t^2*(2*t)=(2*t^3+2*t)*dt

　${<A>*<ds>}=[t^4/2+t][t:0~1]=3/2

● 対数螺旋 たいすうらせん Logarithmic spiral ベルヌーイの螺旋

　x=exp(-t)*cos(Pi*t)　y=exp(-t)*sin(Pi*t)

　x;t=-exp(-t)*cos(Pi*t)-Pi*exp(-t)*sin(Pi*t)

　y;t=-exp(-t)*sin(Pi*t)+Pi*exp(-t)*cos(Pi*t)

　(s;t)^2
=dx^2+dy^2
=[-exp(-t)*cos(Pi*t)-Pi*exp(-t)*sin(Pi*t)]^2
+[-exp(-t)*sin(Pi*t)+Pi*exp(-t)*cos(Pi*t)]^2
=exp(-2*t)*(1+Pi^2)

◆ 質点が力<F>=<-y,x>を受けて、対数螺旋を動いたときに受けた仕事量 W

■ <F>=<-sin(Pi*t) , cos(Pi*t)>*exp(-t)

　<ds>
=<x;t , y;t>*dt
=-<cos(Pi*t)+Pi*sin(Pi*t) , sin(Pi*t)-Pi*cos(Pi*t)>*exp(-t)*dt

　<F>*<ds>=Pi*exp(-2*t)*dt

　W=${<F>*<ds>}=-(Pi/2)*[exp(-2*t)][t:0~∞]=Pi/2

◆ 質点が 楕円 x^2/16+y^2/9=1 上を動く。そのときにかかる力 <F>

　<F>=<3*x-4*y+2*z , 4*x+2*y-3*z^2 , x>

■ <F(4,0,0)>=<12,12,4>

　質点の位置ベクトル <r>　質点が得たエネルギー E=${<F>*<dr>}

　経路 x=4*cos(a) y=3*sin(a) 0<a<2Pi

　<F>=<12*cos(a)-12sin(a) , 16*cos(a)+6*sin(a) , …>

　<r>=<4*cos(a) , 3*sin(a) , 0>　<dr>=<-4*sin(a) , 3*cos(a) , 0>*da

　<F>*<dr>
=[-48*cos(a)*sin(a)+48*sin(a)^2+48*cos(a)^2+18*cos(a)*sin(a)]*da
=[48-30*cos(a)*sin(a)]*da
=[48-15*sin(2*a)]*da

　E
=${[48-15*sin(2*a)]*da}[a:0~2Pi]
=[48*a+(15/2)*cos(2*a)][a:0~2Pi]
=96Pi+15/2-15/2
=96Pi

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