| ☆お勉強しようUz☆ 物理.統計力学 |
2016/7 Yuji.W |
|
☆ゴムのエントロピー☆ |
◎ ゴムの伸び縮みを統計力学的に扱う エントロピー
◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数- ★.
| ☆統計力学的エントロピー☆ |
■【 エントロピーの定義 】
エネルギー E 状態数 W(E) ボルツマン定数 kB
{定義} エントロピー S=kB*ln(W)
■【 統計力学的温度の定義 】
{定義} 温度 T=1/(S;E)
| ◇ゴムの場合の数◇ |
● n>>1 のとき ln(n!)=n*[ln(n)-1] さらに ln(n!)=n*ln(n) ★.
◆ ゴム ― ― ― ― ― ― 熱っすると
― | ― ― | ― 短くなる
長い分子1つのエネルギー 0 短い分子1つのエネルギー e
全分子数 N 短い分子数の数 n その割合 h=n/N 全エネルギー E=n*e=N*h*e
■《 場合の数 》
W=C(N,n)=N!/[n!*(N-n)!]
ln(W)=ln(N!)-ln(n!)-ln[(N-n)!]
次の3条件を満たすとき、
①
N は十分大きい
② n も十分大きい(N よりは小さい)
③ n は、N
に近づき過ぎない。N-n も十分大きい
ln(W)=N*ln(N)-n*ln(n)-(N-n)*ln(N-n)
n の代わりに h を使って、
ln(W)/N
=ln(N)-h*ln(N*h)-(1-h)*ln[N*(1-h)]
=ln(N)-h*[ln(N)+ln(h)]-(1-h)*[ln(N)+ln(1-h)]
=ln(N)-h*[ln(N)+ln(h)]-(1-h)*ln(N)-(1-h)*ln(1-h)
=-h*ln(h)-(1-h)*ln(1-h)
≫ ln(W)=-N*[h*ln(h)+(1-h)*ln(1-h)] ★.
|
『x*ln(x)』 2016/7
■ x=1/e~0.37 のとき x*ln(x) の最小値=-1/e~-0.37 ■ x=0.5 のとき x*ln(x)+(1-x)*ln(1-x) の最小値=-ln(2)~-0.69 ■ x=1/e のとき x^x の最小値=exp(-1/e)~0.69 |
▲ h=0.5 のとき 最大値 ln(W)~0.7*N をとる
■《 微分 》
[h*ln(h)];h=ln(h)+1
(1-h)*ln(1-h)=-ln(1-h)-1
[h*ln(h)+(1-h)*ln(1-h)];h=[ln(h)+1]-[ln(1-h)+1]=ln[(h/(1-h)] ★.
| ◇ゴムのエネルギー分布◇ |
◎ S=kB*ln(W) 1/T=S;E を使って、ゴムのエネルギー分布を求める
◆ エネルギー E=N*h*e エントロピー S 温度 T
■《 エネルギー分布 》
S=kB*ln(W)=-N*kB*[h*ln(h)+(1-h)*ln(1-h)] S;h=-N*kB*ln[(h/(1-h)]
1/T=S;E=(S;h)/(E;h)={-N*kB*ln[(h/(1-h)]}/(N*e)=-(kB/e)*ln[(h/(1-h)]
h を T の関数として表そう。
ln[h/(1-h)]=-e/(kB*T)
ln[(1-h)/h]=e/(kB*T)
(1-h)/h=exp[e/(kB*T)]
1-h=h*exp[e/(kB*T)]
1=h*{1+exp[e/(kB*T)]}
h=1/{1+exp[e/(kB*T)]}
h を E で表せば、
E=N*e/{1+exp[e/(kB*T)]} ★.
|
『1/[1+exp(1/x)]』 2016/7
|
▲ kB*T/e~0.5 のとき E/(N*e)~0.1
kB*T/e~1 のとき E/(N*e)~0.2
kB*T/e~2 のとき E/(N*e)~0.3
kB*T/e → ∞ のとき E/(N*e)~0.5 温度が上がっても、半分ほどの分子しか、短い分子にはならない
★ 統計力学-ゴムのエントロピー ★