物理　力学　　2017/9　Yuji.W

 ☆ 平面内の運動,角運動量,慣性モーメント ☆

◎ 平面内の運動　角運動量　慣性モーメント ★_〔物理定数〕

〓　質量の中心系.2質点　〓　

◆ 質量 m1,m2　m1+m2=M　位置 <r1>,<r2>

運動量 <p1>,<p2>　角運動量 <L1>,<L2>　運動エネルギー K1,K2

質点�Aから質点�@への内力 <f21>　質点�@から質点�Aへの内力 <f12>
それぞれの質点に働く外力 <F1>,<F2>　外力によるトルク <N1>,<N2>

質量の中心系の物理量には G を添付する

■ <G>=(<r1>*m1+<r2>*m2)/M

　<r1G>=<r1>-<G>　<r2G>=<r2>-<G>　m1*<r1G>+m2*<r2G>=0

■ M*<G>'=<p1>+<p2>　M*<G>''=<F1>+<F2>

　[<G>#(M*<G>')]'=<G>#(<F1>+<F2>)

■ <p1G>'=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>
　<p2G>'=<F2>*m1/M-<F1>*m2/M+<f12>

■ <p1G>+<p2G>=0　(<L1G>+<L2G>)'=<N1G>+<N2G>

■ <L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+<G>#(<p1>+<p2>)

　K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*<G>'^2

◇ 平面内の運動.1質点 ◇

◆ 1質点　質量 m　xy平面を動く　位置 <r>=<x y 0>

運動量 <p>=m*<r>'　角運動量 <L>=<0 0 Lz>

質点が受ける力 <F>=<Fx Fy 0>　トルク <N>=<0 0 Nz>

■【 運動方程式 】<p>'=<F>　⇒　m*x''=Fx　&　m*y''=Fy

■【 トルク 】<N>=<r>#<F>=<x y 0>#<Fx Fy 0>=<z>*(x*Fy-y*Fx)

　Nz=x*Fy-y*Fx

■【 角運動量 】<L>=<r>#<p>=m*<x y 0>#<x' y' 0>=<z>*m*(x*y'-y*x')

　Lz=m*(x*y'-y*x')

　Lz'=m*(x'*y'+x*y''-y'*x'-y*x'')=m*(x*y''-y*x'')=x*Fy-y*Fx=Nz ★_

◇ 外力と内力,トルク ◇

◆ 2質点　質点が受ける外力 <F1>,<F2>　<F1>+<F2>=<F(外力)>
質点1が質点２から受ける内力 <f21>
質点2が質点1から受ける内力 <f12>=-<f21>

トルク <N1>,<N2>　<N1>+<N2>=<N>

■【 力の和 】

　(<F1>+<f21>)+(<F2>+<f12>)=(<F1>+<F2>)+(<f21>+<f12>)

ここで、作用反作用の法則より　<f21>+<f12>＝0　だから、

　(<F1>+<f21>)+(<F2>+<f12>)=(<F1>+<F2>)=<F(外力)> ★_

■【 トルクの和 】

　<N>=<N1>+<N2>
=<r1>#(<F1>+<f21>)+<r2>#(<F2>+<f12>)
=(<r1>#<F1>+<r2>#<F2>)+(<r1>-<r2>)#<f21>

ここで、質点間の内力は、質点を結ぶ直線上にあるとして、

　(<r1>-<r2>)#<f21>=0

　<N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>=<N(外力)> ★_

◇ 平面内の運動.2質点 ◇

◆ 2質点　xy平面を動く　運動量 <p1>,<p2>　<p1>+<p2>=<p>

角運動量のz成分 L1z,L2z　L1z+L2z=Lz

質点が受ける外力 <F1>,<F2>　<F1>+<F2>=<F(外力)>
質点1が質点２から受ける内力 <f21>
質点2が質点1から受ける内力 <f12>=-<f21>

トルクのz成分 N1z,N2z　N1z+N2z=Nz

■【 質点1で 】

運動方程式　<p1>'=<F1>+<f21>

トルク　<N1>=<r1>#(<F1>+<f21>)

角運動量　<L1>'=<N1>　※ 質点2についても、同様な式が成り立つ

■【 全運動量 】

　<p>'=<p1>'+<p2>'=(<F1>+<f21>)+(<F2>+<f12>)=<F(外力)> ★_

■【 全角運動量 】

　Lz'=L1z'+L2z'=N1z+N2z=Nz(外力) ★_

◇ 平面内の運動.2質点 ◇

◆ 2質点　xy平面を動く

外力の和 <F(外力)>　外力によるトルクのz成分の和 Nz(外力)

全運動量 <p>　全角運動量のz成分 Lz

■ <p>'=<F(外力)>　&　Lz'=Nz(外力)

◇ 円運動,慣性モーメント ◇

◆ z軸を回転軸として円運動　質量 m　回転半径 r　回転角 a

動径方向単位ベクトル <ru>　接線方向単位ベクトル <au>
z軸方向単位ベクトル <z>

運動量 <p>　角運動量 <L>　そのz成分 Lz　運動エネルギー K　トルクのz成分 Nz

■【 角運動量 】

　<p>=<au>*m*r*a'

　<L>=(<ru>*r)#<p>=(<ru>*r)#(<au>*m*r*a')=<z>*m*r^2*a'

　Lz=m*r^2*a'

ここで　z軸に対する慣性モーメント　Iz=m*r^2　と定義すれば、

　Lz=Iz*a' ★_

その時間微分　Lz'=Nz ★_

■【 運動エネルギー 】

　K=(1/2)*p^2/m=(1/2)*(m*r*a')^2/m=(1/2)*m*r^2*a'^2

z軸に対する慣性モーメントを使えば、

　K=(1/2)*m*r^2*a'^2=(1/2)*Iz*a'^2 ★_

◇ 円運動をする2質点 ◇

◆ z軸を回転軸として円運動をする２質点

質量 m1,m2　回転半径 r1,r2　回転角 a1,a2

外力によるトルクのz成分の和 Nz(外力)

z軸に対する慣性モーメント I1z,I2z　I1z=m1*r1^2　I2z=m2*r2^2　I1z+I2z=Iz

角運動量のz成分 L1z,L2z　L1z+L2z=Lz　運動エネルギー K1,K2　K1+K2=K

■ Lz=L1z+L2z=I1z*a1'+I2z*a2'

　Lz'=Nz(外力)　K=(1/2)*I1z*a1'^2+(1/2)*I2z*a2'^2

 ★_

■【 a1'=a2'=w　のとき 】　角速度 w

　Lz=L1z+L2z=I1z*w+I2z*w=(I1z+I2z)*w=Iz*w ★_

　K=(1/2)*I1z*w^2+(1/2)*I2z*w^2
=(1/2)*(I1z+I2z)*w^2
=(1/2)*Iz*w^2 ★_

◇ 円運動をする2質点 ◇

◆ z軸を回転軸として円運動をする２質点　角速度 w=同じ

質量 m1,m2　回転半径 r1,r2

z軸に対する全慣性モーメント Iz=m1*r1^2+m2*r2^2

全角運動量のz成分 Lz　全運動エネルギー K

外力によるトルクのz成分の和 Nz(外力)

■ Lz=Iz*w　&　K=(1/2)*Iz*w^2

回転に対する運動方程式　Lz'=Nz(外力)

◇ 慣性モーメント.回転軸を変える ◇

◎ 回転軸を変えたときの、慣性モーメントの関係

◆ 2質点　質量 m1,m2　xy平面上を円運動　角速度(2質点とも) w

質量の中心を中心として回転するとき　回転半径 r1,r2　そのときの慣性モーメント Ic

質量の中心は、2質点を結ぶ線分を m2:m1 に内分する点であるから、

　m1*r2=m2*r1　r2=r1*m2/m1

質点2を中心として回転するときの慣性モーメント I

■ Ic=m1*r1^2+m2*r2^2　I=m1*(r1+r2)^2

　I-Ic=m1*(r1+r2)^2-(m1*r1^2+m2*r2^2)
=2*m1*r1*r2+m1*r2^2-m2*r2^2

◇ 剛体の回転 ◇

■ 質点系　複数の質点の集まり。各質点間の位置、距離は変わってよい。

剛体　各質点間の位置、距離が固定された、複数の質点の集まり。質量分布が連続でもよい。質点系よりもきびしい条件である。質点系に成り立つ性質はすべて、剛体でも成り立つ。

・それぞれの質点の回転半径は変わらない。
・各質点の角速度は同じ ※ 時間に依る変化はあってもよい