物理 力学

2015/11-2014/5 Yuji.W

☆2重振り子.解析力学☆

◎ 解析力学 ラグランジアン 複振り子 行列の対角化 ☆ pendulum

〔表記〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#〔物理定数
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
累乗 ^ 10^x≡Ten(x) 1/x≡Over(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z!
.2015/11/13

☆2重振り子のラグランジアンを求める☆

◎ 運動エネルギーと位置エネルギーを求めればよい

◆ 一様な重力場 重さを無視できる同じ長さの棒2本 同じ重さの重り2個

次のようにつなげる +-----@-----A

左端を支点にして振らせる 重りAは、重り@の所を支点に自由に回転できる

2つの重りは、一平面上に限られるとする

水平方向 x軸 鉛直下向き y軸

振り子@の質点の位置 (x1,y1) 振れた角度 a

振り子Aの質点の位置 (x2,y2) 振れた角度 b

運動エネルギー K 位置エネルギー U ラグランジアン Lg

デカルト座標で 

 K=(1/2)*m*[(x1'^2+y1'^2)+(x2'^2+y2'^2)] U=-m*g*(y1+y2)

 Lg=K-U

変数 a,b を使って 

 x1=R*sin(a) y1=R*[1-cos(a)]

 x2=x1+R*sin(b)=R*[sin(a)+sin(b)]

 y2=y1+R*[1-cos(b)]=R*[2-cos(a)-cos(b)]

時間微分 x1'/R=a'*cos(a) y1'/R=a'*sin(a)

 x2'/R=a'*cos(a)+b'*cos(b) y2'/R=a'*sin(a)+b'*sin(b)

 (x1'^2+y1'^2)/R^2=a'^2

 (x2'^2+y2'^2)/R^2
=[a'*cos(a)+b'*cos(b)]^2+[a'*sin(a)+b'*sin(b)]^2
=a'^2+b'^2+2*a'*b'*[cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)]
=a'^2+b'^2+2*a'*b'*cos(a-b)

 (x1'^2+y1'^2)+(x2'^2+y2'^2)
=R^2*[a'^2+a'^2+b'^2+2*a'*b'*cos(a-b)]
=R^2*[2*a'^2+b'^2+2*a'*b'*cos(a-b)]

 K=m*R^2*[a'^2+b'^2/2+a'*b'*cos(a-b)]

 U=-m*g*R*[2*cos(a)+cos(b)]+定数

ラグランジアンは定数の差は無視できるから、

 Lg=m*R^2*[a'^2+b'^2/2+a'*b'*cos(a-b)]+m*g*R*[2*cos(a)+cos(b)] .

■《 位置エネルギー 》

 U/(m*g*R)=3-2*cos(a)-cos(b)

■《 重りの位置 》

重り@ x1/R=sin(a) y1/R=1-cos(a)

重りA x2/R=sin(a)+sin(b) y2/R=2-cos(a)-cos(b)

☆振れ角が小さいとき☆

『ラグランジアン.1次元』 ◇ 時間微分 ' ※ 次元の拡張は簡単 2015/11

※ 以下、位置エネルギーは、時間に陽に依らない場合

■ 一般座標 q 一般速度 q' 運動エネルギー K(q'^2) 位置エネルギー U(q)

 ラグランジアン Lg(q,q')=K(q'^2)-U(q)

一般運動量 p=Lg;q' 一般力 Q=Lg;q  運動方程式 p'=Q

◆ ラグランジアン Lg

=m*R^2*[a'^2+b'^2/2+a'*b'*cos(a-b)]+m*g*R*[2*cos(a)+cos(b)]

|a|<<1 , |b|<<1 , |a-b|<<1 , |a'|<<1 , |b'|<<1 のとき、

微少量の2次まで残し、3次以降を省略する

 a'^2 , b'^2 そのまま残す

 a'*b'*cos(a-b)=a'*b'*[1-(a-b)^2/2+…]=a'*b' 3次以降を省略 {核心!}

 cos(a)=1-a^2/2 cos(b)=1-b^2/2 とする

ラグランジアンは定数の差は無視できるから、

 Lg=m*R^2*(a'^2+b'^2/2+a'*b')-m*g*R*(a^2+b^2/2) .

 pa=Lg;a'=m*R^2*(2*a'+b')

 pb=Lg;b'=m*R^2*(a'+b')

 Qa=Lg;a=-2*m*g*R*a

 Qb=Lg;b=-m*g*R*b

運動方程式 m*R^2*(2*a''+b'')=-2*m*g*R*a & m*R^2*(a'+b')=-m*g*R*b

 2*a''+b''=-2*(g/R)*a & a'+b'=-(g/R)*b

 a''=-2*(g/R)*(a-b/2) & b''=-2*(g/R)*(b-a) .

◆ x''=-(x-y/2) & y''=-(y-x)

■ X=(x-y)/2 Y=-(x+y)*root2/4 と置いて、

 X''=-(1-root2/2)*X & Y''=-(1+root2/2)*Y

 x=X+root2*Y & y=X-root2*Y

■ A=(a-b)/2 B=-(a+b)*root2/4 と置いて、

さらに w1≡root[2*(g/R)*(1-root2/2)]=root[(g/R)*(2-root2)]

 w2≡root[2*(g/R)*(1+root2/2)]=root[(g/R)*(2+root2)] として、

 A''=-w1^2*A & B''=-w2^2*B

 A=A0*cos(w1*t+α) & B=B0*cos(w2*t+β)

 a=A+root2*B & b=A-root2*B

■《 位置エネルギー 》

 U/(m*g*R)=3-2*cos(a)-cos(b)

■《 重りの位置 》

重り@ x1/R=sin(a) y1/R=1-cos(a)

重りA x2/R=sin(a)+sin(b) y2/R=2-cos(a)-cos(b)

☆振れ角が小さくないとき☆

◎ 関数としては解けない カオス現象になる

『ラグランジアン.1次元』 ◇ 時間微分 ' ※ 次元の拡張は簡単 2015/11

※ 以下、位置エネルギーは、時間に陽に依らない場合

■ 一般座標 q 一般速度 q' 運動エネルギー K(q'^2) 位置エネルギー U(q)

 ラグランジアン Lg(q,q')=K(q'^2)-U(q)

一般運動量 p=Lg;q' 一般力 Q=Lg;q  運動方程式 p'=Q

◆ Lg=m*R^2*[a'^2+b'^2/2+a'*b'*cos(a-b)]+m*g*R*[2*cos(a)+cos(b)] .

■ pa=Lg;a'=m*R^2*[2*a'+b'*cos(a-b)]

 pb=Lg;b'=m*R^2*[b'+a'*cos(a-b)]

 Qa=Lg;a=-m*R^2*a'*b'*sin(a-b)-2*m*g*R*sin(a)

 Qb=Lg;b=m*R^2*a'*b'*sin(a-b)-m*g*R*sin(b)]

 [b'*cos(a-b)]'=b''*cos(a-b)-b'*(a'-b')*sin(a-b)

 [a'*cos(a-b)]'=a''*cos(a-b)-a'*(a'-b')*sin(a-b)

運動方程式

 m*R^2*[2*a''+b''*cos(a-b)-b'*(a'-b')*sin(a-b)]
=-m*R^2*a'*b'*sin(a-b)-2*m*g*R*sin(a) &

 m*R^2*[b''+a''*cos(a-b)-a'*(a'-b')*sin(a-b)]
=m*R^2*a'*b'*sin(a-b)-m*g*R*sin(b)]

 2*a''+b''*cos(a-b)+b'^2*sin(a-b)+2*(g/R)*sin(a)=0 &

 a''*cos(a-b)+b''-a'^2*sin(a-b)+(g/R)*sin(b)=0 .

 a''*[2-cos(a-b)^2]
=-{a'^2*cos(a-b)*sin(a-b)+b'^2*sin(a-b)+(g/R)*[2*sin(a)-cos(a-b)*sin(b)]} &

 b''*[2-cos(a-b)^2]
=2*a'^2*sin(a-b)+b'^2*cos(a-b)*sin(a-b)+2*(g/R)*[cos(a-b)*sin(a)-sin(b)]
.

☆ラグランジアンを使わないで☆

◎ ラグランジアンを使わないで、運動方程式を求めよう。

◆ (振れ角)<<1 の場合 sin(振れ角)=tan(振れ角)=(振れ角)

質点は、円弧ではなく、水平線上振動するとみなすことができる。

振り子@ 振れた角度 a 張力 T1=m*g+T2

振り子A 振れた角度 b 張力 T2=m*g

 T1=2*m*g

■ x1=R*a x2=x1+R*b=R*(a+b)

 振り子@に働く水平方向分力=-T1*a+T2*b=m*g*(-2*a+b)

 振り子Aに働く水平方向分力=-T2*b=-m*g*b

運動方程式 @ m*(R*a)''=m*g*(-2*a+b) a''=-(g/R)*(2*a-b)

A m*[R*(a+b)]''=-m*g*b a''+b''=-(g/R)*b

 a''=-2*(g/R)*(a-b/2) b''=-2*(g/R)*(b-a) .

{難しそうだけど、取り組んでみると、意外とできる!2014/5}

  2重振り子.解析力学  

inserted by FC2 system