◎ 気体分子の相対速度　気体分子の平均自由行程　mean free path

〓　相対速度　〓　

◎ 同じ速さで動く2粒子がある。その2粒子の相対速度を考える。計算を楽にするため、速さは 1 とする。次のようになるのは明か。

�@ |相対速度|≦2

�A 2粒子が等方的に、いろいろな方向をとる場合　相対速度の平均=0

　|相対速度|^2 の平均を考えていく

�B 2粒子が任意の方向をとる場合の |相対速度|^2 の平均 と、

一方の粒子の方向を固定し、他方の粒子の方向を任意にとる場合の |相対速度|^2 の平均 は同じになる

◆ 一方の粒子の速度 <v0>　他方の粒子の速度 <v>　v0=v=1

　相対速度 <u>=<v>-<v0>　|相対速度|^2の平均 @(u^2)

■【 1次元 】一方の粒子の速度 +1　他方の粒子の速度 +1,-1

|相対速度| 0,2

　@(u^2)=(0+4)/2=2　root[@(u^2)]=root2 ★.

■【 2次元、4方向のみ 】<v0>はx軸方向　<v>はx軸方向かy軸方向

|相対速度| 0 , root2 , root2 , 2

　@(u^2)=(0+2+2+4)/4=2　root[@(u^2)]=root2 ★.

■【 3次元、6方向のみ 】<v0>はx軸方向　<v>はx軸方向かy軸方向かz軸方向

|相対速度| 0 , root2 , root2 , root2 , root2 , 2

　@(u^2)=(0+2+2+2+2+4)/6=2　root[@(u^2)]=root2 ★.

■【 3次元 】2粒子の進む方向が作る角 a　速さ 1　軸対称

　相対速度の大きさ=2*sin(a/2)　その2乗=4*sin(a/2)^2

　@(u^2)
=${[4*sin(a/2)^2]*[2*Pi*sin(a)]*da}[a:0~Pi]/(4Pi)
=2*${sin(a/2)^2*sin(a)*da}[a:0~Pi]

　sin(a/2)^2*sin(a)*da
=2*sin(a/2)^3*cos(a/2)*da
=4*sin(a/2)^3*d[sin(a/2)]

　@(u^2)
=8*${sin(a/2)^3*d[sin(a/2)]}[sin(a/2):0~1]
=8*[sin(a/2)^4/4][sin(a/2):0~1]
=2

　root[@(u^2)]=root2 ★.

{別解}　相対速度 <u>=<v>-<v0>

　u^2=<u>*<u>=v^2-2*<v>*<v0>+v0^2=2-2*<v>*<v0>

平均を考えると、

　@(u^2)=2-2*@(<v>*<v0>)

等方的であるから　@(<v>*<v0>)=0

　@(u^2)=2　root[@(u^2)]=root2 ★.

{まとめ}　速さ v であれば　root[@(u^2)]=root2*v ★.

〓　平均自由行程　〓　

◆ 多数の気体分子が飛び回っている　気体の数密度 n　気体分子の散乱断面積 Ssc

平均自由時間 @Tf=衝突するのにかかる時間=1/(1秒間に衝突する回数)

平均自由行程 @Pf=ある特定の気体分子が別の気体分子に衝突するまでに進む距離の平均

■【 平均自由時間 】

1秒間に衝突する回数を求めたい。上記の状況は、次の状況と同じであるとする。

「ある特定の分子以外は、静止している。特定の分子は、相対速度 root2*v で動く」

　特定の分子が1秒間に進む距離=root2*v

　その間に衝突する可能性のある空間の体積=root2*v*Ssc

　その体積中の分子の数=n*(root2*v*Ssc)=root2*n*v*Ssc

　1秒間に衝突する回数=root2*n*v*Ssc

　@Tf=1/(root2*n*v*Ssc) ★.

■【 平均自由行程 】

　@Pf=v*@Tf=v*[1/(root2*n*v*Ssc)]=1/(root2*n*Ssc) ★.

{やっとわかってきた!2016/5}

〓　平均自由行程　〓　

◎ 気体分子は、おおよそ何m進むと、他の分子とぶつかるのか

■ 平均自由行程を求めよう

大気分子の半径 r~2*Ten(-10)_m

　Ssc=4Pi*[2*Ten(-10)]^2~5*Ten(-19)

P=1_atm=101325_Pa　T=273.15_K のとき　数密度 n~2.686781*Ten(25)_個/m^3

　@Pf=1/(n*Ssc)=1/{[2.7*Ten(25)]*[5*Ten(-19)]}~7*Ten(-8)_m ★.

■ @Pf=7*Ten(-8)_m　v=450_m/sec　のとき、

　平均の衝突時間 Tau=@Pf/v=7*Ten(-8)/450=1.6*Ten(-10)_sec ★.

　1秒で衝突する回数 1/Tau
=v/@Pf
=450/[7*Ten(-8)]
=64*Ten(8)/sec
~64億回 ★.

　1秒間、random walk してずれる距離
=@Pf*root[64*Ten(8)]
=[7*Ten(-8)]*[8*Ten(4)]
=56*Ten(-4)_m
=0.56_cm ★.

t秒間で、1cm ずれるには　root(t)=1/0.56　t~3.2_sec ★.

{いろいろな知識がまとまってきて、おもしろい!2015/5}