☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/4-2015/4 Yuji.W

宇宙旅行-力一定の運動

◎ 力一定 1次元 直線運動 等加速度にはならない 双曲線関数

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 -

☆一定の力で直線運動☆

● 一定の力が作用するときの直線上の運動

『相対論1次元.力一定』 2015/8

◆ 1次元運動 質量 m 一定の力 F F≧0 t=0 で x=0 , x'=0 m*c/F=t0=正の定数

■ F=m*c*Γ(b)^3*b' b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2]

 Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] Γ(b)*b=t/t0

 x=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1} E(t)=@m*root[1+(t/t0)^2]

◆ ロケット(質量 m) 直線上の運動を考える。次の条件がある。

@ ロケットの質量は変化しない。

A 地球の重力加速度 g とし、ロケットに常に m*g の力を加わる。

※ 力が一定であっても、相対論では、加速度が徐々に小さくなる。

地球系(慣性系)の時間 t ロケット内(非慣性系)の時間 T

 力 F=m*g=一定 t0=m*c/F=m*c/(m*g))=c/g c*t0=c^2/g

速さ_光年/年 時間_年 とすれば c=1_光年/年 g=1.032_光年/年^2

 t0=c/g~0.9690_年 c*t0=c^2/g~0.9690_光年

 \t=t/t0

■ 力一定の場合の相対論的運動の結果より

 b'*c=x''=(c/t0)/(1+\t^2)^(3/2)

 b=\t/root(1+\t^2) Γ(b)=root(1+\t^2) Γ(b)*b=\t

 x=c*t0*[root(1+\t^2)-1]

※ 時間は、地球系の時間

ロケットの固有時 T で表そう

等速運動ではない。速さは徐々に増す。力の大きさは一定だが、加速度は徐々に小さくなる。光速を超えない。

地球系は慣性系、ロケットは慣性系でない。微少時間 dT , dt で、ロケットも等速直線運動をするとみなし、両方とも慣性系とする。ロケットの時計は、ロケット系の同じ位置で観測したもの、地球系の時計は、異なる位置で観測したものである事に注意して、

 dT/dt=1/Γ(b)  ロケットの時間が最小

 T;t=1/Γ(b)=1/root(1+\t^2) \t=t/t0 d(\t)=dt/t0

● ${[1/root(x^2+1)]*dx}=arsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)]

 ${[1/root(x^2+a^2)]*dx}=arsinh(x/a)=ln[x+root(x^2+a^2)]-ln(a)

 T=t0*${[1/root(1+\t^2)]*d(\t)}=t0*arsinh(\t)=t0*ln[\t+root(1+\t^2)]

ここで \T=T/t0 を導入すれば

 \T=arsinh(\t)=ln[\t+root(1+\t^2)] sinh(\T)=\t 

これを使って書き直す

「双曲線関数」 2015/4

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

■ cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)

 sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)

■ cosh(2*x)=2*cosh(x)^2-1 sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x)

■ cosh(x)^2=[cosh(2*x)+1]/2 sinh(x)^2=[cosh(2*x)-1]/2

 1+\t^2=1+sinh(\T)^2=cosh(\T)^2 root(1+\t^2)=cosh(\T)

 x''=(c/t0)/cosh(\T)^3 b=sinh(\T)/cosh(\T)=tanh(\T)

 Γ(b)=cosh(\T) Γ(b)*b=sinh(\T) x=c*t0*[cosh(\T)-1]  {お見事!2015/7}

「力一定の場合の相対論的運動-ロケットの時計で」 2015/7

◆ ロケット 質量 m=一定 力 F=m*g

地球系(慣性系)の時間 t ロケット内(非慣性系)の時間 T

t0=m*c/F=c/g~0.9690_年 \t=t/t0 \T=T/t0

■ 地球系の時間 t で

 b=\t/root(1+\t^2) Γ(b)=root(1+\t^2)

 x=c*t0*[root(1+\t^2)-1]

■ ロケットの時間で sinh(\T)=\t

 b=tanh(\T) Γ(b)=cosh(\T) x=c*t0*[cosh(\T)-1]

ロケットの時計

T_年

1年

2.27年

5年

10年

20年

\T

T/t0

1.03

2.34

5.16

10.32

20.64

b

tanh(\T)

0.77

0.98

0.9999

1

1

Γ(b)

cosh(\T)

1.58

5.24

87

15166

4.6*Ten(8)

x/(c*t0)

cosh(\T)-1

0.58

4.24

86

15165

4.6*Ten(8)

x_光年

*0.969

0.56光年

4.11光年

83光年

14694光年

4.4*Ten(8)光年

地球系の時計

t_年

1年

5年

10年

20年

\t

t/t0

1.03

5.16

10.32

20.64

\T

arsinh(\t)

0.90

2.34

3.03

3.72

ロケットの時計 T

\T*t0

0.87年

2.27年

2.94年

3.60年

b

tanh(\T)

0.72

0.98

0.9953

0.9988

Γ(b)

cosh(\T)

1.43

5.24

10

21

x/(c*t0)

cosh(\T)-1

0.43

4.24

9

20

x_光年

*0.969

0.42光年

4.11光年

8.7光年

19.4光年

{できた!やったあ!2015/7}

▲ 地球系の5年(ロケットの2.27年)で、4.11光年先の星にたどり着く。ただし、その連絡を電波で地球に送ると、4.11年後に届く。地球に、到着したという知らせが届くのは、出発後9.11年後である。

ロケットは、2.27年で、4.11光年飛んだ事になり、光速を超えているように思えるが、そうではない。ロケット系では、地球と星の距離は変わらないまま動いて行くのだから、その距離は縮まる。特に、光速に近い速さで飛べば、その短縮の効果は、急速に大きくなるから、距離も急速に短くなるので、矛盾は起きない。 

5年加速しつつ飛び、次の5年で同じ力で減速しつつ飛べば、地球系の10年(ロケットの4.54年)で、8.22光年先の星に到着し、止まる。すぐ、同様な方法で引き返して来ると、地球系の10年で戻って来れる。行き帰りで、地球系の時計で、20年かかり、8.22光年先の星を往復した事になる。ロケットの時計では、9.08年しかたっていない。ロケット内の人は、11才ほど若い事になる。「双子のパラドックス」と言うが、全然パラドックスではない。何の矛盾もない。 

☆十分な時間、十分な距離、ほぼ光速☆

◆ \t >>1 , \T >> 1 のとき

地球系の時間 t で

 b=\t/root(1+\t^2)=\t/\t=1 Γ(b)=root(1+\t^2)=\t

 \x=root(1+\t^2)-1=\t x=(c*t0)*(t/t0)=c*t ほとんどの時間、ほぼ光速で動いているから

ロケットの時間 T で

 \t=sinh(\T)=exp(\T)/2 b=tanh(\T)=1

 Γ(b)=cosh(\T)=exp(\T)/2 x/x0=cosh(\T)-1=exp(\T)/2-1

★ g=10_m/sec^2 t0=c/g=3*Ten(7)_sec~0.95_年 x=3万光年

{解} 地球系の時間で x=c*t 30000=1*t t=30000_年

 T=t0*ln(2*t/t0)=0.95*ln(2*30000/0.95)~0.95*11.05~10.5_年

◇等速直線運動◇

◎ まず、等速直線運動の場合

◆ ロケット 等速直線運動 速さ(対光速比) b

ロケット内の時間(同じ位置で観測) T 距離 xx

地球系の時間(異なる位置で観測) t 距離 XX

■ xx=b*c*T t/T=Γ(b) XX=b*c*t=b*c*Γ(b)*T

● 光速 c=1_光年/年

★ b=1/2 1年で 0.5光年先まで行けないのか? もっと先まで行ける{!}

Γ(1/2)~1.155

T=1_年 xx=0.5_光年 t=1.155_年 XX=0.578_光年 地球から0.578光年離れた星まで行ける(ロケット内で1年、地球系で1.155年)

T=5_年 xx=2.5_光年 t=5.775_年 XX=2.888_光年

T=10_年 xx=5_光年 t=11.55_年 XX=5.78_光年

b

Γ(b)

10年で行ける距離

0.8

5/3倍

13_光年

0.9

2.3倍

21_光年

0.99

7倍

70_光年 

0.999

22倍

223_光年

0.9999

70倍

707_光年

※ 地球から0.578光年離れた星は、ロケットにとっては、0.578/1.155~0.5_光年しか離れていない。速さ(対光速比) 1/2 で行けば、1年で行ける。

  宇宙旅行-加速度運動  

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