お勉強しようUz〕 物理 力学

2017/3-2013/7 Yuji.W

単振り子

_ 振り子 単振り子 単振動 楕円関数 simple pendulum {教科書にはあっさりとしか書いてないが、難しい事を含んでいるし、重要でもある!}

◇ベクトル<A> 単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<t x) 内積* 外積#
 微分;x 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) _〔物理定数

{復習}円座標(r,a)での加速度

『円座標(r,a)』◇ 円座標(r,a)の座標単位ベクトル <ru>,<au> 時間微分 '

■ <r>''=<ru>*(r''-r*a'^2)+<au>*(r*a''+2*r'*a')

☆単振り子☆

◎ 一様な重力場において、天井からひもをつけ、先に重りをつける。ひもが真っ直ぐに伸びた状態を保ったまま傾けるようにしたあと、静かにそっと離す。以下のように仮定する。

・重りに大きさはなく、質点とみなせる。
・ひもは伸びたり縮んだりしない。途中で曲がることがなく、まっすぐに伸びている。
・ひもの重さは無視できる。
・ひもと接点との摩擦は無視できる。
・空気の抵抗は無視できる。

◆ ひもの長さ L 重りの重さ m 働く力は、重力とひもの張力のみ 重力 m*g 張力 N

天井:xy平面 ひもと天井の接点:原点 鉛直方向下向き:z軸

最初、xz平面上にひもを傾ける。初速度 0 その後の運動はxz平面上に限られる。

円座標(r,a)で表す 座標単位ベクトル <ru>,<au> r=L 振れ角(ひもとz軸が作る角) a 初期値 a0

■ 張力=-<ru>*N

 重力=<zu>*m*g=[<ru>*cos(a)-<au>*sin(a)]*m*g

 合力=張力+重力=<ru>*[m*g*cos(a)-N]-<au>*m*g*sin(a)

また 加速度=-<ru>*L*a'^2+<au>*L*a'' だから、

運動方程式

 m*(-<ru>*L*a'^2+<au>*L*a'')=<ru>*[m*g*cos(a)-N]-<au>*m*g*sin(a)

 N=m*[g*cos(a)+L*a'^2] & a''=-(g/L)*sin(a) _

▲ 振れ角が小さいとき |a|<<1 |a0|<<1 cos(a)=1 sin(a)=a

 N=m*[g+L*a'^2] & a''=-(g/L)*a

t=0 で a=a0 w=root(g/L) として

 a=a0*cos(w*t) _

 周期=2Pi/w=2Pi*root(L/g) _振り子の長さによって決まる。重りの質量に依らない。振れ角の初期値に依らない。

 a'=-a0*w*sin(w*t) a'^2=a0^2*w^2*sin(w*t)^2=(a0^2*g/L)*sin(w*t)^2

 張力 N=m*g*[1+a0^2*sin(w*t)^2]

t=0 のとき N=m*g t=Pi/(2*w) のとき N=m*g*(1+a0^2)

▲ 振れ角が小さいとき |a|<<1 |a0|<<1 cos(a)=1 sin(a)=a

 y=L=一定 x=L*a

 x''=-(g/L)*x _バネ係数 g/L の単振動

☆単振り子のエネルギー☆

『三角関数の近似式』 2015/11

sin(x)=x-x^3/6+… cos(x)=1-x^2/2+… tan(x)=x+x^3/3+…

● -1<x<1 x=sin(a) ${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)

● 正の数 A -A<x<A x=A*sin(a)
 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)

■【 運動エネルギー K 】

T=2Pi*root(R/g) a=a0*cos(2Pi*t/T) a'=-(2Pi*a0/T)*sin(2Pi*t/T)

 a'^2=(2Pi*a0/T)^2*sin(2Pi*t/T)^2

ここで (2Pi*a0/T)^2=(2Pi*a0)^2/[2Pi*root(R/g)]^2=g*a0^2/R

 K=(1/2)*m*(R*a')^2=(1/2)*m*g*R*a0^2*sin(2Pi*t/T)^2 .

■【 位置エネルギー U 】

ひもの張力は、運動方向に垂直だから、仕事をしない。エネルギーに関与しない。

重力が位置エネルギーを生み出す。

 運動方向に働く力=-m*g*a=-(m*g/R)*(R*a)

バネ定数=m*g/R の単振動と見なせるから、

 U
=(1/2)*(m*g/R)*(R*a)^2
=(1/2)*(m*g*R)*[a0*cos(2Pi*t/T)]^2
=(1/2)*m*g*R*a0^2*cos(2Pi*t/T)^2

{別解} 重力の位置エネルギーだから、

 U=m*g*(高さ)=m*g*R*[1-cos(a)]

|a|<<1 のとき 1-cos(a)=a^2/2 だから、

 U=(1/2)*m*g*R*a^2=(1/2)*m*g*R*a0^2*cos(2Pi*t/T)^2

{素晴らしい!2016/2}

■【 全エネルギー 】

 K+U=(1/2)*m*g*R*a0^2 .

☆エネルギー積分☆

◎ 運動方程式を解かないで、エネルギーの関係から、周期を求める

■ 重りの振れ角 a のとき

 K=(1/2)*m*(R*a')^2 U=(1/2)*m*g*R*a^2

 K+U=(1/2)*m*g*R*a0^2

 (1/2)*m*(R*a')^2+(1/2)*m*g*R*a^2=(1/2)*m*g*R*a0^2

 a'^2=(g/R)*(a0^2-a^2)

 a'=root(g/R)*root(a0^2-a^2)

 t;a=root(R/g)/root(a0^2-a^2)

 T=4*root(R/g)*${[1/root(a0^2-a^2)]*da}[a:0~a0] .

ここで、

● -1<x<1 x=sin(a) ${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)

● 正の数 A -A<x<A x=A*sin(a)
 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)

 ${[1/root(a0^2-a^2)]*da}[a:0~a0]
=[arcsin(a/a0)][a:0~a0]
=arcsin(a0/a0)-arcsin(0/a0)
=Pi/2-0
=Pi/2 だから、

 T=4*root(R/g)*Pi/2=2Pi*root(R/g) .

{できました!2016/2}

☆振れ角が大きいとき☆

◎ 振れ角の初期値が小さくない場合を調べよう。

「第1種完全楕円関数 K(k)」

■ K(k)=${[1/root(1-k^2*Sx^2)]*dx}[x:0~Pi/2]

■ sin(a0/2)=k ${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k)

■ K(0)=Pi/2=1.57 K(root2/2)=1.85

K(0.9)=2.28 K(0.99)=3.36 K(0.999)=4.50

■ ${[1/root(Cx)]*dx}[x:0~Pi/2]=root2*K(root2/2)~1.414*1.85~2.62

◆ 振り子 質量 m 長さ L 真下からのずれの角度 a 最大値(初期値) a0

sin(a0/2)=k 重力加速度g 周期 T a<<1 のときの周期 T0=2Pi*root(L/g)

位置エネルギー U(a)=m*g*L*(1-Ca)

 運動方向の力 F(a)=-m*g*sin(a) 運動エネルギー T(a)=(1/2)*m*L^2*a'^2

■ エネルギー保存より、

 (1/2)*m*L^2*a'^2+m*g*L*(1-Ca)=m*g*L*(1-Ca0)

 a'^2=2*(g/L)*(Ca-Ca0)

 a'=root2*root(g/L)]*root(Ca-Ca0)

 T/4
=root(L/g)*(1/root2)*${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]

ここで ${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k) だから、

 T=4*root(L/g)*K(k) T/T0=(2/Pi)*K(k)

● 第1種完全楕円関数の値 sin(a0/2)=k

a0

10°

30°

45°

60°

90°

k=sin(a0/2)

0

0.0087

0.08

0.259

0.383

0.5

0.707

K(k)

Pi/2~1.57

1.57

1.57

1.60

1.63

1.69

1.85

1

1

1

1.02

1.04

1.08

1.18

▲ 振れ角 10°でも、T/T0~1 であるから、十分「振り子の等時性」は成り立つことがわかる。

■ 単振動の周期 T0=2Pi*root(L/g)

振れ角 90° のとき a0=Pi/2 k=sin(Pi/4)=root2/2 K(root2/2)=1.85

 ${[1/root(Ca)]*da}[a:0~Pi/2]=root2*1.85=2.62

 T/4=root[L/(2*g)]*${[1/root(Ca)]*da}[a:0~Pi/2]

 T=(4/root2)*2.62*root(L/g)=7.41*root(L/g)

 T/T0=1.18

▲ 振れ角が小さいときの周期が1秒だったなら、振れ角を90°にすると、約1.2秒になる。

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