物理 力学 2018/1-2013/7 Yuji.W

☆ 単振り子

振り子 単振り子 単振動 楕円関数 simple pendulum {教科書にはあっさりとしか書いてないが、難しい事を含んでいるし、重要でもある!} _

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
3の2乗 3^2 10^x=Ten(x) yをxで
微分 y;x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数 e e^x=exp(x) 底a log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)
虚数単位 i i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
 複素数zの共役複素数 \z

〓 円周上の運動 〓 

◆ 1質点 xy平面上の運動 円座標(r,a) 位置 <r>=<ru>*R R=一定

速度 <v>=<au>*R*a' 加速度 <Ac>=-<ru>*R*a'^2+<au>*R*a''

運動方程式 動径方向 Fr=-m*R*a'^2 接線方向 Fa=m*R*a''

■ <L>=<z>*m*R^2*a' <N>=<z>*R*Fa

■ <L>'=<z>*m*R^2*a''=<z>*R*Fa=<N>

■ 慣性モーメント I=m*R^2 とすれば <L>=<z>*I*a'

〓 単振り子 〓 ◇

◎ 一様な重力場において、支点からひもをつけ、先に重りをつける。ひもが真っ直ぐに伸びた状態を保ったまま傾けるようにしたあと、静かにそっと離す。以下のように仮定する。

・重りに大きさはなく、質点とみなせる。
・ひもは伸びたり縮んだりしない。途中で曲がることがなく、まっすぐに伸びている。
・ひもの重さは無視できる。
・ひもと接点との摩擦は無視できる。
・空気の抵抗は無視できる。
・重りは1平面上を動く。
・重りは、円周上を動く。
・ひもと鉛直方向とが作る角は、非常に小さいとする。

◆ ひもの長さ l 重りの重さ m

振れ角(ひもと鉛直方向とが作る角) a 初期値 a0

働く力は、重力とひもの張力のみ 重力 m*g 張力 Ts

■ 重りが <ru>*l の位置にあるときに働く力 <F>

 <F>=<ru>*[m*g*cos(a)-Ts]-<au>*m*g*sin(a)

加速度 <Ac>=-<ru>*l*a'^2+<au>*l*a'' だから、

運動方程式 動径方向 m*g*cos(a)-Ts=-m*l*a'^2

接線方向 -m*g*sin(a)=m*l*a''

|a|<<1 の場合を考えて cos(a)=1 sin(a)=a として、

 Ts=m*(g+l*a'^2) @  a''=-(g/l)*a A _

■ Aより、重りが振れるのに抵抗するように力が働くから、振動現象になる。

 a=a0*cos[root(g/l)*t]

 振動の周期 T=2Pi/root(g/l)=2Pi*root(l/g) _ひもの長さのみによって定まる。重りの重さに依らない、振れ角の大きさに依らない。

■ T=2Pi*root(l/g) (2Pi/T)^2=g/l を使って書き直せば、

 a=a0*cos(2Pi*t/T)

 a'=-a0*(2Pi/T)*sin(2Pi*t/T)

 a''=-a0*(2Pi/T)^2*cos(2Pi*t/T)

■ ひもの張力 Ts
=m*(g+l*a'^2)
=m*[g+l*a0^2*(2Pi/T)^2*sin(2Pi*t/T)^2]
=m*g*[1+a0^2*sin(2Pi*t/T)^2]

》Ts=m*g*[1+a0^2*sin(2Pi*t/T)^2] _

最大値 Ts(max)=m*g*(1+a0^2)

★ 周期=1_sec 重力加速度 g=9.81_m/sec^2

 1=2Pi*root(l/9.81)

 l=9.81/(2*3.14)^2~0.249_m~25_cm

★ a0=10_°=Pi*10/180~0.174_rad

 Ts(max)=m*g*(1+0.174^2)~1.030*m*g

〓 単振り子の角運動量とトルク 〓 ◇

■ 角運動量 <L>
=<z>*m*l^2*a'
=-<z>*m*a0^2*l^2*(2Pi/T)^2*sin(2Pi*t/T)^2
=-<z>*m*g*l*a0^2*sin(2Pi*t/T)^2

 <L>'=<z>*m*l^2*a''=-<z>*m*g*l*a0*cos(2Pi*t/T) 

トルク(力のモーメント) <N>
=<z>*l*[-m*g*sin(a)]
=-<z>*m*g*l*a
=-<z>*m*g*l*a0*cos(2Pi*t/T)

 <L>'=<N> が成り立っている

■ 慣性モーメント I=m*l^2 と置けば <L>=<z>*I*a'

〓 単振り子のエネルギー 〓 ◇

『三角関数の近似式』 2015/11

sin(x)=x-x^3/6+… cos(x)=1-x^2/2+… tan(x)=x+x^3/3+…

● -1<x<1 x=sin(a) ${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)

● 正の数 A -A<x<A x=A*sin(a)
 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)

◆ 単振り子の運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*(l*a')^2

位置エネルギー U=m*g*l*[1-cos(a)]

● 周期 T=2Pi*root(l/g) (2Pi/T)^2=g/l

 a=a0*cos(2Pi*t/T) a'=-a0*(2Pi/T)*sin(2Pi*t/T)

 a''=-a0*(2Pi/T)^2*cos(2Pi*t/T)

■ K=(1/2)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*m*l^2*a0^2*(2Pi/T)^2*[sin(2Pi*t/T)]^2
=(1/2)*m*g*l*a0^2*[sin(2Pi*t/T)]^2 _

■ U=m*g*l*[1-cos(a)]

ひもの張力は、運動方向に垂直だから、仕事をしない。エネルギーに関与しない。

重力が位置エネルギーを生み出す。

|a|<<1 の場合を考えているから 1-cos(a)=a^2/2

 U=m*g*l*a^2/2=(1/2)*m*g*l*a0^2*[cos(2Pi*t/T)]^2 _

■ K+U
=(1/2)*m*g*l*a0^2*[sin(2Pi*t/T)]^2+(1/2)*m*g*l*a0^2*[cos(2Pi*t/T)]^2
=(1/2)*m*g*l*a0^2=一定 _

〓 エネルギー積分 〓 ◇

◎ 運動方程式を解かないで、エネルギーの関係から、周期を求める

■ 重りの振れ角 a のとき

 K=(1/2)*m*(l*a')^2 U=(1/2)*m*g*l*a^2

 K+U=(1/2)*m*g*l*a0^2

 (1/2)*m*(l*a')^2+(1/2)*m*g*l*a^2=(1/2)*m*g*l*a0^2

 a'^2=(g/l)*(a0^2-a^2)

 a'=root(g/l)*root(a0^2-a^2)

 t;a=root(l/g)/root(a0^2-a^2)

 T=4*root(l/g)*${[1/root(a0^2-a^2)]*da}[a:0~a0] .

ここで、

● -1<x<1 x=sin(a) ${[1/root(1-x^2)]*dx}=a=arcsin(x)

● 正の数 A -A<x<A x=A*sin(a)
 ${[1/root(A^2-x^2)]*dx}=a=arcsin(x/A)

 ${[1/root(a0^2-a^2)]*da}[a:0~a0]
=[arcsin(a/a0)][a:0~a0]
=arcsin(a0/a0)-arcsin(0/a0)
=Pi/2-0
=Pi/2 だから、

 T=4*root(l/g)*Pi/2=2Pi*root(l/g) .

{できました!2016/2}

〓 振れ角が大きいとき 〓 ◇

◎ 振れ角の初期値が小さくない場合を調べよう。

「第1種完全楕円関数 K(k)」

■ K(k)=${[1/root(1-k^2*Sx^2)]*dx}[x:0~Pi/2]

■ sin(a0/2)=k ${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k)

■ K(0)=Pi/2=1.57 K(root2/2)=1.85

K(0.9)=2.28 K(0.99)=3.36 K(0.999)=4.50

■ ${[1/root(Cx)]*dx}[x:0~Pi/2]=root2*K(root2/2)~1.414*1.85~2.62

◆ 振り子 質量 m 長さ l 真下からのずれの角度 a 最大値(初期値) a0

sin(a0/2)=k 重力加速度g 周期 T a<<1 のときの周期 T0=2Pi*root(l/g)

位置エネルギー U(a)=m*g*l*(1-Ca)

 運動方向の力 F(a)=-m*g*sin(a) 運動エネルギー T(a)=(1/2)*m*l^2*a'^2

■ エネルギー保存より、

 (1/2)*m*l^2*a'^2+m*g*l*(1-Ca)=m*g*l*(1-Ca0)

 a'^2=2*(g/l)*(Ca-Ca0)

 a'=root2*root(g/l)]*root(Ca-Ca0)

 T/4
=root(l/g)*(1/root2)*${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]

ここで ${[1/root(Ca-Ca0)]*da}[a:0~a0]=root2*K(k) だから、

 T=4*root(l/g)*K(k) T/T0=(2/Pi)*K(k)

● 第1種完全楕円関数の値 sin(a0/2)=k

a0

10°

30°

45°

60°

90°

k=sin(a0/2)

0

0.0087

0.08

0.259

0.383

0.5

0.707

K(k)

Pi/2~1.57

1.57

1.57

1.60

1.63

1.69

1.85

1

1

1

1.02

1.04

1.08

1.18

▲ 振れ角 10°でも、T/T0~1 であるから、十分「振り子の等時性」は成り立つことがわかる。

■ 単振動の周期 T0=2Pi*root(l/g)

振れ角 90° のとき a0=Pi/2 k=sin(Pi/4)=root2/2 K(root2/2)=1.85

 ${[1/root(Ca)]*da}[a:0~Pi/2]=root2*1.85=2.62

 T/4=root[l/(2*g)]*${[1/root(Ca)]*da}[a:0~Pi/2]

 T=(4/root2)*2.62*root(l/g)=7.41*root(l/g)

 T/T0=1.18

▲ 振れ角が小さいときの周期が1秒だったなら、振れ角を90°にすると、約1.2秒になる。

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