数学 関数 2018/1-2011 Yuji.W
☆ x^x , x*ln(x) ☆
◎ x^x x*ln(x) x->+0 のとき x^x->? 0になるのかな? ★_
◇ 3の2乗 3^2 10^x=Ten(x) f(x)をxで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) 底a log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)
虚数単位 i i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
〓 x^x , x*ln(x) 〓
■ 正の実数 x x^x と、その対数 ln(x^x)=x*ln(x) の値を、iphone7のアプリを使って求める。少数第3位を四捨五入すると、
|
x |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1 |
2 |
|
x^x |
0.79 |
0.72 |
0.70 |
0.69 |
0.71 |
0.74 |
0.78 |
0.84 |
0.91 |
1 |
4 |
|
x*ln(x) |
-0.23 |
-0.32 |
-0.36 |
-0.37 |
-0.35 |
-0.31 |
-0.25 |
-0.18 |
-0.09 |
0 |
1.39 |
〓 対数微分法 〓 ◇ f(x)をxで微分 f(x);x
■ x の関数 f(x) f(x)>0 の範囲だけ f(x);x=f(x)*{ln[f(x)];x}
〓 x^x , x*ln(x) の最小値 〓
◎ x^x と x*ln(x) は、x=0.4 あたりで最小値をとる。
■ ln[x^x];x=[x*ln(x)];x=ln(x)+x/x=ln(x)+1
対数微分法を使って (x^x);x=(x^x)*[ln(x)+1]
(x^x);x=0 を解けば ln(x)=-1 x=1/e~0.37
そのとき x^x=(1/e)^(1/e)~0.70 x*ln(x)=(1/e)*ln(1/e)=-1/e~-0.37
》x=1/e~0.37 のとき 最小値 x^x=(1/e)^(1/e)~0.70 x*ln(x)=-1/e~-0.37 ★_
〓 x->+0 のとき 〓
■ 正の実数 x x->+0 のとき x^x と、その対数 ln(x^x)=x*ln(x) の値を、iphone7の計算アプリを使って求める。小数第4位を四捨五入すると、
|
x |
1 |
0.1 |
0.01 |
0.001 |
0.0001 |
|
x^x |
1 |
0.794 |
0.955 |
0.993 |
0.999 |
|
x*ln(x) |
0 |
-0.230 |
-0.046 |
-0.007 |
-0.001 |
lim[x→+0]{x^x}=1 lim[x→+0]{x*ln(x)}=-0 ★_
■ x→+0 のとき |ln(x)|->∞ であるが、xの小さくなる方が勝り、
x*ln(x)->-0
lim[x→+0]{x*ln(x)}=-0
lim[x→+0]{x^x}=lim[x→+0]{e^[x*ln(x)]}=e^0=1
》lim[x→+0]{x*ln(x)}=-0 lim[x→+0]{x^x}=1 ★_
{なるほどね!おもしろい!2018/1}