お勉強しようUz 数学.関数

2016/9-2012 Yuji.W

☆ln(-1)?☆

◎ 複素数 複素対数関数 ln(-1) ln(i)

■ cos(x)+i*sin(x)=expi(x) .オイラーの公式

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔 物理定数. 〕
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇ln(-1) , ln(i)◇

◎ ln(-1) ? ln(i) ?

■【 実数の範囲で 】

正の実数 x に対して ln(x) を考える事ができる

 exp[ln(x)]=x

■【 純虚数で 】

実数 x 純虚数 i*x でも、オイラーの公式や、対数関数、指数関数も成り立つとすれば、

 exp(i*x)=expi(x)=cos(x)+i*sin(x)

対数をとって i*x=ln[cos(x)+i*sin(x)]

 ln[cos(x)+i*sin(x)]=i*x .〔 0≦x<2*Pi 〕

※ 別の範囲で考える事もできる

{計算例}複素対数関数

◎ 0≦x<2*Pi で、

★ x=0 左辺=ln[cos(0)+i*sin(0)]=ln(1)=0 右辺=i*0=0

★ x=Pi/2 左辺=ln[cos(Pi/2)+i*sin(Pi/2)]=ln(i) 右辺=i*Pi/2

 ln(i)=i*Pi/2

★ x=Pi 左辺=ln[cos(Pi)+i*sin(Pi)]=ln(-1) 右辺=i*Pi

 ln(-1)=i*Pi

★ x=Pi*3/2 左辺=ln[cos(Pi*3/2)+i*sin(Pi*3/2)]=ln(-i) 右辺=i*Pi*3/2

 ln(-i)=i*Pi*3/2

★ x=Pi/4 左辺=ln[cos(Pi/4)+i*sin(Pi/4)]=ln(root2/2+i*root2/2)

 右辺=i*Pi/4

 ln(root2/2+i*root2/2)=i*Pi/4

★ x=1 左辺=ln[cos(1)+i*sin(1)]~ln(0.54+i*0.84)

 右辺=i*1=i

 ln(0.54+i*0.84)~i

----- まとめ -----

0≦x<2*Pi で ln(i)=i*Pi/2 ln(-1)=i*Pi ln(-i)=i*Pi*3/2

 ln(root2/2+i*root2/2)=i*Pi/4 ln(0.54+i*0.84)~i

  ln(-1) ?  

inserted by FC2 system