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☆ 音波(縦波) ☆ |
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〇 縦波 理想気体 音速を求める {簡単だと思っていたが、多くの事が関わってきて難しい。やりがいのある課題!} 2024.4-2015.12 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6
Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 棒を伝わる縦波 〓 ◇ 偏微分 : 《棒を伝わる縦波24.3》 ▢ x軸上に棒 密度 ρ ヤング率 E 断面積 1 x の所の変位 u(x,t) |u|<<1 ▷ ひずみ ε=u:x (応力の差)=E*(u::x)*dx 運動方程式 (ρ*dx)*(u::t)=E*(u::x)*dx ⇒ u::t=(E/ρ)*(u::x) .. (波の速さ)=root(E/ρ) ★ |
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〓 1次元の音波(平面波)縦波の波動方程式 〓 ◇ 偏微分 : 〇 気体 密度が大きい所が起きる ⇒ 圧力が増す ⇒ 隣を押す ⇒ その所は広がり、隣は押される ⇒ その所の密度は小さくなり、隣の密度は大きくなる ⇒ 密度が大きい部分が隣に伝わった ▢ 音波が伝わる方向 x軸 気体分子1個の平均質量 m 平衡状態で 圧力 P0 数密度 n0 温度 T 音波が伝わるときの微少変化量 圧力 P(x,t) 数密度 n(x,t) 分子の位置の変位 u(x,t) γ=(定圧モル比熱Cp)/(定積モル比熱Cv) 空気だと、Cp=1.006 γ=1.403 体積弾性率 K=γ*P0 単位断面積の空気中を考える ▷【平衡状態での微少部分 x~x+dx に対する運動方程式】 .. 質量=m*n0*dx 加速度 u::t 圧力=[P0+P(x,t)]-[P0+P(x+dx,t)]=-(P:x)*dx 運動方程式 (m*n0*dx)*(u::t)=-(P:x)*dx ★ .. u::t=-[1/(m*n0)]*(P:x) ① ▷【変位と数密度】 平衡状態での x ⇒ x+u(x,t) 平衡状態での x+dx ⇒ x+dx+u(x+dx,t) .. (変位前の体積)=dx .. (変位後の体積)=[x+dx+u(x+dx,t)]-[x+u(x,t)]=(1+u:x)*dx 変位前後での、その部分に含まれている分子の数は変化しないから、 .. n0*dx=(n0+n)*(1+u:x)*dx .. n0=n0+n+(n0+n)*(u:x) |n/n0|<<1 だから u:x=-n/(n0+n)=-n/[n0*(1+n/n0)]=-(n/n0)*(1-n/n0)=-n/n0 ≫ u:x=-n/n0 ② ▷【数密度と圧力】 局所的に断熱変化であるとして P0/n0^γ=(P0+P)/(n0+n)^γ .. 1/(n0+n)^γ=(1/n0^γ)*(1-γ*n/n0) だから .. P0=(P0+P)*(1-γ*n/n0) 体積弾性率 K=γ*P0 を使って、 .. P=K*n/n0 ③ {まとめ} ① 運動方程式 u::t=-[1/(m*n0)]*(P:x) ② 変位と数密度 u:x=-n/n0 ③ 数密度と圧力 P=K*n/n0 ②③より P=-K*(u:x) P:x=-K*(u::x) ①に代入して u::t=[1/(m*n0)]*K*(u::x) ≫ u::t=[K/(m*n0)]*(u::x) ★ 音波の波動方程式 音速 Cs=root[K/(m*n0)] |
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〓 1次元の音波(平面波)縦波の波動方程式 〓 ◇ 偏微分 : 《音波(縦波)24.4》 ▢ 音波が伝わる方向 x軸 気体分子1個の平均質量 m 平衡状態で 圧力 P0 数密度 n0 温度 T 音波が伝わるときの微少変化量 圧力 P(x,t) 数密度 n(x,t) 分子の位置の変位 u(x,t) γ=(定圧モル比熱Cp)/(定積モル比熱Cv) 空気だと、Cp=1.006 γ=1.403 体積弾性率 K=γ*P0 ▷ 運動方程式 (m*n0*dx)*(u::t)=-(P:x)*dx ⇒ u::t=-[1/(m*n0)]*(P:x) 変位と数密度 u:x=-n/n0 数密度と圧力 P=K*n/n0 音波の波動方程式 u::t=[K/(m*n0)]*(u::x) 音速 Cs=root[K/(m*n0)] |
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〓 空気の音速 〓 ◇ ◎ 340_m/sec ? ボルツマン定数 kB=(1.380 6488)*Ten(-23)_J/K=(8.617 3324)*Ten(-5)_eV/K 気体定数 R=kB*Na=8.314_J/mol/K ▷ 分子1個の平均質量 m 気体分子の平均分子量 μ=m*Na ▢ 気体分子1個の平均質量 m γ 体積弾性率 K=γ*P0 音波がない場合の気体 圧力 P0 数密度 n0 温度 T .. u::t=+[K/(m*n0)]*(u::x) 音波の波動方程式 音速 Cs=root[K/(m*n0)] 空気の平均分子量 μ=0.0290_Kg/mol 空気 γ=Cp/Cv=1.403 ▷ 理想気体で P0=n0*kB*T .. K/n0=γ*P0/n0=γ*(n0*kB*T)/n0=γ*(R/Na)*T また 1/m=Na/μ .. K/(m*n0)=[γ*(R/Na)*T]*(Na/μ)=(γ*R/μ)*T .. Cs=root(γ*R/μ)*root(T) ここで γ*R/μ=1.403*8.314/0.029~402.23 root(γ*R/μ)~20.06 .. Cs=20.06*root(T) ★ 0℃ で Cs=20.06*root(273)~331_m/sec 15℃ で Cs=20.06*root(288)~340_m/sec ★ {素晴らしい!} 100℃ で Cs=20.06*root(373)~387_m/sec ▷ 絶対温度 T 摂氏温度 t T=273+t=273*(1+t/273) 0℃付近で |t|/273<<1 .. root(T)=root(273)*root(1+t/273)~16.52*(1+t/546)=16.52*(1+t/546) .. Cs=20.06*16.52*(1+t/546)~331+0.6*t ★ 音波の速さ {おみごと!2015/12} ▷ 分子の速さの2乗平均 @(v^2) k*T=(1/3)*m*<v^2> だから、 .. Cs=[root(γ/3)]*root[@(v^2)] 空気だと、Cs=0.68*root[@(v^2)] 音波の速さは、分子1個1個の運動の速さと同じ程度 |
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☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W |