☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/5-2012/1 Yuji.W

音波(縦波)

◎ 縦波 理想気体 音速を求める

{簡単だと思っていたが、多くの事が関わってきて難しい。やりがいのある課題!}

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇1次元の音波(平面波)縦波の波動方程式◇

◎ 気体 密度が大きい所が起きる ⇒ 圧力が増す ⇒ 隣を押す ⇒ その所は広がり、隣は押される ⇒ その所の密度は小さくなり、隣の密度は大きくなる ⇒ 密度が大きい部分が隣に伝わった

◆ 音波が伝わる方向 x軸 気体分子1個の平均質量 m

平衡状態で 圧力 P0 数密度 n0 温度 T

音波が伝わるときの微少変化量 圧力 P(x,t) 数密度 n(x,t) 分子の位置の変位 u(x,t)

γ=(定圧モル比熱Cp)/(定積モル比熱Cv) 空気だと、Cp=1.006 γ=1.403 体積弾性率 K=γ*P0

単位断面積の空気中を考える

■『考える微少部分』

平衡状態での微少部分 x~x+dx が変位して、x+u(x,t)~x+dx+u(x+dx,t)

 その差=[x+dx+u(x+dx,t)]-[x+u(x,t)]

ここで u(x+dx,t)-u(x,t)=(u;x)*dx を使って、

 その差=(1+u;x)*dx _

■『平衡状態での微少部分 x~x+dx に対する運動方程式』

 質量=m*n0*dx 加速度 u'' 圧力=[P0+P(x,t)]-[P0+P(x+dx,t)]=-(P;x)*dx

運動方程式 (m*n0*dx)*u''=-(P;x)*dx

 u''=-[1/(m*n0)]*(P;x) @

■『変位と数密度』

 変位前の体積=dx

 変位後の体積=[x+dx+u(x+dx,t)]-[x+u(x,t)]=(1+u;x)*dx

変位前後での、その部分に含まれている分子の数は変化しないから、

 n0*dx=(n0+n)*(1+u;x)*dx

 n0=n0+n+(n0+n)*(u;x)

|n/n0|<<1 だから u;x=-n/(n0+n)=-n/[n0*(1+n/n0)]=-(n/n0)*(1-n/n0)=-n/n0

≫ u;x=-n/n0 A

■『数密度と圧力』

局所的に断熱変化であるとして P0/n0^γ=(P0+P)/(n0+n)^γ

 1/(n0+n)^γ=(1/n0^γ)*(1-γ*n/n0) だから

 P0=(P0+P)*(1-γ*n/n0) 体積弾性率 K=γ*P0 を使って、

 P=K*n/n0 B

■ まとめて

@ u''=-[1/(m*n0)]*(P;x)
A u;x=-n/n0
B P=K*n/n0

ABより P=-K*(u;x) @に代入して u''=-[1/(m*n0)]*K*(n;;x)

≫ u''=-[K/(m*n0)]*(n;;x) .音波の波動方程式

音速 Cs=root[K/(m*n0)]

◇音速◇

◎ 空気の音速を求める 340_m/sec ?

■ アボガドロ数 Na=[6.022*Ten(23)]_個/mol

ボルツマン定数 kB=(1.380 6488)*Ten(-23)_J/K=(8.617 3324)*Ten(-5)_eV/K

気体定数 R=kB*Na=8.314_J/mol/K

■ 分子1個の平均質量 m 気体分子の平均分子量 μ=m*Na

◆ 気体分子1個の平均質量 m  γ 体積弾性率 K=γ*P0

音波がない場合の気体 圧力 P0 数密度 n0 温度 T

 u''=+[K/(m*n0)]*u;;x 音波の波動方程式

音速 Cs=root[K/(m*n0)]

空気の平均分子量 μ=0.0290_Kg/mol 空気 γ=Cp/Cv=1.403

■ 理想気体で P0=n0*kB*T

 K/n0=γ*P0/n0=γ*(n0*kB*T)/n0=γ*(R/Na)*T

また 1/m=Na/μ

 K/(m*n0)=[γ*(R/Na)*T]*(Na/μ)=(γ*R/μ)*T

 Cs=root(γ*R/μ)*root(T)

ここで γ*R/μ=1.403*8.314/0.029~402.23 root(γ*R/μ)~20.06

 Cs=20.06*root(T) .

0℃ で Cs=20.06*root(273)~331_m/sec

15℃ で Cs=20.06*root(288)~340_m/sec {素晴らしい!}

100℃ で Cs=20.06*root(373)~387_m/sec

■ 絶対温度 T 摂氏温度 t T=273+t=273*(1+t/273)

0℃付近で |t|/273<<1

 root(T)=root(273)*root(1+t/273)~16.52*(1+t/546)=16.52*(1+t/546)

 Cs=20.06*16.52*(1+t/546)~331+0.6*t .音波の速さ {おみごと!2015/12}

■ 分子の速さの2乗平均 @(v^2) k*T=(1/3)*m*<v^2> だから、
 Cs=[root(γ/3)]*root[@(v^2)]

空気だと、Cs=0.68*root[@(v^2)] 音波の速さは、分子1個1個の運動の速さと同じ程度

  音波(縦波)  

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