物理 特殊相対性理論  2017/8-2013/4 Yuji.W
 ☆ 全運動量0系
特殊相対性理論 全運動量が 0 である系 非相対論では質量の中心系、重心系と言う

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec〔 @3=2.99792458{定義値} 〕 物理定数

【電磁気国際単位系クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
CGS静電単位系ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>
 [国際単位系 B=1_T] ⇔ [CGS静電単位系 Bcgs=10000_G]
 〔電磁気の単位

◇ 直線上の運動

◆ 2粒子 1次元 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系

■ 個々の粒子のエネルギーと運動量、および、全エネルギーと全運動量はローレンツ変換を満たす

■ 次の量は、ローレンツ不変量である

@ 個々の粒子で E1^2-pc1^2=@m1^2 & E2^2-pc2^2=@m2^2

A 全エネルギーと全運動量 (E1+E2)^2-(pc1+pc2)^2

B E1*E2-pc1*pc2

※ Aのローレンツ不変量≠(@m1+@m2)^2

◆ b=B[+]b.=(B+b.)/(1+B*b.) Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ Γ(b)=Γ(B)*Γ(b.)*(1+B*b.) Γ(b)*b=Γ(B)*Γ(b.)*(B+b.)

◆ 1粒子1次元運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系のx軸方向に対する速さ(対光速比) b.=一定

粒子の位置 x系で <tc x) X系で <Tc X)_X

■【 時間微分 】dt/dT=Γ(b.)*(1+B*b.) dT/dt=Γ(b.)*(1-b*b.)

■【 運動量の変化量、力 】pK'/p'=1 FK/F=1

■【 加速度 】b'/B'=1/[Γ(b.)*(1+B*b.)]^3

B=0 のとき b=b. b'/B'=1/Γ(b)^3

◇ 全運動量0系.1次元

● b=B[+]b.=(B+b.)/(1+B*b.) Γ(b)=1/root(1-b^2)

 Γ(b)=Γ(B)*Γ(b.)*(1+B*b.) Γ(b)*b=Γ(B)*Γ(b.)*(B+b.)

◆ 2粒子(静止質量 m1,m2) 1次元の運動 2つの慣性系 x系、G系

x系で 速さ(対光速比) b1,b2 運動量(光速倍) pc1,pc2 エネルギー E1,E2

G系で同様に b1G,b2G pc1G,pc2G E1G,E2G pc1G+pc2G=0 にしたい

G系のx系に対する速さ b.G

■ ポイントは、速さの関係が次のようになる事である。

 b1G=b1[-]b.G=(b1-b.G)/(1-b1*b.G)
 b2G=b2[-]b.G=(b2-b.G)/(1-b2*b.G)

相対論的効果率 Γ は、次のような関係がある

 Γ(b1G)*b1G=Γ(b1)*Γ(b.G)*(b1-b.G)
 Γ(b2G)*b2G=Γ(b2)*Γ(b.G)*(b2-b.G)

pc=Γ(b)*b*@m だから、

 pc1G=@m1*Γ(b1G)*b1G=@m1*Γ(b1)*Γ(b.G)*(b1-b.G)
 pc2G=@m2*Γ(b2G)*b2G=@m2*Γ(b2)*Γ(b.G)*(b2-b.G)

pc1G+pc2G=0 にしたいのだから、

 @m1*Γ(b1)*Γ(b.G)*(b1-b.G)+@m2*Γ(b2)*Γ(b.G)*(b2-b.G)=0

 b.G
=[@m1*Γ(b1)*b1+@m2*Γ(b2)*b2]/[@m1*Γ(b1)+@m2*Γ(b2)]
=(pc1+pc2)/(E1+E2)

≫ b.G=(pc1+pc2)/(E1+E2)  .全運動量0系の速さ

※ 一般に b.G=(p1+p2)/(m1+m2) にならない。「重心系」とか「質量の中心系」とかいう表現は、混乱をまねく。

{いろいろな事がわかってきた、おもしろいなあ、楽しいなあ!2015/3}

{別解} それぞれの粒子で、ローレンツ変換が成り立っている。

 pc1G+pc2G
=[Γ(b.G)*pc1-Γ(b.G)*b.G*E1]+[Γ(b.G)*pc2-Γ(b.G)*b.G*E2]
=Γ(b.G)*(pc1+pc2)-Γ(b.G)*b.G*(E1+E2)
=Γ(b.G)*[(pc1+pc2)-b.G*(E1+E2)]

ここで、次のように定めれば pc1G+pc2G=0 とすることができる。

 (pc1+pc2)-b.G*(E1+E2)=0 b.G=(pc1+pc2)/(E1+E2) ‖

◇ 同質量2粒子.全運動量0系.1次元

■ 同質量の2粒子の場合

 b.G
=[m*Γ(b1)*b1+m*Γ(b2)*b2]/[m*Γ(b1)+m*Γ(b2)]
=[Γ(b1)*b1+Γ(b2)*b2]/[Γ(b1)+Γ(b2)]
.

◇ 全運動量0系.1次元と元の系との関係

◆ 2粒子1次元 直線上の運動 慣性系 x系 全運動量0系 G系

x系で 速さ(対光速比) b1,b2 運動量(光速倍) pc1,pc2 エネルギー E1,E2

G系で 速さ(対光速比) b1G,b2G 運動量(光速倍) pc1G,pc2G エネルギー E1G,E2G

G系のx系に対する速さ(対光速比) b.G

■ 全運動量0系 b.G=(pc1+pc2)/(E1+E2)  pc1G+pc2G=0

■ ローレンツ変換 pc1=Γ(b.G)*pc1G+Γ(b.G)*b.G*E1G pc2=…
 E1=Γ(b.G)*E1G+Γ(b.G)*b.G*pc1G E2=…

 pc1+pc2
=Γ(b.G)*(pc1G+pc2G)+Γ(b.G)*b.G*(E1G+E2G)
=Γ(b.G)*b.G*(E1G+E2G) 

 E1K+E2K
=Γ(b.G)*(E1G+E2G)+Γ(b.G)*b.G*(pc1G+pc2G)
=Γ(b.G)*(E1G+E2G)

≫ pc1+pc2=Γ(b.G)*b.G*(E1G+E2G) E1K+E2K=Γ(b.G)*(E1G+E2G) .

Γ(b.G)>1 だから いろいろな系の中で E1G+E2G が最小値をとる

{やっと整理できた!2015/11}

◇ 相対速度

◎ 2粒子1次元運動の、相対論的相対速度を求めよう。

◆ 2粒子@m1,@m2 速度 b1,b2

■ 相対論的相対速度 b12=(b1-b2)/(1-b1*b2)

 Γ(b12)=(1-b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) 

◎ 相対速度を活用しよう。

◆ 2粒子@m1,@m2 速度 b1,b2 E=@m1*Γ(b1)+@m2*Γ(b2) .

 b.G=(1/E)*[@m1*Γ(b1)*b1+@m2*Γ(b2)*b2] .

■ 1-b.G^2=(1/E^2)*{E^2-[@m1*Γ(b1)*b1+@m2*Γ(b2)*b2]^2}

 {〜}=@m1^2*Γ(b1)^2+2*@m1*@m2*Γ(b1)*Γ(b2)+@m2^2*Γ(b2)^2
-@m1^2*Γ(b1)^2*b1^2-2*@m1*@m2*Γ(b1)*Γ(b2)*b1*b2

-@m2^2*Γ(b2)^2*b2^2
=@m1^2*Γ(b1)^2*(1-b1^2)
+2*@m1*@m2*Γ(b1)*Γ(b2)*(1-b1*b2)
+@m2^2*Γ(b2)^2*(1-b2^2)
=@m1^2+@m2^2+2*@m1*@m2*Γ(b12)

 1-b.G^2=(1/E^2)*[@m1^2+@m2^2+2*@m1*@m2*Γ(b12)]

 Γ(b.G)=E/root[@m1^2+@m2^2+2*@m1*@m2*Γ(b12)] .

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