☆ 時空図.2次元 ☆
〇 ローレンツ変換 ミンコフスキー 直交座標 斜交座標 目盛りの長さが違う ★
【数学】2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 000 py- 0table
微分 ; 偏微分
: 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #
【特殊相対性理論】(3|=2.99792458 光速
c=(3|*Ten(8)_m/sec
速さ(対光速比) b 相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b
〓 線型変換.2次元 〓
▢ 直交座標xy , 斜交座標XY 原点は同じ 点の位置は変わらずに、座標が変化したとする
任意の2つの実数の定数 p,q x=p*X+q*Y y=q*X+p*Y
▷ <x y)=[p q|q p]*<X Y)_X=<p q)*X+<q p)*Y
斜交座標XYの諸量を、直交座標xyの値で表せば、
(斜交座標XYの座標単位ベクトルの長さ)=root(p^2+q^2)
(斜交座標XYのX軸の傾き)=q/p (斜交座標XYのY軸の傾き)=p/q
det[p q|q p]=p^2-q^2
〓 時空図.2次元 〓
〇 直線上の運動を、平面上の1点で表す。横軸を位置、縦軸を時間とする。
・ 時間を、(光速)*(時間)
で表す。次元は、長さになり、縦横同じになる。普通の時間に戻すには、c で割ればよい。このページでは、その量を Tc , tc
などど表す。普通の時間は、 T , t で表す。長さ m、時間 sec であれば、Tc の単位は m 。c*sec と表す事もある。
Tc=3_m のとき T=3/c_sec=Ten(-8)_sec
長さ_光年 時間_年 とすると 光速 c=1_光年/年 tc も t も同じ値になる
・ 座標軸の縦軸と横軸の次元が同じになったから、普通、その単位も同じにする。
・ 縦軸と平行な直線は、静止している物体の世界線を表す。縦軸は、原点の世界線を表す。
・ 横軸と平行な直線は、同時刻である事を表す。横軸は、時刻 0 を表す。
・ 速さ(対光速比) b で等速直線運動をする物体の世界線は、傾きが 1/b となる。
・ 光は光速で動くから、長さの単位と時間(光速倍)の単位を同じにした座標系では、45°に傾いた直線になる。
〓 時空図.2次元-2- 〓
▢ 2つの慣性系 X系、x系
・ X軸とx軸は重なっている。
・ X系は、x系のx軸の正の方向に、速さ(対光速比) b.で等速直線運動をする。x系は、X系のx軸の負の方向に、速さ(対光速比) b.で等速直線運動をする。
・ X系を「運動系」、x系を「実験室系、静止系」などと言うこともあるが、２つの系の違いは、運動の方向が違うだけであり、本質的な違いはない。 ★
・ X系の時空の値 <Tc X)_X x系の時空の値 <tc x)
時間と位置を調整し、X系の時刻 0 と、x系の時刻 0 は、同じ瞬間になるようにし、さらに、その時、原点同士が重なるようにする。
▷ ローレンツ変換より、<Tc X)_X と <tc x) の関係は、次のようになる。
tc=Γ(b.)*Tc+Λ(b.)*X x=Γ(b.)*X+Λ(b.)*Tc
ここで Γ(b.)=1/root(1-b.^2) Λ(b.)=Γ(b.)*b.=b./root(1-b.^2)
▷ x系を直交座標で表せば、X系は斜交座標になる。
X軸(横軸) Tc=0 tc=Λ(b.)*X x=Γ(b.)*X tc/x=Λ(b.)/Γ(b.)=b.
傾き b. 原点を通る直線
Tc(縦軸) X=0 tc=Γ(b.)*Tc x=Λ(b.)*Tc tc/x=Γ(b.)/Λ(b.)=1/b.
傾き 1/b. 原点を通る直線
※ |b.|<1 だから |b.|<|1/b.| さらに 0<b.<1 のとき 0<b.<1/b.
▷ 点 <1 0)_X tc=Γ(b.) x=Λ(b.)=Γ(b.)*b.
<1 0)_X ⇔ Γ(b.)*<1 b.)
|<1 b.)|=root(1+b.^2)
|Γ(b.)*<1 b.)|=Γ(b.)*root(1+b.^2)=root[(1+b.^2)/(1-b.^2)]
X系の単位ベクトル <1 0)_X を、x系で表せば、その大きさは root[(1+b.^2)/(1-b.^2)] ★
同様に <0 1)_X ⇔ Γ(b.)*<b. 1) |Γ(b.)*<b. 1)|=root[(1+b.^2)/(1-b.^2)]
x系の1目盛りの大きさと、X系の1目盛りの大きさは違う。 ★
▲ 特殊相対性理論で時空図を扱う場合の、最大の注意点{!}。図だけを見て、どちらの量が大きいかはすぐわからない。結局、ローレンツ変換に戻って計算する必要がある。{時空図の最大の弱点!時空図がそれほど利用されない理由だ!2015/3}
〓 時空図 b.=1/2 〓
▢ 2つの慣性系 X系、x系
X系は、x系のx軸の正の方向に、速さ(対光速比) 1/2で等速直線運動をする。
Γ(1/2)=2/root(3)=2*root(3)/3~1.155 Λ(1/2)=1/root(3)=root(3)/3~0.577
X系の時空の値 <Tc X)_X x系の時空の値 <tc x)
▷ tc=[2/root(3)]*Tc+[1/root(3)]*X x=[2/root(3)]*X+[1/root(3)]*Tc
▷ x系 直交座標 X系 斜交座標 X軸(横軸)の傾き 1/2 Tc(縦軸)の傾き 2
▷ (X系の単位ベクトル大きさ)=root[(5/4)/(3/4)]=root(5/3)~1.291
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