☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/4-2015/5 Yuji.W

太陽の核反応

◎ pp-chain 陽子陽子連鎖反応 核融合 水素からヘリウム ニュートリノ

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇原子核の結合エネルギー◇

● ke*e^2=[2.307*Ten(-28)]_J*m=[1.440*Ten(-9)]_eV*m

■ 1_MeV のエネルギーをすべて質量に変えた場合の質量 m

 m=Ten(6)*[1.602*Ten(-19)]/[2.998*Ten(8)]^2~1.78*Ten(-30)_kg

 1_MeV ⇔ 1.78*Ten(-30)_kg

1molの粒子数で [1.78*Ten(-30)]*[[6.022*Ten(23)]=1.07*Ten(-6)_kg~1_mg

■ ヘリウム原子核に陽子2個を閉じ込めるときに生じる電気的反発エネルギー E

ヘリウム原子核の直径の目安 r=3.81*Ten(-15)_m

 E=ke*e^2/r=[1.440*Ten(-9)]/[3.81*Ten(-15)]~3.78*Ten(5)_eV=0.378_MeV

この力に打ち勝って、陽子2個と中性子2個をまとめておく力は、陽子や中性子の間に働く「強い力」である。下記の結果によると、28_MeV の結合エネルギーがある。1molのヘリウムであれば、およそ 30_mg の質量欠損がある。

■ 表内の@~H

@ 原子核の核子数 A+B

A 原子核の陽子数

B 原子核の中性子数

C 原子1個の質量_u ※ 電子の質量を含む

D 原子核の質量_u ※ 電子の質量を除いた

E 陽子の質量*A+中性子の質量*B _u

F 質量欠損_u E-D

G 質量欠損に相当するエネルギー_MeV

H 核子1個当たりのエネルギー G/@

原子核の結合エネルギー

1u 931.4936161 p 1.00728 n 1.00866 e 0.000549

 

@

A

B

C

D

E

F

G

H

 

n+p

p

n

m

m-e

n+p

Δm

Δ@m

/核子

H

2

1

1

2.013
5535

2.013
0045

2.015
94

0.002
94

2.734
39951

1.367
199755

He

4

2

2

4.002
6

4.001
502

4.031
88

0.030
38

28.296
9131

7.074
228267

 

3

2

1

3.01
6

3.014
902

3.023
22

0.008
32

7.748
1639

2.582
7213

C

12

6

6

12

11.996
706

12.095
6

0.098
93

92.156
3894

7.679
699118

 

14

6

8

14.003
2

13.999
906

14.113

0.113
05

105.309
079

7.522
077091

Fe

56

26

30

55.934
9

55.920
626

56.449
1

0.528
45

492.251
527

8.790
205846

▲ 核子1個当たりの結合エネルギーは 7~8_MeV 〔水素やヘリウム3を除く〕

ウランの核分裂のエネルギー

◎ 1個のウランが核分裂するときに発生するエネルギー 200_MeV は、どこから来てるのか?

◇ ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7) ke*e^2~2.31*Ten(-28)_J*m~1.44*Ten(-9)_eV

◆ ウランの核分裂反応 U(235)+中性子->Y(95)+I(139)+2*中性子+200_MeV @

U

Y

I

電荷

92

39

53

半径_Ten(-15)*m

7

5

6

■ Y と I が、距離 Ten(-14)_m 離れてあるときの、電気エネルギー U

 U=1.44*Ten(-9)*39*53/Ten(-14)~300_MeV A

■ 原子核が持つ、電気エネルギー U 電荷は原子核内で一様に分布しているとして、

 U=(3/5)*ke*Q^2/R

ウラン U(U)=(3/5)*ke*92^2/[7*Ten(-15)]
イットリウム U(Y)=(3/5)*ke*39^2/[5*Ten(-15)]
ヨウ素 U(I)=(3/5)*ke*53^2/[6*Ten(-15)]

 ΔU
=U(U)-U(Y)-U(I)
=(3/5)*Ten(15)*ke*e^2*(92^2/7-39^2/5-53^2/6)
~(3/5)*Ten(15)*ke*e^2*(1209-304-468)
~(3/5)*Ten(15)*[1.44*Ten(-9)]*437
~378_MeV B

@ABより、核分裂で放出されるエネルギーは、静電エネルギーが大きく寄与していることがわかる。 

▲ 次のように教わった。「核分裂で放出されるエネルギーは、質量欠損があって、質量が直接エネルギーになるから莫大な量になるのだ。」核分裂だけ、何か特別な事が起きていると思っていた。そうではない。核分裂で放出されるエネルギーは、静電エネルギーが大きく寄与している。その値が大きいから、質量欠損が観測されるということなんだ。そもそも、どんな反応でも、エネルギーが開放されれば、質量欠損は生じるのだ。その量が小さいから、普通はそれを問題にしないだけだ。  {!2014/4}

☆太陽の内部☆

◎ 太陽のエネルギー源

● ボルツマン定数 k=1.38*Ten(-23)_J/K=8.61*Ten(-5)_eV

■ 太陽の内部の運動エネルギーの目安

太陽の表面の温度~6000°

 運動エネルギー=(3/2)*k*T=(3/2)*8.61*Ten(-5)*6000~0.8_eV 

中心の温度 1500万°

 運動エネルギー=(3/2)*k*T=(3/2)*8.61*Ten(-5)*1.5*Ten(7)~2000_eV 

■ 水素原子の電子を、はぎ取るのに必要なエネルギー 13.6_eV

電子をはぎ取るのに必要な温度 T (3/2)*k*T=13.6

 T=13.6*2/(3*k)=27.2/[25.83*Ten(-5)]~1.05*Ten(5)~10万度

太陽の表面では、水素原子は電離しない。中性水素原子の状態。 

中心で、水素原子は電離し、陽子と電子のプラズマ状態。 

■ 陽子の半径~0.88*Ten(-15)_m

陽子と陽子が直径の距離に近づいた場合の電気エネルギー E

 E=1.44*Ten(-9)/[2*0.88*Ten(-15)]~8*Ten(5)_eV~1_MeV

太陽の中心でも、陽子同士の電気反発力の壁を越える事はできない。ところが、量子力学的効果のトンネル効果で、そのエネルギーの壁を乗り越える場合が起きる。その確率は小さく、平均反応時間は 140_億年 である。 

◇原子核の結合エネルギー◇

● 水素の同位体 重水素(p+n) 3重水素(p+2*n)

■ 質量_MeV p 938.272 n 939.565 和 1877.837

 重水素(p+n) 2.0135535_u~1875.614_MeV

 結合エネルギー ΔE=1877.837-1875.614=2.223_MeV

 割合 2.223/1875.614=0.001=0.1_%

※ 原子核の結合エネルギーは、陽子と中性子の間に働く「強い力」によるものである。陽子と電子の間に働く「電気力」より大きい。したがって、原子核反応による結合エネルギーは大きく、相対論的効果が表れ、質量そのものの増減が観測にかかるようになる。

◇核融合◇

◆ p + p -> d + (e+) + (nu)  重水素 d ニュートリノ (nu)

p--> <--p
<--d (e+)--> (nu)-->

Mp Mp
Ed,Md Ee,Me Enu,0

(nu) の質量は無視できる 陽子の運動エネルギーも無視できる 質量の中心系1次元

(nu) のエネルギー Enu [(nu) の運動量の大きさ]=Enu 運動量には方向がある

--ヘリウェル 特殊相対論 p155 12.7--

■ エネルギー保存 2*Mp=Ed+Ee+Enu

運動量保存 root(Ed^2-Md^2)=root(Ee^2-Me^2)+Enu

衝突後の全運動エネルギー K
=(Ed+Ee+Enu)-(Md+Me)
=2*Mp-Md-Me
=2*938.272-1875.614-0.511
=0.419_MeV〔

■ さらに、重水素が静止したとき Ed=Md

エネルギー保存 2*Mp=Ed+Ee+Enu  運動量保存 root(Ee^2-Me^2)+Enu=0

ここで 2*Mp-Ed=2*Mp-Md=ΔE と置いておくと、

 (ΔE-Ee)^2=Ee^2-Me^2

 ΔE^2-2*ΔE*Ee+Ee^2=Ee^2-Me^2

 Ee=(ΔE^2+Me^2)/(2*ΔE)

ΔE=2*Mp-Md=2*938.272-1875.614=0.93

 Ee=(0.93^2+0.511^2)/(2*0.93)=1.123021/1.86~0.604_MeV

 |Enu|=root(0.604^2-0.511^2)=root(0.103695)~0.322_MeV

☆pp-chain☆

◎ 太陽のエネルギー源

■ 太陽の中の光子と粒子

「太陽の中の光子と粒子」 2015/5

質量_MeV/c^2

陽子数

中性子数

γ

光子

0

-

-

nu

ニュートリノ

~0

-

-

e-

電子

0.5

-

-

e+

陽電子

0.5

-

-

p

陽子

938.3

1

0

n

中性子

939.6

0

1

d

重水素

1875.7

1

1

3He

ヘリウム3

2808.5

2

1

4He

ヘリウム

3727.5

2

2

■ 結合エネルギー

中性子 (938.3+0.5)-939.6=-0.8_MeV 半減期 12分

重水素 (938.3+939.6)-1875.7=2.2_MeV

ヘリウム3 (938.3*2+939.6)-2808.5=7.7_MeV 核子1個当たり~2.6_MeV

ヘリウム (938.3+939.6)*2-3727.5=28.3_MeV 核子1個当たり~7.1_MeV

■ 4つの陽子から、1つのヘリウムが生まれる。ただし、いっぺんに4つの粒子が反応するわけではなく、次の3段階(pp-chain)を経て生まれる。

@ 陽子●+陽子● ⇒ 重水素●○+陽電子+ニュートリノ

A 重水素●○+陽子● ⇒ ヘリウム3●●○+光子

B ヘリウム3●●○+ヘリウム3●●○ ⇒ ヘリウム●●○○+陽子●+陽子●

さらに C 陽電子+電子 ⇒ 2個の光子

 ※ 陽電子+電子 ⇒ 1個の光子という反応は起きない(運動量が保存されないから)

@*2+A*2+B+C*2

 4個の陽子●+2個の電子 ⇒ ヘリウム●●○○+2個のニュートリノ+6個の光子 

※ 6つの光子のエネルギーは、同じ値を持つわけではない

■それぞれの運動エネルギー K1,K2,K3,K4 全運動エネルギー K

※ 運動エネルギーとは、静止質量エネルギー以外という意味である。光子の静止質量は 0 であり、ニュートリノの静止質量は 0 としている。したがって、運動エネルギーに、光子やニュートリノが持つエネルギーを含める。

@ K1=938.3*2-(1875.7+0.5)=0.4_MeV 陽電子とニュートリノが持つ

A K2=(1875.7+938.3)-2808.5=5.5_MeV 光子が持つ

B K3=2808.5*2-(3727.5+938.3*2)=12.9_MeV 陽子が持つ

C K4=0.5*2=1_MeV 光子が持つ

 K=@*2+A*2+B+C*2=0.4*2+5.5*2+12.9+1*2=0.8+11+12.9+2=26.7_MeV 

2個のニュートリノと6個の光子が持つ

「pp-chain」 2015/5

記号で

運動エネルギー_MeV

平均反応時間

@

p+p ⇒ d+(e+)+nu

0.4

140億年

A

d+p ⇒ 3He+γ

5.5

6秒

B

3He+3He ⇒ 4He+p+p

12.9

100万年

C

(e+)+(e-) ⇒ γ+γ

1

Ten(-19)_sec

  太陽の核反応  

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