☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/5-2016/2 Yuji.W

☆棒を伝わる縦波☆

◎ 弾性体 弾性棒 縦波

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇弾性体に働く力◇

◎ ここがわかっていないと、波について考えられない。

◆ 1次元 弾性体の元の長さ L0 断面積 S

長さ L に引き延ばしたときに生じる力 F 応力 σ=F/S

変化 ΔL=L-L0 ひずみ ε=ΔL/L0

応力は弾性体のどこでも同じ大きさ .

ヤング率 (縦弾性係数) E

ヤング率の単位 [GPa]=[Ten(9)*N/m^2]=[kN/mm^2]~[100_kg重/mm^2]

■ σ=E*ε .フックの法則 応力は、ひずみ(長さの比)に比例する

■【 バネ定数とヤング率 】 バネ定数 k F=k*ΔL

フックの法則 F/S=E*(ΔL/L)

 k=E*S/L .

★ 銅線 断面積 2_mm^2 ヤング率=10000_kg重/mm^2 10_kg重の力

 10/2=10000*ε

 ε=1/500 1_m あたり 2_mm 伸びる 2_m なら 4_mm 伸びる

★ ゴム 断面積 1_mm^2 ヤング率=0.01_GPa=1_kg重/mm^2 0.1_kg重の力

 0.1/1=1*ε

 ε=0.1 10_cm なら 1_cm 伸びる

長さ 10_cm のゴム k=1*1/0.1=10_kg重/m

● 銅 130_GPa 鋼 200_GPa 岩 500_t/cm^2~50_GPa

{やっと理解できてきた!2016/5}

◇棒を伝わる波◇

◎ 棒 密度が大きい所が起きる ⇒ 圧力が増す ⇒ 隣を押す ⇒ その所は広がり、隣は押される ⇒ その所の密度は小さくなり、隣の密度は大きくなる ⇒ 密度が大きい部分が隣に伝わった

◆ 断面積 1 の棒 波が伝わる方向 x軸 棒の部分のx軸方向の変位 u(x,t) |u|<<1

平衡状態で x~x+dx の部分の変位と、それに働く力を考える

棒の密度 ρ 棒のヤング率 E

■【 ひずみ 】

平衡状態での x ⇒ x+u(x,t)
平衡状態での x+dx ⇒ x+dx+u(x+dx,t)

 変位後の差=[x+dx+u(x+dx,t)]-[x+u(x,t)]=dx+u(x+dx,t)-u(x,t)

ここで u(x+dx,t)-u(x,t)=[u(x,t);x]*dx と書けるから、

 変位後の差=[1+u(x,t);x]*dx

元々 dx の長さであった部分が [1+u(x,t);x]*dx になったのだから、

 ひずみ={[1+u(x,t);x]*dx-dx}/dx=u(x,t);x .

■【 応力 】

 応力(x,t)=E*[u(x,t);x]

 応力の差
=応力(x+dx,t)-応力(x,t)
=E*{[u(x+dx,t);x]-[u(x,t);x]}
=E*[u(x,t);;x]*dx 
.

■【 質量 】

 平衡状態で x~x+dx の部分(断面積1)の質量=ρ*dx

■【 運動方程式 】

 (ρ*dx)*u''=E*[u(x,t);;x]*dx

 u''=(E/ρ)*(u;;x) .弾性棒の波動方程式(縦波)

 波の速さ=root(E/ρ0)

◇棒を伝わる波の速さ◇

★ 鋼のヤング率 E=2*Ten(11)_Pa 密度 ρ0=8*Ten(3)_kg/m^3

 波の速さ=root{[2*Ten(11)]/[8*Ten(3)]}=5000_m/sec

  棒を伝わる縦波  

inserted by FC2 system