◎ 熱力学的平衡状態で、気体分子の速度分布則　マックスウエル分布

☆Maxwell velocity distribution  Maxwell-Bolzmann distribution

◇ ベクトル<A>　縦ベクトル<A)　単位ベクトル<-u>　内積*　外積#　微分;x　時間微分'　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　共約複素数\z　物理定数- ★.

● 一様な重力場での大気の分布　高さ z で　数密度 n(z)　圧力 P(z)

　n(z) ∝ exp[-位置エネルギー/(kB*T)]　P(z) ∝ exp[-位置エネルギー/(kB*T)]

◎ 外力がない場合の気体の分布 ⇒ 一様な分布

1次元の位置エネルギーがある場での理想気体の分布 ⇒ 力がかかっている方向に多く分布するであろう

◆ 理想気体　温度一定[絶対温度T]　数密度 n(x)　気体の圧力 P(x)=kB*T*n(x)

気体分子に働く力 F(x)　位置エネルギー U(x)　F(x)=-U(x);x

■ 理想気体で　P(x)=n(x)*kB*T

x~x+dx　断面積1　の領域内の気体に働く力関係を考える

　気体にかかる圧力の差=P(x+dx)-P(x)=[P(x);x]*dx=kB*T*[n(x);x]*dx

　気体分子1個にかかる力=F(x)=-U(x);x

　[(x~x+dx 断面積1) の領域内の気体に働く力]=-[U(x);x]*n(x)*dx

つり合いの式　kB*T*[n(x);x]*dx=-[U(x);x]*n(x)*dx

　[n(x);x]/n(x)=-[U(x);x]/(kB*T)

積分して　n(x)=n0*exp[-U(x)/(kB*T)] ★.ボルツマンの法則

▲ 位置エネルギーが低いほど、存在する粒子の数は多くなる。

▲ U/(kB*T)<3 で、95%を占める。

U/(kB*T)>10 になる粒子はほどんどないが、0 ではない。

● 気体の数密度関数

一様な重力場　n(z)/n0=exp[-m*g*z/(kB*T)]

1次元の位置エネルギー U(x)　n(x)/n0=exp[-U/(kB*T)]

◆ マックスウェル分布

・1種類の理想気体　質量 m
・熱力学的平衡状態　温度 T
・弾性衝突

　v^2=vx^2+vy^2+vz^2　dvx*dvy*dvz=4Pi*v^2*dv

　(1/2)*m*v^2/(kB*T)=A*v^2　A=(1/2)*m/(kB*T)

■ 速度分布(確率)関数 f(vx,vy,vz)

あるひとつの気体分子が、速度 vx〜vx+dvx  vy〜vy+dvy  vz〜vz+dvz
である確率 f(vx,vy,vz)

　f(vx,vy,vz)
∝ exp(-A*v^2)*dvx*dvy*dvz
=exp(-A*vx^2)*exp(-A*vy^2)*exp(-A*vz^2)*dvx*dvy*dvz　★・

■ 等方的であるとき、(普通はそうである)、あるひとつの気体分子が、
速度 v〜v+dvである確率 f(v)*dv

　f(v) ∝ v^2*exp(-A*v^2)*dv　★・Maxwell distribution

　f(v)=4Pi*[m/(2Pi*kB*T)]^(3/2)*v^2*exp[-m*v^2/(2*kB*T)]　★・

■ あるひとつの気体分子が、速度 vx〜vx+dvx である確率

  ∝ exp(-A*vx^2)*dvx　★・

※確率ではなく、実際の分子の数で定義することもある。{紛らわしい!}

※数学では、分布関数というと、累積分布関数を言う場合が多い。物理では違う。

  f(vx,vy,vz) ∝ exp[-(1/2)*m*v^2/(kB*T)]
=exp(-A*v^2)
=exp(-A*vx^2)*exp(-A*vy^2)*exp(-A*vz^2)

積分すると、

左辺=1  ※確率だから

  右辺=$$${exp(-A*vx^2)*exp(-A*vy^2)*exp(-A*vz^2)*dvx*dvy*dvz}
=($$${exp(-A*vx^2)*dvx}[vx:-∞~∞])^3
=root(Pi)^3/root(A)^3  だから、

  f(vx,vy,vz)=[root(A)^3/root(Pi)^3]*exp[-(1/2)*m*v^2/(kB*T)]
=[root(A/Pi)]^3*exp(-A*v^2)

  速度分布(確率)関数 f(vx,vy,vz)=(A/Pi)^(3/2)*exp(-A*v^2)　★・

■ vy,vz を、それぞれ -∞〜∞ で積分すると、

  ${exp(-A*x^2)*dx}[x:-∞~∞]=root(Pi/A)  だから、

  f(vx)=[root(A/Pi)]^3*exp(-A*vx^2)*(Pi/A)
=root(A/Pi)*exp(-A*vx^2)

  f(vx)=root(A/Pi)*exp(-A*vx^2)　★・

■ f(vx,vy,vz) ∝ exp(-A*v^2)  f(vx) ∝ exp(-A*vx^2)

▲ それぞれ、v=0 , vx=0 の確率が最も高い。ただし、v^2 の分布を考えると、

  v^2*f(v) で、v^2 が大きくなるにつれて、

v^2 は大きくなる、f(v) は小さくなる、したがって、

  v^2*f(v) は、山のような形になる。

▲ 速さの最大値は、ほぼ、A*v^2=2 を満たす値であると言ってよい。すなわち、

  v_max=root(2/A)=2*root(kB*T/m)

★ 窒素分子  m~4.7*Ten(-26)_kg/個  T=300 で kB*T=4.1*Ten(-21)_J

  v_max~2*root[4.1*Ten(-21)/4.7*Ten(-26)]
~2*root(8.72)*Ten(2)
~600_m/sec

  @v~root3*root(kB*T/m)~520_m/sec

● dx*dy*dz=4Pi*r^2*dr  dvx*dvy*dvz=4Pi*v^2*dv

■ マックスウェル分布  熱力学的平衡状態  質量 m の気体

  v^2=vx^2+vy^2+vz^2  速度に対する分布関数 f(vx,vy,vz)

  A=m/(2*kB*T)　★・   A*v^2=(1/2)*m*v^2/(kB*T)

  f(vx,vy,vz) ∝ exp[-(1/2)*m*v^2/(kB*T)]
=exp(-A*v^2)
=exp(-A*vx^2)*exp(-A*vy^2)*exp(-A*vz^2)

積分すると、

左辺=1  ※確率だから

  右辺=$$${exp(-A*vx^2)*exp(-A*vy^2)*exp(-A*vz^2)*dvx*dvy*dvz}
=($$${exp(-A*vx^2)*dvx}[vx:-∞~∞])^3
=root(Pi)^3/root(A)^3  だから、

  f(vx,vy,vz)=[root(A)^3/root(Pi)^3]*exp[-(1/2)*m*v^2/(kB*T)]
=[root(A/Pi)]^3*exp(-A*v^2)

  速度分布(確率)関数 f(vx,vy,vz)=(A/Pi)^(3/2)*exp(-A*v^2)　★・

■ vy,vz を、それぞれ -∞〜∞ で積分すると、

  ${exp(-A*x^2)*dx}[x:-∞~∞]=root(Pi/A)  だから、

  f(vx)=[root(A/Pi)]^3*exp(-A*vx^2)*(Pi/A)
=root(A/Pi)*exp(-A*vx^2)

  f(vx)=root(A/Pi)*exp(-A*vx^2)　★・

■ f(vx,vy,vz) ∝ exp(-A*v^2)  f(vx) ∝ exp(-A*vx^2)

▲ それぞれ、v=0 , vx=0 の確率が最も高い。ただし、v^2 の分布を考えると、

  v^2*f(v) で、v^2 が大きくなるにつれて、

v^2 は大きくなる、f(v) は小さくなる、したがって、

  v^2*f(v) は、山のような形になる。

▲ 速さの最大値は、ほぼ、A*v^2=2 を満たす値であると言ってよい。すなわち、

  v_max=root(2/A)=2*root(kB*T/m)

★ 窒素分子  m~4.7*Ten(-26)_kg/個  T=300 で kB*T=4.1*Ten(-21)_J

  v_max~2*root[4.1*Ten(-21)/4.7*Ten(-26)]
~2*root(8.72)*Ten(2)
~600_m/sec

  @v~root3*root(kB*T/m)~520_m/sec

◎ 速度(確率)分布関数を使って、平均運動エネルギーを求めよう！

■ @(vx^2)
=${vx^2*f(vx)*dvx}[vx:-∞~∞]　★・
=root(A/Pi)*${vx^2*exp(-A*vx^2)*dvx}[vx:-∞~∞]
=root(A/Pi)*[root(Pi)/2]/A^(3/2)
=1/(2*A)
=kB*T/m

  (1/2)*m*@(vx^2)=(1/2)*kB*T　★・

■ @(v^2)
=${v^2*f(v)*dv}[v:-∞~∞]　★・
=(A/Pi)^(3/2)*${v^2*exp(-A*v^2)*dvx:dvy:dvz}[vx,vy,vz:-∞~∞]
=(A/Pi)^(3/2)*(3/2)*Pi^(3/2)/A^(5/2)
=(3/2)/A
=(3/2)*(2*kB*T)/m

  (1/2)*m*@(v^2)=(3/2)*kB*T　★・{やっとできた、40年かかった！2013/5}

◎ 速度(確率)分布関数を使って、平均の速さ求めよう！

■ @v
=${v*f(v)*dvx*dvy*dvz}[vx,vy,vz:-∞~∞]
=4Pi*(A/Pi)^(3/2)*${v^3*exp(-A*v^2)*dv}[v:0~∞]
=4Pi*(A/Pi)^(3/2)*(1/2)/A^2
=2/root(Pi*A)
=root(8/Pi)*root(kB*T/m)　★・
~1.6*root(kB*T/m)

■ @(v^2)=3*kB*T/m

  root[@(v^2)]=root3*root(kB*T/m)~1.7*root(kB*T/m)

● x^2*exp(-x^2)  x=1 で  最大値 1/e~0.368

■ 確率が最大であるときの、

  vfre=1/root(a)=root2*root(kT/m)~1.4*root(kT/m)

■ 速さの最大値 vmax  おおよそ、A*vmax^2=2

  vmax=2*root(kB*T/m)

■ vfre=1 とすれば、

  @v~1.1  @(v^2)~1.2  vmax~1.4

　★　ボルツマンの法則　★