☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/3-2013/3 Yuji.W

速度の合成.2次元

◎ 任意の方向への速度の合成 光行差 鏡時計

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 -

速度の合成.2次元.Y軸方向への運動

◎ ある慣性系でY軸方向に動く 別の慣性系ではどのように観測されるか

◆ 2次元 2つの慣性系 x系、X系 X系はx系のx軸方向に速さ(対光速比) b. で等速直線運動 x軸とX軸とは重なる y軸とY軸は平行

1質点 X系のXY平面のY軸上を速さ(対光速比) By で等速直線運動 速度 <0 By>

x系のxy平面で 速度 <bx by>

※ 相対論では、速度ベクトルの和の法則が成り立たないのだから、ベクトルで標記するのは、本当はふさわしくない。慣れている標記ということで使う。

非相対論で <bx by>=<b. 0>+<0 By>=<b. By>

事象が起きる時刻と座標を <時間(光速倍) x座標 y座標) X系の値には、_X を添付する。時間と位置を調整し、次のようにする。

事象@ 質点が時刻 0 で原点 <0 0 0)_X <0 0 0)
事象A ある時間後、ある位置に移動した <Tc 0 By*Tc)_X <tc bx*tc by*tc)

■ ローレンツ変換より、

 tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*0=Γ(b.)*Tc
 bx*tc=Γ(b.)*0+Γ(b.)*b.*Tc=Γ(b.)*b.*Tc
 by*tc=By*Tc

tc と Tc を消去して、

 bx=b. & by=By/Γ(b.)

≫ <bx by>=<b. 0>[+]<0 By>=<b. By/Γ(b.)> 

★ b.=0.6 & By=0.8 のとき

 <0.6 0>[+]<0 0.8>=<0.6 0.8/Γ(0.6)>=<0.6 0.64>

■ 光のとき By=1 <bx by>=<b. 1/Γ(b.)> 

 |<bx by>|^2=b.^2+1/Γ(b.)^2=b.^2+(1-b.^2)=1

光は、斜めに進んでいるように観測されるが、その速さは変わらない 

{光時計の考え方は、正当であることがわかる!2015}

速度の合成.2次元

◆ X系のx系に対する速度 <b. 0>

1質点 X系での速度 <Bx By> x系での速度 <bx by>

X系で @<0 0 0)_X A<Tc Bx*Tc By*Tc)_X

x系で @<0 0 0) A<tc bx*tc by*tc)

● 非相対論で <bx by>=<b. 0>+<Bx By>=<b.+Bx By>

■ ローレンツ変換より、

 tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*(Bx*Tc)=Γ(b.)*(1+b.*Bx)*Tc

 bx*tc=Γ(b.)*(Bx*Tc)+Γ(b.)*b.*Tc=Γ(b.)*(Bx+b.)*Tc

 by*tc=By*Tc

tc と Tc を消去して、

 Γ(b.)*(1+b.*Bx)=Γ(b.)*(Bx+b.)/bx=By/by

 bx=(b.+Bx)/(1+b.*Bx) & by=By/[Γ(b.)*(1+b.*Bx)]

≫ <bx by>=<b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx) 

速度の合成.2次元の公式

◎ 2つの慣性系 Γ(b) , Γ(b.) , Γ(B) の関係

◆ <b>=<b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

 B=root(Bx^2+By^2)

■ |<b.+Bx By/Γ(b.)>|^2
=(b.+Bx)^2+By^2/Γ(b.)^2
=(b.^2+2*b.*Bx+Bx^2)+By^2*(1-b.^2)
=b.^2*(1-By^2)+2*b.*Bx+(Bx^2+By^2)

 b^2=[b.^2*(1-By^2)+2*b.*Bx+(Bx^2+By^2)]/(1+b.*Bx)^2

 1-b^2
=1-[b.^2*(1-By^2)+2*b.*Bx+(Bx^2+By^2)]/(1+b.*Bx)^2
={(1+b.*Bx)^2-[b.^2*(1-By^2)+2*b.*Bx+(Bx^2+By^2)]}/(1+b.*Bx)^2

 分子
=(1+2*b.*Bx+b.^2*Bx^2)-[b.^2*(1-By^2)+2*b.*Bx+(Bx^2+By^2)]
=1+b.^2*Bx^2-b.^2+b.^2*By^2-Bx^2-By^2
=(1-b.^2)-Bx^2*(1-b.^2)-By^2*(1-b.^2)
=(1-b.^2)*(1-Bx^2-By^2)
=1/[Γ(b.)*Γ(B)]^2

 1-b^2=1/[Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx)]^2

Γ(b.) , Γ(B) , (1+b.*Bx) は、負にはならないから、

 Γ(b)=1/root(1-b^2)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx) 

■ Γ(b)*<b>
=[Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx)]*<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)
=<Γ(b.)*Γ(B)*(b.+Bx) Γ(B)*By> 

『特殊相対論.速度の合成.2次元』 2016/3

■ <b>=<b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx) Γ(b)*<b>=<Γ(b.)*Γ(B)*(b.+Bx) Γ(B)*By>

★ <0.6 0>[+]<0.1 0.1>
=<0.7 0.1/Γ(0.6)>/(1+0.6*0.1)
=<0.7 0.08>/1.06
=<0.660 0.075>

 その速さ b b^2=0.66^2+0.075^2=0.4412 Γ(b)=1/root(0.5588)~1.34

元の系での速さ B B^2=0.1^2+0.1^2=0.02 Γ(B)=1/root(0.98)~1.01

{別解} Γ(b)=1.25*1.01*(1+0.6*0.1)~1.34

☆光行差☆

◎ X系で任意の方向に光を発する。x系で観測する。

◆ B=1 Bx^2+By^2=1

■ <b>=<b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

 b^2*(1+b.*Bx)^2
=(b.+Bx)^2+By^2/Γ(b.)^2
=(b.+Bx)^2+(1-Bx^2)*(1-b.^2)
=(b.^2+2*b.*Bx+Bx^2)+(1-Bx^2-b.^2+b.^2*Bx^2)
=1+2*b.*Bx+b.^2*Bx^2
=(1+b.*Bx)^2

 b^2*(1+b.*Bx)^2=(1+b.*Bx)^2 b^2=1  x系でも光速は変わらない

{特殊相対論はよくできている!2015/1}

◎ X系で、Y軸方向に発っせられた光を、x系で観測する。

■ Bx=0 By=1

 <b>=<b. 0>[+]<0 1>=<b. 1/Γ(b.)>/(1+b.*0)=<b. 1/Γ(b.)>

X系でX軸方向成分 0
x系でx軸方向成分 b. 光のy軸との角度 a

 tan(a)=b./[1/Γ(b.)]=Γ(b.)*b.  光行差

■ |b.|<<1 のとき、

 Γ(b.)=1+(1/2)*b.^2 Γ(b.)*b.=b.+(1/2)*b.^3~b.

当然 |a|<<1 だから tan(a)~a

 a~b.  光行差(横方向の速さが遅い場合)

■ 地球の公転速度 30_km/sec=3*Ten(4)_m/sec

 対光速比=[3*Ten(4)]/[3*Ten(8)]=Ten(-4)_rad

 Pi_rad=180_°=180*3600_秒 ※ 角度の「秒」

 光行差 a=(180*3600/Pi)*Ten(-4)~20.6_秒

実際の観測結果 20.5秒

◎ 光ではなく、一般の運動

◆ Bx=0

 <b>=<b. 0>[+]<0 By>=<b. By/Γ(b.)>/(1+b.*0)=<b. By/Γ(b.)>

 光行差 a tan(a)=b./[By/Γ(b.)]=Γ(b.)*b./By

 速さ(対光速比)^2
=b.^2+By^2/Γ(b.)^2
=b.^2+By^2*(1-b.^2)=b.^2*(1-By^2)+By^2

鏡時計 X系に、Y軸方向に距離 c だけ離して、鏡を2つ置く。光を、鏡の間を往復させる。1秒ごとに、光は反射する。時計代わりに使える。

その現象を、x系で観測しよう。

鏡は、x軸方向に、速さ v. で動いて行く。X系でY軸方向に出された光は、x系では傾いて光は進む。その角度 a は、sin(a)=b.=v./c だから、
光はちょうど鏡にぶつかる。

相対論は矛盾なくできている{!}

{x系で光は斜めの方向に進むわけはないから、「相対論は間違っている」と書いてある本があった!2014/2}

  速度の合成.2次元  

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