物理-特殊相対論  2015/3-2013/2  Yuji.W

☆時空図☆

◎ 直線上の運動 時間と位置

〔表記2015/3〕ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
微分 ;x 
時間微分 ' 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 以上 >. 以下 <. 
物理定数

☆1次元運動の時空図☆

時空図 直線上の運動 ある事象が、いつどこで起こったかを、平面上の1点で表す

・ 縦軸を時間、横軸を位置とする。(普通とは逆)

・ 時間を、(光速)*(時間) で表す。次元は、長さになり、縦横同じになる。普通の時間に戻すには、c で割ればよい。このページでは、その量を Tc , tc などど表す。普通の時間は、 T , t で表す。長さ m、時間 sec であれば、Tc の単位は m 。c*sec と表す事もある。
 Tc=3_m のとき T=3/c_sec=Ten(-8)_sec

・ 座標軸の縦軸と横軸の次元が同じになったから、普通、その単位も同じにする。

・ 縦軸と平行な直線は、静止している物体の世界線を表す。縦軸は、原点の世界線を表す。

・ 横軸と平行な直線は、同時刻である事を表す。横軸は、時刻 0 を表す。

・ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする物体の世界線は、縦軸からの傾きが b となる。光は、光速で動くから、長さの単位と時間(光速倍)の単位を同じにした座標系では、45°に傾いた直線になる。

※ 普通の時間で表すことはできる。
※ 速さを「対光速比」で表せば 速さ(対光速比)*時間(光速倍)=距離 となる
※ 距離を「光年」、時間を「年」で表すと、c=1_光年/年 となり、Tc の値と、T の値は同じになる。
※ 位置を、(距離)/(光速) で表して、時間の次元で表す事もある。

■ 2つの慣性系 X系、x系 X軸とx軸は重なっている。

X系は、x系のx軸の正の方向に、速さ(対光速比) b.で等速直線運動をする。x系は、X系のx軸の負の方向に、速さ(対光速比) b.で等速直線運動をする。

X系を「運動系」、x系を「実験室系、静止系」などと言うこともあるが、2つの系の違いは、運動の方向が違うだけであり、本質的な違いはない。〔

X系の時空の値 <Tc X)_X x系の時空の値 <tc x)

時間と位置を調整し、X系の時刻 0 と、x系の時刻 0 は、同じ瞬間になるようにし、さらに、その時、原点同士が重なるようにする。

一方の系を直交座標とすれば、他方の原点は動いているのだから、斜めに傾いた座標となる。x系を直交座標とする事が多いが、このページでは、X系を直交座標とし、x系は、90°より開いた斜交座標とする。X系は、常識的な普通の世界、x系は、相対論的な変な世界を表す事が多いから、普通の世界を表すX系の座標を、慣れ親しんだ直交座標とした方がわかりやすいからである。
・ X系の軸の単位長さと、x系の軸の単位長さは、等しくない。図だけを見て、どちらの量が大きいかはすぐわからない。結局、ローレンツ変換に戻って計算する必要がある。{時空図の最大の弱点!時空図がそれほど利用されない理由だ!}2015/3

☆b.=3/5 のときの時空図☆

◆ X系 <Tc X)_X x系 <tc x> b.=3/5 Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

ローレンツ変換 tc=(5/4)*Tc+(3/4)*X x=(5/4)*X+(3/4)*Tc
 Tc=(5/4)*tc-(3/4)*x X=(5/4)*x-(3/4)*tc

■ x系の時間軸 x=0 Tc=(5/4)*tc X=-(3/4)*tc Tc/X=-5/3 傾き -5/3 の直線

x系の位置軸 tc=0 Tc=-(3/4)*x X=(5/4)*x Tc/X=-3/5 傾き -3/5 の直線

基準点の変換 <0 0) ⇔ <0 0)_X

 <0 1)_X ⇒ tc=3/4 x=5/4 <3/4 5/4)

 <1 0)_X ⇒ tc=5/4 x=3/4 <5/4 3/4)

 <0 1) ⇒ Tc=-3/4 X=5/4 <-3/4 5/4)_X

 <1 0) ⇒ Tc=5/4 X=-3/4 <5/4 -3/4)_X

☆長さ・距離の短縮 b.=3/5 のとき☆

◎ 方法@ それぞれの系の同じ位置で、棒の両端が通過した時刻を測定する。

◇ 時空 x系 <tc x) X系 <Tc X)_X

◆ 単位長さの棒(固有長 1) 慣性系X系で静止 棒の先端 原点 後端 X=-1

X系は、慣性系x系に対して、棒の長さの方向に等速直線運動 その速さ(対光速比) 3/5

x系で測定した棒の長さ L

b=3/5 Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

● ローレンツ変換 tc=(5/4)*Tc+(3/4)*X x=(5/4)*X+(3/4)*Tc
 Tc=(5/4)*tc-(3/4)*x X=(5/4)*x-(3/4)*tc

事象@ 棒の先端(X=0)と、x系原点とがすれ違う <0 0)_X , <0 0)
事象A 棒の後端(X=-1)と、x系原点とがすれ違う <Tc -1)_X , <tc 0)

▲ 上図で、棒が上に動いているように見えるが、そうではない。縦軸は、時間軸である。X系で静止している点の世界線は、縦軸と平行になる。棒は、X系では静止していて、時間が経過しているだけである。一方、x系では、棒が正の方向に動いている。初め、棒の先端がx系の原点にあったが、その後、棒の後端が、原点に達した。その時間間隔は、X系で 5/3、x系で 4/3 である。

■ X系にとって、x系の原点が負の方向に、速さ(対光速比) 3/5 で、距離 1 を通り過ぎるから、

 Tc=1/(3/5)=5/3

<5/3 -1)_X をローレンツ変換して、

 tc=(5/4)*(5/3)+(3/4)*(-1)=25/12-3/4=4/3
 x=(5/4)*(-1)+(3/4)*(5/3)=-5/4+5/4=0

{確かめ} tc は、x系の1点(原点)で起きる2つの事象の時間間隔、Tcは、X系で異なる位置で起きる2つの事象の時間間隔だから tc<Tc Tc/tc=Γ(3/5)=5/4 となるはず。
 Tc/tc=(5/3)/(4/3)=5/4 OK!

x系で、速さ(対光速比) 3/5 で、動く棒が通り過ぎるのに、時間(光速倍) 4/3 かかった。棒の長さは、

 L=(3/5)*(4/3)=4/5〔〕固有長 1 の棒の長さが、短くなった

固有長 L0 の場合には、L/L0=4/5

☆ローレンツ不変量☆

◆ 1質点1次元運動 2次元 2つの慣性系 x系,X系

事象@ <tc1 x1) , <Tc1 X1)_X 事象A <tc2 x2) , <Tc2 X2)_X

2つの事象の時間間隔 Δtc 空間的距離 r

 Δtc=tc2-tc1 Δx=x2-x1 ΔTc=Tc2-Tc1 ΔX=X2-X1

2つの慣性系の値には、次のような関係がある。(ローレンツ変換)

 tc1=Γ(b.)*Tc1+Γ(b.)*b.*X1 tc2=Γ(b.)*Tc2+Γ(b.)*b.*X2
 x1=Γ(b.)*X1+Γ(b.)*b.*Tc1 x2=Γ(b.)*X2+Γ(b.)*b.*Tc2

■ Δtc=tc2-tc1=Γ(b.)*(Tc2-Tc1)+Γ(b.)*b.*(X2-X1)=Γ(b.)*(ΔTc+b.*ΔX)

 Δx=x2-x1=Γ(b.)*(ΔX+b.*ΔTc)

次の量を計算してみよう。

 -(Δtc)^2+(Δx)^2
=-Γ(b.)^2*(ΔTc+b.*ΔX)^2+Γ(b.)^2*(ΔX+b.*ΔTc)^2
=-Γ(b.)^2*[(ΔTc+b.*ΔX)^2+(ΔX+b.*ΔTc)^2]

 […]
=-[(ΔTc)^2+2*ΔTc*b.*ΔX+b.^2*(ΔX)^2]
+[(ΔX)^2+2*ΔX*b.*ΔTc+b.^2*(ΔTc)^2]
=-(1-b.^2)*(ΔTc)^2+(1-b.^2)*(ΔX)^2
=[-(ΔTc)^2+(ΔX)^2]/Γ(b.)^2

 -(Δtc)^2+(Δx)^2=-(ΔTc)^2+(ΔX)^2〔〕ローレンツ不変量

{こういう意味だったんだ、わかってなかった!2015/1}

{定義} 世界間隔 Δs=root[-(Δtc)^2+(Δx)^2] ΔS=root[-(ΔTc)^2+(ΔX)^2]

※ root内の符号を逆に定義されることもある{ああ、面倒!2015/1}

 Δs=ΔS〔〕ローレンツ不変量 どの慣性系でも同じ値になる{!}

ローレンツ変換の基底ベクトル

◇x系<tc x)=静止座標系 X系<Tc X)=運動座標系

■ b.=v./c=3/5 Γ=5/4 Γ*b.=3/4

 ローレンツ変換 <tc x)=Tc*<5/4 3/4)+X*<3/4 5/4)

 運動座標系の、距離と時間の単位ベクトル <1 0)_X <0 1)_X

  静止座標系の、距離と時間の基底ベクトル <5/4 3/4) <3/4 5/4)

※ 上の図は、ローレンツ変換の基底ベクトルがどう変化するかを表す図であって、時空図とは異なる。

 物理-特殊相対論-時空図 

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