Home > お勉強 > 物理 > 相対論 >

2013/2 Yuji.W

☆光の波動方程式のローレンツ変換☆

★ ローレンツ変換　波動方程式　ドップラー効果　4元波動ベクトル　光行差

◇表示のお約束　物理定数　微分;x　2階微分;;x　時間微分'　積分$ ★
ベクトル<>　単位ベクトル<-u>　縦ベクトル<)　内積*　外積#　成分:x
sin(a)=Sa　cos(2*b)=c2b　tan(x)=Tx　10^n=Ten(n)　exp(i*x)=expi(x)

「ローレンツ変換」

◆2つの慣性系 静止系(t,x,y,z)　運動系(T,X,Y,Z)_K

・運動系は、静止系に対して速さ v. で、x の正の方向に等速直線運動

・静止系は、運動系に対して速さ v. で、X の負の方向に等速直線運動

・x軸とX軸は重なる。y軸とY軸は平行、z軸とZ軸も平行。

・時刻 t=0 のとき T=0 & x=X=0　とする。

●ガリレオ変換　t=T　x=X+v.t

■ローレンツ変換　x=Γ(v.)*(X+v.*T)　t=Γ(v.)*(T+v.*X/c^2) ★ 

　X=Γ(v.)*(x-v.*t)　T=Γ(v.)*(t-v.*x/c^2) ★ 

■運動系の原点(X=0)　x=Γ(v.)*v.*T=v.*t　t=Γ(v.)*T ★ 

静止系の原点(x=0)　X=-Γ(v.)*v.*t=-v.*T　T=Γ(v.)*t

「光のドップラー効果」静止系の1点で観測する

◆光源が動く速さ v　光の元々の振動数 (nu0)

　静止系の1点で観測した振動数 (nu)

■横ドップラー効果　光源が観測点に向かう方向に対して垂直に動く

　(nu)/(nu0)=1/Γ(v)　<1

■縦ドップラー効果　光源が観測点に向かって動く

　(nu)/(nu0)=root[(1+v/c)/(1-v/c)]　>1

■

☆波動方程式,ドップラー効果☆

「平面波の波動方程式」

◆振幅 u(x,t)　u''=c^2*u;;x　c=波の速さ

■周期 T　振動数=周波数 (nu)=f=1/T

　角速度=角振動数=角周波数 w=2Pi*(nu)=2Pi/T

■波長 λ　(角)波数 k=2Pi/λ

■波の速さ c=λ*(nu)=w/k

■周期的な解であれば、解のひとつは、

　正の方向に進む波　u=A*cos(k*x-w*t)

　負の方向に進む波　u=A*cos(k*x+w*t)■

◎光の波動方程式(1次元、平面波)の中に表れる、位置や時間をローレンツ変換すると、どうなるだろう。

◆光源が x軸方向に動いている　光源と共に動く座標を運動座標系とする

x軸のマイナスの方向に進む波

静止座標系で　u=A*cos[w*(t+x/c)]

運動座標系で　u_K=A_K*cos*[w_K*(T+X/c)]

　このとき、w*(t+x/c)=w_K*(T+X/c) ★ {核心!}

{なぜか?}静止系の t,x と、運動系の T,X は、ある一つの事象を、別の系で観測した値に過ぎない。全く異なる、独立した量同士ではない。
静止系の t,x で、振幅が 0 になったとしよう。t,x に対応する T,X でも、波の振幅は 0 になる。他の振幅の場合でも、同様である。どの系で観測しても、波の位相を表す量は変化しない。 ★

※振幅の大きさは、違っていてもよい。

■ドップラー効果

　w*(t+x/c)=w_K*(T+X/c)
=w_K*Γ*[(t-v.*x/c^2)+(x-v.*t)/c]
=w_K*Γ*(1-v./c)*(t+x/c)

　w/w_K=Γ*(1-v./c)=root[(1-v./c)/(1+v./c)] ★ 光源が速さ v. で遠ざかる

☆光の波動方程式をローレンツ変換する☆

◎光の波動方程式(1次元、平面波)の中に表れる、位置や時間をローレンツ変換すると、どうなるだろう。

●ローレンツ変換　x=Γ(v.)*(X+v.*T)　t=Γ(v.)*(T+v.*X/c^2)

　X=Γ(v.)*(x-v.*t)　T=Γ(v.)*(t-v.*x/c^2)

■光の平面波の波動方程式の1つの解をローレンツ変換すると、

　k*x-w*t=k_G*X-w_G*T
=k_G*Γ(v.)*(x-v.*t)-w_G*Γ(v.)*(t-v.*x/c^2)
=k_G*Γ(v.)*x-k_G*Γ(v.)*v.*t-w_G*Γ(v.)*t+w_G*Γ(v.)*v.*x/c^2
=Γ(v.)*(k_G+w_G*v./c^2)*x-Γ(v.)*(w_G+k_G*v.)*t

　k=Γ*(k_G+v.*w_G/c^2) ★ 　w=Γ*(w_G+v.*k_G) ★

☆4元波動ベクトル☆

■波の進む方向の単位ベクトル <ku>

　波数ベクトル <k>=k*<ku>　4元波動ベクトル wμ=(w/c,<k>) ★ 

☆☆☆ Yuji.W ☆☆☆
inserted by FC2 system