物理 特殊相対性理論  2017/9-2013/3 Yuji.W

☆ 速度の合成.2次元

◎ ローレンツ変換 速度の合成 光行差 鏡時計 _物理定数

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec @3=2.99792458{定義値} (@3)^2=@9

〓 速度の合成.1次元 〓

◆ 1つの粒子がx軸上を運動する

2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

粒子の速さ(対光速比) x系で b X系で B

■ b=B[+]b.=(B+b.)/(1+B*b.) dt/dT=Γ(b)/Γ(B) dT/dt=Γ(B)/Γ(b)

〓 Γ(b) の公式 〓

◆ 以下の式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

 b=(b1+b2)/(1+b1*b2) Γ(b)=1/root(1-b^2)〔|b|<1〕

■ Γ(b)=Γ(b1)*Γ(b2)+[Γ(b1)*b1]*[Γ(b2)*b2]

 Γ(b)*b=[Γ(b1)*b1]*Γ(b2)+Γ(b1)*[Γ(b2)*b2]

〓 速度の合成.2次元 〓

◆ 1粒子 xy平面上での運動

2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速度=<x>*b.

粒子の速度 X系で <Bx By> x系で <bx by>

2つの事象 X系で @<0 0 0)_X A<Tc Bx*Tc By*Tc)_X
x系で @<0 0 0) A<tc bx*tc by*tc)

■ ローレンツ変換より、

 tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*(Bx*Tc)=Γ(b.)*(1+b.*Bx)*Tc

 bx*tc=Γ(b.)*(Bx*Tc)+Γ(b.)*b.*Tc=Γ(b.)*(Bx+b.)*Tc

 by*tc=By*Tc ※ y軸方向の長さの短縮はない

整理すると

 tc/Tc=Γ(b.)*(1+Bx*b.)=Γ(b.)*(Bx+b.)/bx=By/by

⇒ bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By/[Γ(b.)*(1+Bx*b.)]
 tc=Tc*Γ(b.)*(1+Bx*b.) _

■【 b と B 】

 b^2=bx^2+by^2
=(Bx+b.)^2/(1+Bx*b.)^2+By^2/[Γ(b.)^2*(1+Bx*b.)^2]
=(Bx+b.)^2/(1+Bx*b.)^2+By^2*(1-b.^2)/(1+Bx*b.)^2
=[(Bx+b.)^2+By^2*(1-b.^2)]/(1+Bx*b.)^2

 分子=[(Bx+b.)^2+By^2*(1-b.^2)]
=Bx^2+2*Bx*b.+b.^2+By^2-By^2*b.^2
=Bx^2+By^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2
=B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2

 b^2=[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]/(1+Bx*b.)^2 _

■【 Γ(b) 】

 1-b^2=1-[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]/(1+Bx*b.)^2

={(1+Bx*b.)^2-[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]}/(1+Bx*b.)^2

 分子=(1+Bx*b.)^2-[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]
=1+2*Bx*b.+Bx^2*b.^2-B^2-2*Bx*b.-b.^2+By^2*b.^2
=(1-b.^2)-B^2*(1-b.^2)
=(1-b.^2)*(1-B^2)

 1-b^2=(1-b.^2)*(1-B^2)/(1+Bx*b.)^2=1/[Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)]^2

 Γ(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.) _

 by=By/[Γ(b.)*(1+Bx*b.)]=By*Γ(B)/Γ(b)

 tc=Tc*Γ(b.)*(1+Bx*b.)=Tc*Γ(b)/Γ(B) _

{やったあ!できた!2017/9}

〓 速度の合成.2次元 〓

◆ 1粒子 xy平面上での運動

2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.

粒子の速度(対光速比) X系で <B>=<Bx By> x系で <b>=<bx by>

bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By/[Γ(b.)*(1+Bx*b.)]

 b^2=[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]/(1+Bx*b.)^2

 tc=Tc*Γ(b.)*(1+Bx*b.)

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)

 bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By*Γ(B)/Γ(b) tc=Tc*Γ(b)/Γ(B)

〓 {計算例}速度の合成.2次元 〓

◆ b.=3/5 Bx=0 By=4/5 B=4/5  Γ(3/5)=5/4 Γ(4/5)=5/3

bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.)=(0+3/5)/1=3/5

 by=By/[Γ(b.)*(1+Bx*b.)]=(4/5)/(5/4)=16/25

 b^2=bx^2+by^2=9/25+256/625=481/625 b=root(481)/25=0.877

 Γ(b)=Γ(0.877)=2.08

 tc/Tc=Γ(b.)*(1+Bx*b.)=Γ(b.)*(1+Bx*b.)=5/4

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)=(5/4)*(5/3)*1=25/12=2.08

 by=By*Γ(B)/Γ(b)=(4/5)*(5/3)/(25/12)=16/25

 tc/Tc=Γ(b)/Γ(B)=(25/12)/(5/3)=5/4

〓 光速度不変 〓

◆ X系で静止している光源から光 B^2=Bx^2+By^2=1

b^2=[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]/(1+Bx*b.)^2

 分子=B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2
=1+2*Bx*b.+Bx^2*b.^2
=(1+Bx*b.)^2

 b^2=(1+Bx*b.)^2/(1+Bx*b.)^2=1 _光はどの系で観測しても速さは変わらない

〓 光行差 〓

◆ X系でy軸方向に出た光 Bx=0 By=1

■ x系で bx=b. by=1/Γ(b.) bx^2+by^2=1

斜めに進む。速さは変わらない。y軸と作る角 a

 tan(a)=bx/by=Γ(b.)*b. _

■ |b.|<<1 のとき、

 Γ(b.)=1+(1/2)*b.^2 Γ(b.)*b.=b.+(1/2)*b.^3~b.

当然 |a|<<1 だから tan(a)~a

 a~b.  光行差(横方向の速さが遅い場合)


◎ 地球の公転運動を利用して、光行差を検出する

地球は星に対して動いているから、星の光は、地球の進行方向に対して前のほうにずれたように見える。1年で、星は天空で小さな円を描くように観測される。その効果は、地球の公転面に対して垂直方向にある星が最大で、公転面にある星は光行差は生まれない。 _

◆ 地球の公転速度(対光速比) b. 公転面に対して垂直方向にある星の光行差 a

■ 公転速度=30_km/sec=3*Ten(4)_m/sec c=3*Ten(8)

 b.=[3*Ten(4)]/[3*Ten(8)]=Ten(-4)

 a=b.=Ten(-4)_rad=Ten(-4)*(180/Pi)=5.73*Ten(-3)_°

角度の秒で表せば、

 a=5.73*Ten(-3)*3600=20.6_秒 _

〓 鏡時計 〓

鏡時計 X系に、Y軸方向に距離 c だけ離して、鏡を2つ置く。光を、鏡の間を往復させる。1秒ごとに、光は反射する。時計代わりに使える。

その現象を、x系で観測しよう。

鏡は、x軸方向に、速さ v. で動いて行く。X系でY軸方向に出された光は、x系では傾いて光は進む。その角度 a は、sin(a)=b.=v./c だから、
光はちょうど鏡にぶつかる。

相対論は矛盾なくできている{!}

{x系で光は斜めの方向に進むわけはないから、「相対論は間違っている」と書いてある本があった!2014/2}

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