物理　統計力学

2015/8-2013/12　Yuji.W

☆気体内の物体にかかる力☆

◎ マグデブルグの半球

【 ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#
微分;　時間微分'　積分$　10^x=Ten(x)　e^(i*x)=expi(x) 】物理定数 ★ 2015/08/03

■ パスカルの原理

「密閉容器内の流体は、その容器の形に関係なく、ある一点に受けた圧力を、そのままの強さで、流体の他のすべての部分に伝える。」

=「静止流体においての内部の力　方向:接触面に垂直　大きさ:面積に比例」

■ 静水圧 hydrostatic pressure

・静止した流体の中にとった面を通して、両側の流体が互いに及ぼす圧力(単位面積当たりの力)

・等方的で、面の向きに依らないスカラー

・任意の面に垂直に働く

■ 圧力の等方性の証明

　断面が直角三角形ABC (∠C=∠R) の三角柱に働く、水の力を考える。

直角三角形ABC は、xy平面上にあるとし、xy平面上の力を考える。

　辺AB に垂直に働く圧力 Pc　辺BC に垂直に働く圧力 Pa

　辺CA に垂直に働く圧力 Pb

水圧は、面に垂直に働くとする。

静止水において、任意の形において、その合力は 0 であるから、

　(Pc*AB)*BC/AB=Pa*BC　(Pc*AB)*CA/AB=Pb*CA　⇒

　Pc=Pa=Pb　圧力は向きに依らず一定の値になる。 ★

◎ 半円筒(断面 D)を気体の中に置く。それにかかる力を求めよう。

◆ z軸方向に半円筒が伸びている　半径 R

単位長さ当たりの半円筒の丸い部分(半円)にかかる力の横方向成分の和 Fx

気体の圧力 P=一定(高さに依らない)　※ 高さによって違うと浮力が生じる

円筒状の点とx軸とが作る角度 a

■ 円筒の丸い部分に働く圧力の向きは、円筒の中心だから、

　円筒状の微少部分 a~a+da にかかる力の横方向成分(x軸方向成分) dFx
=P*Ca*R*da

　Fx=2*P*R*${Ca*da}[a:0~Pi/2]=2*P*R*[Sa][a:0~Pi/2]=2*R*P ★.

　単位長さ当たりの半円筒の丸い部分に働く横向きの力=直径*圧力

{別解}　単位長さ当たりの半円筒の平な部分に働く横向きの力=直径*圧力

半円筒に働く合力は 0 であるから、丸い部分に働くと同じ大きさになる

◎ マグデブルグの半球に働く力を求めよう。

◆ 球(原点を中心　半径 R)　そのx軸正の方向側の半球を考える

その半球の丸い部分に、x軸の負の方向に働く力 Fx

半球面上の点がx軸と作る角 a

{別解}　半球の平な部分に働く力=(Pi*R^2)*P

半球に働く合力は 0 だから、Fx=Pi*R^2*P ★.

■ a~a+da の細い円環の面積=2Pi*(R*Sa)*(R*da)=2Pi*R^2*Sa*da ★.

　その円環に働く力 dFx
=(P*Ca)*(2Pi*R^2*Sa*da)
=2*Pi*R^2*${Sa*Ca*da}[a:0~Pi/2]

d(Sa)=Ca*da　だから、

　${Sa*Ca*da}[a:0~Pi/2]
=${Sa*d(Sa)}[Sa:0~1]
=[(1/2)*Sa^2][Sa:0~1]
=1/2

　Fx=2Pi*R*P*(1/2)=Pi*R^2*P ★.

★　気体内の物体にかかる力　★