物理-力学  2015/1-2013  Yuji.W

☆音のドップラー効果☆

◎ 音源が動く 観測者が動く 音源も観測者も動く

ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積# 微分;x 時間微分'
10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) cos(a)=Ca sin(b)=Sb tan(x)=Tx 〔

☆音のドップラー効果☆

◎ 音のドップラー効果を考える。音が伝わるには、媒質(空気)が必要である。

◆ 実験室系を次のように定める

・空気全体の平均的な動きはない。振動を伝えるための、空気分子の動きはある。
・実験室系に対する音の速さは一定。
・音源や観測者は、実験室系に対して動いてよい。ただし、等速直線運動に限る。
・音源や観測者の位置、その動く方向は、一直線上にある。

実験室系に対しての速さ 音 V 音源 v 観測者 u
音源は観測者に向かい、観測者は音源に向かう方向を正とする

一般に 0<|u|<V 0<|v|<V 観測者も音源も音速を超えない

音源が発する音の振動数 nu0 観測者が観測する音の振動数 nu

■ 以下、次の順に考える

@ 実験室系(媒質)に対して、観測者だけが動く(音源に向かう)
A 実験室系(媒質)に対して、音源だけが動く(観測者に向かう)
B 実験室系(媒質)に対して、観測者も音源も動く(観測者と音源とが向かい合う)

☆観測者だけが動く☆

◎ 実験室系に対して、音源は静止、観測者だけが音源に向かって動く。観測者にとって、音の速さは大きくなる。波長は変化しない。したがって、観測者が観測する振動数は大きくなる(音が高くなる)。

★ 音の速さ V=300_m/sec 音源が発する音の振動数 300_Hz 波長 1_m/sec
観測者の速さ 10_m/sec

観測者にとって 音の速さ 300+10=310_m/sec 波長 1_m/sec

観測者が観測する振動数 nu=310/1=310_Hz

■ 一般に 観測者に対して 音の速さ V+u 波長 V/nu0

 nu=(V+u)/(V/nu0) nu/nu0=(V+u)/V=1+u/V〔

☆音源だけが動く☆

◎ 実験室系に対して、観測者は静止、音源だけが観測者に向かって動く。
音の速さは、観測者に対しても変わらない。
音源から観測者までの距離がどんどん短くなり、より少ない時間で届くから、観測者は、音源が静止している場合より、より多くの波を観測する。振動数は大きくなる(音が高くなる)。

★ 音の速さ V=300_m/sec 音源が発する音の振動数 nu0=300_Hz
音源の速さ(観測者に向かって) v=30_m/sec 時刻0での音源と観測者の距離 600_m

時刻0で発せられた音が観測者に届く時刻 600/300=2_sec

次の1秒後までに、300個の波が発せられる。

時刻1秒で、音源と波の距離 600-30=570_m
そこで発せられた音が観測者に届く時刻 1+570/300=2.9_sec

0.9秒間で、300個の波が届くのだから、観測者が観測する振動数 nu
 nu=300/0.9=1000/3~333.3_Hz

■ 一般に 音の速さ V 音源が発する音の振動数 nu0
音源の速さ v 時刻0での音源と観測者の距離 D

時刻0で発せられた音が観測者に届く時刻 D/V

次の1秒後までに、nu0個の波が発せられる。

時刻1秒で、音源と波の距離 D-v
そこで発せられた音が観測者に届く時刻 1+(D-v)/V

その時間 [1+(D-v)/V]-D/V=1-v/V=(V-v)/V

その時間に、nu0 の波が届くのだから、観測者が観測する振動数 nu
 nu=nu0/[(V-v)/V] nu/nu0=V/(V-v)〔

{2015/1-2014/3}

☆観測者も音源も動く☆

◆ 実験室系に対しての速さ 音 V 音源 v 観測者 u 音源は観測者に向かうとする

一般に 0<u<V 0<v<V 音速を超えない

音源が発する音の振動数 nu0 観測者が観測する音の振動数 nu 波長 V/nu0

■ 観測者だけが動く場合、音源だけが動く場合の、両方の効果が合わさり、

 nu/nu0=(1+u/V)/(1-v/V)=(V+u)/(V-v)

「音のドップラー効果」 2015/1-2014/3

◆ 実験室系を次のように定める

・空気全体の平均的な動きはない。振動を伝えるための、空気分子の動きはある。
・実験室系に対する音の速さは一定。
・音源や観測者は、実験室系に対して動いてよい。ただし、等速直線運動に限る。
・音源や観測者の位置、その動く方向は、一直線上にある。

実験室系に対しての速さ 音 V 音源 v 観測者 u
音源は観測者に向かい、観測者は音源に向かう方向を正とする

一般に 0<|u|<V 0<|v|<V 観測者も音源も音速を超えない

音源が発する音の振動数 nu0 観測者が観測する音の振動数 nu

※ V~340m/sec (15°、1気圧)

■ nu/nu0=(V+u)/(V-v)〔

☆横ドップラー効果☆

◆ 音源が等速直線運動をする方向に対して、ほぼ垂直の位置に観測者がいるとき

■ 音源と観測者の距離は、ほぼ変わらないので、ドップラー効果は起きない。

※ 光の場合は、横ドップラー効果がある。

☆音源が、音速と同じ速さ動く☆

◎ 音源が、媒質に対して音速で動くとき

■ 過去に出た無数の音が音源と共に動いていく

観測者には、音源が近づいて来るとき、音は届かない。聞こえない。

観測者の所に音源が来た時に同時に、過去に出た無数の音が一斉に鳴り響く。衝撃波となる。【

音源が、観測者の所を通り過ぎ、遠ざかっていくとき、その後に出た音が順々に届く。普通に聞こえる。ただし、振動数は半分になり、低く聞こえる。

☆音速を超える場合のドップラー効果☆

◎ 音源が音速より速く動くとき 普通に音ができるのか、よくわからないが、生まれるとして、考えてみよう。

◆ 音源が、音速の2倍の速さで動く 音源が観測者の所に来た時刻 0

■ 音源が観測者に近づいて来るとき、音は聞こえない。

■ 音源が観測者の所に届く時刻を調べよう。

 -3秒に出た音「あ」 6秒かかって届いて 時刻 3秒に届く

 -2秒に出た音「い」 4秒かかって届いて 時刻 2秒に届く

 -1秒に出た音「う」 2秒かかって届いて 時刻 1秒に届く

 0秒に出た音 観測者の所にいるから 時刻 0秒に届く

 1秒に出た音 2秒かかって届いて 時刻 3秒に届く

 2秒に出た音 4秒かかって届いて 時刻 6秒に届く

 3秒に出た音 6秒かかって届いて 時刻 9秒に届く

観測者に近づいて来るときの音が、音の高さは変わらず、ただ、音の順番が逆に聞こえる。「う」「い」「あ」と言っているように聞こえる。テープを逆回しした感じだ。「横浜」YO・KO・HA・MA なら A・MA・HO・KO・Y となって、「あまほこイェ」だ{!}

観測者から遠ざかるときの音が、時間がかかって、観測者に届く。音が低くなる。

観測者にとって、音源が自分の前を通り過ぎた後、急にやかましくなる。テープの逆回しの音と、低くなった音がいっしょに聞こえてくる。

{具体的にひとつひとつ考えると、おもしろい!}

 音のドップラー効果 

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