物理 相対性理論  2017/9-2013/4 Yuji.W

 ☆ 光子と粒子の反応

光子は質量がないが、運動量を持ち、エネルギーを持つ。光子が生まれたり、吸収されたり、いろいろな反応が起こりうる。逆に、起こらない反応もある。対消滅 対生成 _物理定数

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec @3=2.99792458{定義値}

電磁気国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
CGS静電単位系 ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>
 [国際単位系 B=1_T]⇔[CGS静電単位系 Bcgs=10000_G] 〔電磁気の単位

◇ 光子のエネルギー、運動量

◆ 光子 エネルギー Eγ 速度(対光速比) <b> b=1 運動量(光速倍) <pc>

■ <pc>=Eγ*<b> pc=Eγ

◇ 禁制反応

『禁制反応』 外力なしの孤立系で、次のような現象は起きない 2015/8

 2粒子 ⇔ 1光子 1粒子 ⇔ 1光子 光子が電子に吸収される

@ 2粒子が衝突し、1つの光子になる

@-> <-A

Eγ~>

2粒子がどのように衝突しても、適当に座標系を調整すれば、全運動量が 0 の系、質量の中心系を作ることができる。外力なしの孤立系では、運動量は保存されるから、衝突後の全運動量も 0 。ところが、光子の運動量は、光子の持つエネルギーに比例するから、いかなる系でも、0 にはならない。したがって、このような現象は起きない。 .{起きると思っていた!2015/2}

質量の中心系で起きない事は、他のどの慣性系でも起きない。異なる系とは、観測者のいる系の動きが違うだけで、一方の系で起きた事象の時間と位置が、他の系では異なる場合があるというだけである。「一方の系で起きた事象が、他の系では起きない」とか、「一方の系で起きないのに、他の系では起きた」などどいう事は起きない。事象は、観測者の動きには無関係に起きているのである。 .

A @の時間だけ反転した現象、すなわち、1つの光子から2つの粒子が生まれるという事も起きない。

Eγ~>

@-> A->

B 1つの粒子が、1つの光子になる

m-E->

Eγ~>

エネルギー E=Eγ   運動量(光速倍)^2 E^2-@m^2=Eγ^2

上記の2式より @m=0 おかしい この反応は起きない .

C Bの時間だけ反転した現象、すなわち、1つの光子が1つの粒子になるという事は起きない。

D 光子が、電子に吸収される。

Eγ~>  |(e-)|

(\e-)-E->

電子の静止質量は、変化しない。{核心!}

エネルギー Eγ+@me=E  運動量(対光速比)^2 Eγ^2=E^2-@me^2

E を消去すると Eγ^2=(Eγ+@me)^2-@me^2 Eγ=0

エネルギーが 0 の光子はないから、この反応は起きない。 .{起きると思っていた!2015/2}光子は、電子に跳ね返される(コンプトン効果)。

※ 光子は、原子核には吸収される。原子核が励起し、質量が増す。

※ 光子が2つ以上関係すると、粒子 ⇔ 光子 の変換が起きる{!}

◇ 粒子⇒2光子

◆ 静止していた1粒子が2光子に崩壊し、正反対に飛び去る

|M|

<~Eγ Eγ~>

■ 崩壊前の運動量は 0 だから、崩壊後の全運動量も 0 。崩壊後の2つの粒子の運動量の、大きさは等しく、方向は逆。

 Eγ=@M/2 .光子の色まで決まる{!2015/2}

★ パイ中間子 @M=135_MeV Eγ=135/2=67.5_MeV

 振動数
=67.5*(1.602 176 565)*Ten(-19)/[(6.626 069 57)*Ten(-34)]
=1.632*Ten(16)_Hz 紫外線

◇ 粒子⇒2光子

◎ パイ中間子は、2つの光子に崩壊する

x軸上を動いている粒子が2つの光子に崩壊する 運動量保存より、崩壊は一平面上に限られるから、その平面をxy平面とする。

粒子 エネルギー E 運動量(光速倍) <pc>=<x>*pc 質量(光速の2乗倍) @m
 E^2-pc^2=@m^2 速さ(対光速比) b=pc/E

一方の光子のエネルギー Eγ 進む方向とx軸と作る角 a

■【 Eγ の分布 】

 一方の光子の運動量(光速倍)=Eγ*<cos(a) sin(a)> そのエネルギー=

運動量保存より 他方の光子の運動量(光速倍)=<pc-Eγ*<cos(a) -Eγ*sin(a)>

 (そのエネルギー)^2=[pc-Eγ*cos(a)]^2+[Eγ*sin(a)]^2

ここで cos(a)=C sin(a)=S と表せば、

 (他方の光子のエネルギー)^2
=pc^2-2*pc*Eγ*C+Eγ^2*C^2+Eγ^2*S^2
=pc^2-2*pc*Eγ*C+Eγ^2

崩壊前後のエネルギー保存より E=Eγ+root(pc^2-2*pc*Eγ*C+Eγ^2)

 E-Eγ=root(pc^2-2*pc*Eγ*C+Eγ^2)

両辺を2乗して、

 E^2-2*E*Eγ+Eγ^2=pc^2-2*pc*Eγ*C+Eγ^2

 E^2-pc^2=2*Eγ*(E-pc*C)

E^2-pc^2=@m^2 に注意して、

 Eγ=@m^2/[2*[E-pc*cos(a)] _

■【 b で表す 】 崩壊前の粒子の速さ(対光速比) b

 E=@m*Γ(b) pc=@m*Γ(b)*b

 E-pc*cos(a)=@m*Γ(b)-@m*Γ(b)*b*cos(a)=@m*Γ(b)*[1-b*cos(a)]

 Eγ/@m=1/{2*Γ(b)*[1-b*cos(a)]}=(1/2)*root(1-b^2)/[1-b*cos(a)]} _

{わーい、うまくできた!2017/9/7}

■【 Eγ の分布 】

a=0 のとき Eγ/@m=(1/2)*root(1-b^2)/(1-b)=(1/2)*root[(1+b)/(1-b)]

a=Pi/2 のとき Eγ/@m=(1/2)*root(1-b^2)

a=Pi のとき Eγ/@m=(1/2)*root(1-b^2)/(1+b)=(1/2)*root[(1-b)/(1+b)]

◇ 粒子⇒粒子+光子

◆ 静止していた1粒子が粒子と光子に崩壊し、正反対に飛び去る

|M|

<-E-m Eγ~>

■ エネルギー @M=E+Eγ  運動量(対光速比)^2 E^2-@m^2=Eγ^2

E を消去して (@M-Eγ)^2-@m^2=Eγ^2

 Eγ=(@M^2-@m^2)/(2*@M) .

■ ΔE=@M-@m のとき @m^2=(@M-ΔE)^2=@M^2-2*@M*ΔE+ΔE^2

 Eγ=(@M^2-@m^2)/(2*@M)
=(2*@M*ΔE-ΔE^2)/(2*@M)
=ΔE*[1-ΔE/(2*@M] .Eγ=ΔE=@M-@m とはならない{!}粒子は必ず動き出してしまうから

◇ 粒子+光子⇒粒子

◆ 光子が原子核に吸収された ※ 光子は電子には吸収されないが、原子核には吸収される。

Eγ~> |m|

M-b->

★ Eγ=5000_MeV b=5/13 ‖

Γ(5/13)=13/12 Γ(5/13)*(5/13)=5/12

エネルギー 5000+@m=(13/12)*@M

運動量(光速倍) 5000=(5/12)*@M

 @M=12000_MeV @m=8000_MeV

◇ 粒子+光子⇒2粒子

◆ 粒子に光子を衝突させ、新しい粒子を生成する。光子のエネルギーの閾値(最小値)を求めたい。衝突後の2粒子の和 M

実験室系(粒子は静止)

Eγ~>  |m|

(●◎)-\E->

全運動量0系

EγG~> <-EG-m

|●◎|

全運動量0系で、衝突後、2粒子が静止する場合が、エネルギーが最小になる。したがって、実験室系では、衝突後、2粒子が同じ速さで動くことになる。

現象は1次元の運動に限られる。

光子のエネルギーは、観測系によって異なる値を持つ。振動数も変わる。

全運動量0系で 

エネルギー EγG+EG=@M  運動量(光速倍)^2 EγG^2=EG^2-@m^2

EG を消去して EγG^2=(@M-EγG)^2-@m^2

 EγG^2=@M^2-2*M*EγG+EγG^2-@m^2

 2*M*EγG=@M^2-@m^2

 EγG=(@M^2-@m^2)/(2*@M) EG=(@M^2+@m^2)/(2*@M) .

実験室系で 

エネルギー Eγ+@m=\E 運動量(光速倍)^2 Eγ^2=\E^2-@M^2

\E を消去して Eγ^2=(Eγ+m)^2-@M^2

 Eγ^2=Eγ^2+2*Eγ*@m+@m^2-@M^2

 2*Eγ*@m=@M^2-@m^2

 Eγ=(@M^2-@m^2)/(2*@m) \E=(@M^2+@m^2)/(2*@m) .

■ 全運動量0系の、実験室系に対する速さ(対光速比) b(G)

 Eγ+@m
=(@M^2-@m^2)/(2*@m)+@m
=(@M^2-@m^2+2*@m^2)/(2*@m)
=(@M^2+@m^2)/(2*@m)

 b(G)
=Eγ/(Eγ+@m)
=[(@M^2-@m^2)/(2*@m)]/[(@M^2+@m^2)/(2*@m)]
=(@M^2-@m^2)/(@M^2+@m^2) 
.

 1-b(G)^2
=1-(@M^2-@m^2)^2/(@M^2+@m^2)^2
=[(@M^2+@m^2)^2-(@M^2-@m^2)^2]/(@M^2+@m^2)^2
=4*@M^2*@m^2/(@M^2+@m^2)^2

 Γ(b(G))=1/root[1-b(G)^2]=(@M^2+@m^2)/(2*@M*@m)

 Γ(b(G))*b(G)
=[(@M^2+@m^2)/(2*@M*@m)]*[(@M^2-@m^2)/(@M^2+@m^2)]
=[(@M^2-@m^2)/(2*@M*@m)

 Γ(b(G))+Γ(b(G))*b(G)
=[(@M^2+@m^2)/(2*@M*@m)]+[(@M^2-@m^2)/(2*@M*@m)]
=2*@M^2/(2*@M*@m)
=@M/@m

全運動量0系の値をローレンツ変換して、実験室系の値を求める 

 Eγ
=Γ(b(G))*EγG+Γ(b(G))*b(G)*EγG
=[Γ(b(G))+Γ(b(G))*b(G)]*EγG
=(@M/@m)*EγG
=(@M/@m)*[(@M^2-@m^2)/(2*@M)]
=(@M^2-@m^2)/(2*@m) 
.{よくできました!2015/11}

■ Eγ/EγG=@M/@m .


★ 陽子に光子を衝突させ、パイ中間子を作る。陽子は生き残る。単位はすべて MeV。

陽子 938.3_MeV パイ中間子 135.0_MeV その和 1073.3_MeV

実験室系(粒子は静止)

Eγ~>  |p|

(p Pi)-\E->

全運動量0系

EγG~> <-EG-p

|p Pi|

 EγG
=(1073.3^2-938.3^2)/(2*1073.3)
=(1151973-880407)/(2*1073.3)~126.5_MeV

 Eγ=(1073.3^2-938.3^2)/(2*938.3)~144.7_MeV .閾値 ガンマ線よりもずっと強い

反応後も、運動量を持たなければならないから、Eγ は、パイ中間子 135.0_MeV より、大きくなければならない。

◇ 粒子+光子⇒2粒子

◆ 静止した粒子に光子が衝突し、新しい粒子が生成された。一方の粒子は静止した。

Eγ~>  |M|

|m1| m2-\E->

運動量保存から、現象は1次元の運動に限られる。

■ エネルギー Eγ+@M=@m1+\E  運動量(光速倍)^2 Eγ^2=\E^2-@m2^2

\E を消去して

 Eγ^2=[Eγ+(@M-@m1)]^2-@m2^2

 Eγ^2=Eγ^2+2*Eγ*(@M-@m1)+(@M-@m1)^2-@m2^2

 2*Eγ*(@M-@m1)=@m2^2-(@M-@m1)^2

 Eγ=[@m2^2-(@M-@m1)^2]/[2*(@M-@m1)] .3粒子の質量がわかれば、Eγ のエネルギーが求める事ができる

Eγ>0 でなくてはならないから

 [m2>@M-@m1 & @M>@m1] or [m2<@M-@m1 & @M<@m1]

2つめの条件は成り立たないから、1つめの条件だけ

 @m1<@M<@m1+@m2 .


 ★ 静止した陽子(938.3_MeV)に光子を衝突させ、静止したケイ中間子と動くとラムダ粒子を作る。

 @M=938.3_MeV @m1=493.7_MeV @m2=1115.7_MeV

 @m1+@m2=1609.4_MeV

 @m1<@M<@m1+@m2 だから、この反応は起きる

Eγ~>  |p|

|K| Λ-\E->

 @M-@m1=444.6_MeV

 Eγ=(1115.7^2-444.6^2)/(2*444.6)=1560.3*671.1/(2*444.6)~1177.6_MeV

ラムダ粒子の運動エネルギー K=(1177.6+938.3)-(493.7+1115.7)=506.5_MeV

★ 静止した陽子に光子を衝突させ、静止したラムダ粒子と動いているケイ中間子を作る。

 @M=938.3 @m1=1115.7 @m2=493.7

条件を満たさないから、この反応は起きない。

 ◇ 粒子+光子⇒2粒子-2次元

◆ 光子が、静止した陽子に衝突し、パイ中間子と陽子ができた。(2次元)

γ-pp-> |p|M

Pi↑-E1,<p1>,m-> p↓-E2,<p2>,M->

-x軸-> ↑y軸

衝突後のPi粒子の速度の、x軸と作る角(上向き) a
陽子の速度の、x軸と作る角(下向き) b ※ a,b は定まった値ではない。いろいろな値をとることができる。観測によって、 Pi 粒子の角 a だけが得られたとしよう。

入射光子の色は既知、すなわち、pp は既知 静止質量 M,m も既知

■ 衝突前 光子のエネルギー=pp 陽子のエネルギー=M

衝突後 E1^2=p1^2+m^2 E2^2=p2^2+M^2

運動量保存 pp=p1*cos(a)+p2*cos(b)
 p1*sin(a)=p2*sin(b)

エネルギー保存 pp+M=E1+E2 以上、式5個

未知量 E1,E2,p1,p2,b 5個 解ける{!}

◇ 電子+陽電子⇒2光子

◎ 電子と陽電子が衝突し、粒子が消滅し、エネルギー(光子)になってしまう。光子1個だけ生まれるという事は起きない。光子が2個生まれる。

対消滅 静止している [電子+陽電子] から、2個の光子が生まれた。

|(e-)| + |(e+)|

<~Eγ Eγ~>

■ 反応前の運動量は 0 だから、運動量保存より、2個の光子の運動量の方向は反対で、大きさは等しい。エネルギーも等しくなるから、

 光子のエネルギー Eγ=電子の静止エネルギー=0.5_MeV

 その振動数=[0.5*Ten(6)]/[4.1357*Ten(-15)]~1.2*Ten(20)_1/sec

 波長=3*Ten(8)/[1.2*Ten(20)]=2.5*Ten(-12)_m=2.5*Ten(-3)_nm ガンマ線

◇ 2光子⇒電子+陽子

◆ 光子同士を衝突させ、電子陽電子対を生成する。最低 1_MeV のエネルギーが必要である。ガンマ線で 10_keV なので、2つの光子を衝突させて、その大きいエネルギーを生み出すのは難しい。したがって、まとまった複数の光子を、1つの光子に衝突させる事を考える。

まとまった複数の光子の全エネルギー Eγ 別の1つの光子のエネルギー Eγ0 Eγ>Eγ0

Eγ=Eγ0 ではないから、運動量を 0 にする事はできない。できた電子陽電子対も運動量を持つ。したがって、Eγ+Eγ0 は、電子陽電子対を作るためだけではなく、その運動エネルギーをも担う必要がある。 .{わかってなかった!2015/11}

 Eγ+Eγ0>2*me Eγ0 は既知量として、最小の Eγ を求めたい。

Eγ~~~> <~Eγ0

[(e-)(e+)]-E,b,2*me->

■ エネルギー Eγ+Eγ0=E  運動量(光速倍) Eγ-Eγ0=root(E^2-4*me^2)

E を消去して (Eγ-Eγ0)^2=(Eγ+Eγ0)^2-4*me^2

 Eγ^2-2*Eγ*Eγ0+Eγ0^2=Eγ^2+2*Eγ*Eγ0+Eγ0^2-4*me^2

 Eγ=me^2/Eγ0 .


★ me=0.511_MeV Eγ0=2.35_eV 緑色 ‖

 Eγ=[0.511*Ten(6)]^2/2.35~1.11*Ten(11)_eV=111_GeV

◇ 電子+光子⇒2電子+陽子

◎ 光子同士を衝突させ、電子陽電子対を作るのは難しい。そこで、光子を電子に衝突させ、電子陽電子対を作る事を考える。

◆ 静止している電子に光子を衝突させ、電子陽電子対を生成する。電子陽電子対のエネルギーは 1_MeV であるから、光子も 1_MeV でよいかと思うが、そうではない。

光子は運動量を持つから、反応後の3粒子も運動量を持つ。始めの光子は、その運動量の分まで担わなくていけないから、より多くのエネルギーを持つ必要がある。 .

光子の閾値(エネルギー最小値) ? 電子の質量 me

実験室系(電子が静止)

Eγ~> |e-|

[(e-),(e+),(e-)]-E,b->

全運動量0系

~> <-(e-)

|(e-),(e+),(e-)|

全運動量0系で、衝突後の3粒子すべて静止した場合が、全エネルギーが最小になる。他の系では、衝突後の3粒子がまとまって運動した場合になる。

実験室系で 

エネルギー Eγ+me=E  運動量(光速倍)^2 Eγ^2=E^2-(3*me)^2

E を消去して Eγ^2=(Eγ+me)^2-(3*me)^2

 Eγ^2=Eγ^2+2*Eγ*me+me^2-9*me^2

 Eγ=4*me~2_MeV .

◇ GZK限界

◎ 宇宙線 cosmic ray 宇宙空間を飛び交う高エネルギーの放射線 主に陽子

GZX限界 高速な陽子にとって、宇宙全体に充満している低エネルギーの光子のエネルギーは高くなる(光のドップラー効果)。すると、重い粒子が生成される反応が起きる。陽子のエネルギーは下がる。したがって、宇宙を飛び交う陽子のエネルギーには、最大値が存在するはずである。

◆ 光子と陽子が衝突し、パイ中間子が生成する。陽子は生き残る。

実験室系(粒子は静止)

宇宙系

 |p| <~γ

m Eγ

p-> <~γ

E,m,b \Eγ

実験室系での光子の閾値エネルギー Eγ=144.7_MeV=1.447*Ten(8)_eV

● h*c~(1.239 842)*Ten(-6)_eV*m

「光のドップラー効果」 2015/3

◎ 光子 静止質量 0 エネルギー=運動量(光速倍)

◆ 光源が静止している系で 光子 静止質量 0 エネルギー E0 運動量(光速倍) E0

光源に対して、速さ(対光速比) b. で動く慣性系で その光子のエネルギー E 運動量 E

■ E/E0=root[(1-b.)/(1+b.)] 光源が観測者から遠ざかる場合 b.>0

■ 上図で、宇宙系は、実験室系に対して、左側に速さ(対光速比) b で動く。光源から遠ざかる動きだから、光子のエネルギーは小さくなる。逆に、\Eγ は小さくても、実験室系で、Eγ は大きくなり、パイ中間子を生成するエネルギーに達する事ができるようになる。

宇宙系で 波長 1*Ten(-3)_m の光子で

 \Eγ=h*c/Ten(-3)=(1.239 842)*Ten(-3)_eV

 \Eγ/Eγ=[(1.239 842)*Ten(-3)]/[1.447*Ten(8)]~8.56*Ten(-12)=x と置くと、

ドップラー効果(光子のローレンツ変換)より x=\Eγ/Eγ=root[(1-b)/(1+b)]

 x^2=(1-b)/(1+b) b=(1-x^2)/(1+x^2) x^2<<1 だから、

 b=(1-x^2)*(1-x^2)=1-2*x^2 b^2=1-4*x^2 1-b^2=4*x^2

 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1/root(4*x^2)=1/(2*x)

 Γ(b)=1/[2*8.56*Ten(-12)]=5.84*Ten(10)

宇宙系の陽子の閾値エネルギー E
=Γ(b)*m
=[5.84*Ten(10)]*938.3
~5.5*Ten(13)_MeV
~5.5*Ten(19)_eV 
.これ以上のエネルギーの陽子だと、宇宙背景輻射の光子と反応し、パイ中間子を生成してしまう。これ以上の宇宙線の陽子は、存在しないという意味(GZK限界)。

{できちゃった!どう解いたらいいかわからなかったが、ひとつひとつ考えていったら、できた!2015/3/31}

▲ 実際の観測では、宇宙線陽子の最大値 3*Ten(20)_eV

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