☆ 単振り子-2- ☆

《 uzお勉強しよう　力学　数学　複素数　行列　Python 》

〇 振り子　2024.2-2013.7　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　　000　

〓　棒振り子　〓　◇ 時間微分 ;t  時間2階微分 ;;t  ★  単振り子 24.2

▢ 一様な重力場　重力加速度 g

支点から棒をつけ、摩擦がなく自由に動くようにする。棒の質量は無視できるものとする。

棒の先に重りをつける。重りが、最も低い位置と支点とを通る平面上を動くようにする。

棒の長さ Ｒ　重りは半径 R の円周上を動く　重りの質量 m

水平軸 x軸　鉛直軸(上向きを正) y軸　重力 -<yu>*m*g　棒の振れ角 a　真下で a=0

棒の張力 T　引っ張る場合を正、押し返す場合を負とする

　x=R*sin(a)  y=-R*cos(a)

▷ 円の接線方向のみ考えて　a;;t=-(g/R)*sin(a)  ★ 

▷ |a|<<1 のとき　a;;t=-(g/R)*a　a=a0*cos[root(g/R)*t]

周期 tc=2*Pi*root(R/g)

〓　　〓　◇ 　★　

〇

▢ 単振り子の角運動量とトルク　〓〓〓　
▢ 　〓　◇
▢ 角運動量　<L>
=<z>*m*l^2*(a;t)
=-<z>*m*a0^2*l^2*(2Pi/T)^2*sin(2Pi*t/T)^2
=-<z>*m*g*l*a0^2*sin(2Pi*t/T)^2
　<L>'=<z>*m*l^2*a;;t=-<z>*m*g*l*a0*cos(2Pi*t/T) 
トルク(力のモーメント)　<N>
=<z>*l*[-m*g*sin(a)]
=-<z>*m*g*l*a
=-<z>*m*g*l*a0*cos(2Pi*t/T)
　<L>'=<N>　が成り立っている
▢ 慣性モーメント I=m*l^2　と置けば　<L>=<z>*I*(a;t)

▷

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇 単振り子のエネルギー　〓〓〓　
▢ 　〓　◇
『三角関数の近似式』　2015/11
sin(x)=x-x^3/6+…　cos(x)=1-x^2/2+…　tan(x)=x+x^3/3+…
● -1<x<1　x=sin(a)　${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)
● 正の数 A　-A<x<A　x=A*sin(a)
　${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)
◆ 単振り子の運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*(l*(a;t))^2
位置エネルギー U=m*g*l*[1-cos(a)]
● 周期 T=2Pi*root(l/g)　(2Pi/T)^2=g/l
　a=a0*cos(2Pi*t/T)　(a;t)=-a0*(2Pi/T)*sin(2Pi*t/T)
　a;;t=-a0*(2Pi/T)^2*cos(2Pi*t/T)
▢ K=(1/2)*m*l^2*(a;t)^2
=(1/2)*m*l^2*a0^2*(2Pi/T)^2*[sin(2Pi*t/T)]^2
=(1/2)*m*g*l*a0^2*[sin(2Pi*t/T)]^2　★　
▢ U=m*g*l*[1-cos(a)]
ひもの張力は、運動方向に垂直だから、仕事をしない。エネルギーに関与しない。
重力が位置エネルギーを生み出す。
|a|<<1　の場合を考えているから　1-cos(a)=a^2/2
　U=m*g*l*a^2/2=(1/2)*m*g*l*a0^2*[cos(2Pi*t/T)]^2　★　
▢ K+U
=(1/2)*m*g*l*a0^2*[sin(2Pi*t/T)]^2+(1/2)*m*g*l*a0^2*[cos(2Pi*t/T)]^2
=(1/2)*m*g*l*a0^2=一定

▢

▷

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇 エネルギー積分　〓〓〓　
▢ 　〓　◇
◎ 運動方程式を解かないで、エネルギーの関係から、周期を求める
▢ 重りの振れ角 a のとき
　K=(1/2)*m*(l*(a;t))^2　U=(1/2)*m*g*l*a^2
　K+U=(1/2)*m*g*l*a0^2
　(1/2)*m*(l*(a;t))^2+(1/2)*m*g*l*a^2=(1/2)*m*g*l*a0^2
　(a;t)^2=(g/l)*(a0^2-a^2)
　(a;t)=root(g/l)*root(a0^2-a^2)
　t;a=root(l/g)/root(a0^2-a^2)
　T=4*root(l/g)*${[1/root(a0^2-a^2)]*da}[a:0~a0]　★　
ここで、
● -1<x<1　x=sin(a)　${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)
● 正の数 A　-A<x<A　x=A*sin(a)
　${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)
　${[1/root(a0^2-a^2)]*da}[a:0~a0]
=[arcsin(a/a0)][a:0~a0]
=arcsin(a0/a0)-arcsin(0/a0)
=Pi/2-0
=Pi/2　だから、
　T=4*root(l/g)*Pi/2=2Pi*root(l/g)　★　
{できました!2016/2}

▢

▷

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇 振れ角が大きいとき　〓〓〓　
▢ 　〓　◇
◎ 振れ角の初期値が小さくない場合を調べよう。
「第1種完全楕円関数 K(k)」
▢ K(k)=${[1/root(1-k^2*Sx^2)]*dx}[x:0~Pi/2]
▢ sin(a0/2)=k　${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k)
▢ K(0)=Pi/2=1.57　K(root2/2)=1.85
K(0.9)=2.28　K(0.99)=3.36　K(0.999)=4.50
▢ ${[1/root(Cx)]*dx}[x:0~Pi/2]=root2*K(root2/2)~1.414*1.85~2.62
◆ 振り子　質量 m　長さ l　真下からのずれの角度 a　最大値(初期値) a0
sin(a0/2)=k　重力加速度g　周期 T　a<<1 のときの周期 T0=2Pi*root(l/g)
位置エネルギー U(a)=m*g*l*(1-Ca)
　運動方向の力 F(a)=-m*g*sin(a)　運動エネルギー T(a)=(1/2)*m*l^2*(a;t)^2
▢ エネルギー保存より、
　(1/2)*m*l^2*(a;t)^2+m*g*l*(1-Ca)=m*g*l*(1-Ca0)
　(a;t)^2=2*(g/l)*(Ca-Ca0)
　(a;t)=root2*root(g/l)]*root(Ca-Ca0)
　T/4
=root(l/g)*(1/root2)*${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]
ここで　${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k)　だから、
　T=4*root(l/g)*K(k)　T/T0=(2/Pi)*K(k)　★　
● 第1種完全楕円関数の値　sin(a0/2)=k

▢

▷ ▢ 単振動の周期 T0=2Pi*root(l/g)
振れ角 90° のとき　a0=Pi/2　k=sin(Pi/4)=root2/2　K(root2/2)=1.85
　${[1/root(Ca)]*da}[a:0~Pi/2]=root2*1.85=2.62
　T/4=root[l/(2*g)]*${[1/root(Ca)]*da}[a:0~Pi/2]
　T=(4/root2)*2.62*root(l/g)=7.41*root(l/g)
　T/T0=1.18
▲ 振れ角が小さいときの周期が1秒だったなら、振れ角を90°にすると、約1.2秒になる。

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇

▢

▷

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇

▢

▷

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇

▢

▷

▷

▷

▲

〓　　〓　◇ 　★　

〇

▢

▷

▷

▷

▲

☆ uzお勉強しよう　since2011　Yuji.W