☆お勉強しようUz☆ 物理.特殊相対性理論

2016/3-2011 Yuji.W

☆A時間の遅れ☆

◎ 観測系が違うと、2つの事象が起きた時間間隔が異なる 「遅れる、進む、伸びる」の表現は、混乱をまねく

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 -

◇時間の遅れ◇

◎ 一方の系での1秒が、他方の系では1秒でない

◆ 2つの事象 X系で 同じ位置(原点) 時刻 0,Tc <0 0)_X , <Tc 0)_X

x系で <0 0) , <tc x)

■ ローレンツ変換して tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*0=Γ(b.)*Tc

 x=Γ(b.)*0+Γ(b.)*b.*Tc=Γ(b.)*b.*Tc

時刻 0~Tc で計算したが、時間間隔が Tc であれば、任意の時刻で同じ結果を得る。

X系の同位置で観測した時間間隔 ΔTc x系の異なる位置で観測した時間間隔 Δtc

 Δtc/ΔTc=Γ(b.)  

▲ 移動の速さ(対光速比)=x/tc=[Γ(b.)*b.*Tc]/Γ(b.)*Tc=b. {当然!2015/4}

◇時間の遅れを考えるうえで注意すべき事◇

◎ 誤解、混乱をなくそう

◆ 2つの事象@A

X系で @<0 0) A<Tc X)  x系で @<0 0) A<tc x)

■ ローレンツ変換より tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X Tc=Γ(b.)*tc-Γ(b.)*b.*x

2つの事象が、X系で同位置で起きた場合 X=0 x≠0

 tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*0=Γ(b.)*Tc  

2つの事象が、x系で同位置で起きた場合 x=0 X≠0

 Tc=Γ(b.)*tc-Γ(b.)*b.*0=Γ(b.)*tc  

{以上の事を理解しないから、誤解、混乱する事になる!2016/3}

◇光時計◇

◎ 2つの鏡を、進行方向に垂直な方向に置き、光を往復させる

◆ 2つの慣性系 X系、x系

X系で、Y軸上に距離 Y 離して2つの鏡を置く。その間を、光を往復させる。

X系は、x系に対してx軸の正の方向に、速さ(対光速比) b. で等速直線運動をする。

光が鏡の間の片道にかかる時間 X系で T x系で t

■ X系で T=Y/c

x系で、光は斜め方向に進んでいる。 ※ この事に関して、光は斜めには進まないとか、鏡がある所にちょうどよく光は行かないとか、異論を唱えているサイトがあった。鏡の間を往復している光を、ただ別の系で観測してるだけ。その系では、光が斜めに進むように観測されたり、鏡がある所にちょうどよく光が進むのは当たり前。

 y軸方向の距離=Y ※ 特殊相対論でも、進む方向に垂直な方向の長さは変化しない

 x軸方向の距離は、速さ b.*c で、時間 t 進むから x軸方向の距離=b.*c*t

 片道の距離=root[Y^2+(b.*c*t)^2]

その距離を、光は速さ c で、時間 t かかって進むのだから、

 root[Y^2+(b.*c*t)^2]=c*t

 Y^2+(b.*c*t)^2=(c*t)^2 .両辺に、x系の時間 t があるのがミソ

 Y^2/c^2=t^2*(1-b.^2)

 t=(Y/c)/root(1-b.^2)=(Y/c)*Γ(b.)=Γ(b.)*T

 t/T=Γ(b.) .時間の遅れ(大きくなる) ローレンツ変換で求めた式を一致する

◇時間の遅れ b.=3/5 のとき◇

◇ 時空 x系 <tc x) X系 <Tc X)_X

◆ 2つの慣性系 x系,X系 X系は、x系に対してx軸方向に速さ(対光速比) b.=3/5 で等速直線運動 b.=3/5 Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

2つの事象 X系で同じ位置、単位時間後 <0 0)_X , <1 0)_X x系で <0 0) , <tc x)

● ローレンツ変換 tc=(5/4)*Tc+(3/4)*X x=(5/4)*X+(3/4)*Tc
 Tc=(5/4)*tc-(3/4)*x X=(5/4)*x-(3/4)*tc

■ <1 0)_X ⇒ tc=5/4 x=3/4 <5/4 3/4)

■ ローレンツ変換して tc=Γ(b.) x=Γ(b.)*b.

X系で 1_sec 同じ位置 ⇔ x系で 5/4_sec 位置は (3/4)/c〔

◇計算例-時間の遅れ◇

※ 長さの単位 光年 時間の単位 年 光速 c=1_光年/年 t*c と t の値は同じになる

★ b.=4/5 Γ(4/5)=5/3 Tc=2.5*Ten(-9)_sec

 tc=(5/3)*2.5*Ten(-9)~4.17*Ten(-9)_sec

★ x系で x=3.26*8.5*Ten(3)=2.771*Ten(4)_光年 の距離を、X系の時間で 40年で進みたい。そのときの速さ(対光速比) b. ?

 Γ(b.)*b.=2.771*Ten(4)/40~693

b.=1-e 0<e<<1 と置くと e=1/(2*693^2)~Ten(-6) b.=1-Ten(-6)

★ x系で x=2*Ten(6)_光年 の距離を、X系の時間で 2年で進みたい。そのときの速さ(対光速比) b. ?

 Γ(b.)*b.=[2*Ten(6)]/2=Ten(6)

b.=1-e 0<e<<1 と置くと e
=1/[2*Ten(6)^2]
=5*Ten(-13) b.=1-5*Ten(-13)

★ X系での時間 T=12.4*Ten(-9)_sec x系での距離 x=10_m

 Γ(b.)*b.=x/(c*T)=10/[3*Ten(8)*12.4*Ten(-9)]~2.69

 Γ(b.)=root(1+2.69^2)=root(8.2361)~2.87

 b.=2.69/2.87~0.94

★ b.=0.99 Γ(0.99)~7.089 Γ(0.99)*0.99~7.02 x=0.55_m

 T=0.55/[7.02*3*Ten(8)]~2.6*Ten(-10)_sec

★ x系で 太陽 x=0 恒星 x=60_光年 <時間_年 位置_光年) c=1_光年/年

ロケット 速さ(対光速比) b=4/5 Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

太陽や恒星が静止している系 x系 ロケットが静止している系 X系

事象 @ロケットが太陽を出発 A恒星に到着 B太陽が爆発 C爆発の光が恒星に届く
AとCは同時だとする(x系でもX系でも同時)

x系で@Aの時間 t=60/(4/5)=75_年

x系で @<0 0) A<75 60) B<15 0) C<75 60)

ローレンツ変換して

A<Tc X)_X Tc=75*(5/3)-60*(4/3)=125-80=45
 X=60*(5/3)-75*(4/3)=100-100=0 <45 0)_X

B<Tc X)_X Tc=15*(5/3)=25 X=-15*(4/3)=-20 <25 -20)

X系で @<0 0)_X A<45 0)_X B<25 -20)_X C<45 0)_X

まとめると @<0 0),<0 0)_X AC<75 60),<45 0)_X B<15 0),<25 -20)_X

@Aの時間 x系の時間/X系の時間=75/45=5/3=Γ(4/5) となっている

@Bの時間 X系の時間/x系の時間=25/15=5/3=Γ(4/5) となっている

位置が変わらない時計の進み方が、最も小さい(遅い)〔

★ ミューオン Γ(b)=29.33 b>0.999

 ミューオンが動いている系での寿命 t=64.378*Ten(-6)_sec

 ミューオンが静止している系での寿命 T=64.378*Ten(-6)/29.33=2.195*Ten(-6)_sec

★ ミューオン b=0.99 Γ(0.99)=7.089 5.00_km進んで崩壊した

 地上系での寿命=5000/[0.99*3*Ten(8)]~1.68*Ten(-5)_sec

 ミューオン系での寿命=[1.68*Ten(-5)]/7.089~2.37*Ten(-6)_sec

 ミューオン系での距離=5/7.089~0.705_km=705_m

◇地球を回る飛行機内の時計◇

「地表が自転する速さ」 2015/4

◆ 地球の半径 R=6.38*Ten(6)_m 赤道上の1点が自転する速さ v その光速比 b

● day/sec=86400

■ v0=2*Pi*R/86400~464_m/sec~1670_km/hour

 b=v/c=464/[3*Ten(8)]~1.55*Ten(-6)

● 非相対論に近い場合 |b|<<1 Γ(b)=1+b^2/2

◆ 地球の赤道上を飛行機が、高さ 0 mで、地球の赤道上の1点の自転の速さ v0 で、1周する。

東回りに1周した場合の、飛行機内の時計の時間 t 飛行機の速さ 2*v0
西回りに1周した場合の、飛行機内の時計の時間 T 飛行機の速さ 0

地球の公転とか、太陽系の動きなどは無視する

■ 西回りでは、飛行機は慣性系に対して静止しているから T=86400_sec

他の系での観測した時間間隔に対して、T が最小値をとる。

東回りでは、飛行機は慣性系に対して、地球の自転の速さが加わって、速さ 2*v0 になり、

 b=2*1.55*Ten(-6)=3.1*Ten(-6)

 Γ(b)=1+[3.1*Ten(-6)]^2/2=1+4.8*Ten(-12)

円運動ではあるが、ゆっくり大きく動くから、等速直線運動であるとみなし、特殊相対論の効果の時間の遅れの公式を使って、

 t-T=86400*4.8*Ten(-12)]~4.1*Ten(-7)_sec .西回り時間が最小値

◇縦光時計◇

◎ 2つの鏡を、進行方向に置き、光を往復させる

◆ 2つの慣性系 X系、x系

X系で、X軸上に距離 X 離して2つの鏡を置く。その間を、光を往復させる。

X系は、x系に対してx軸の正の方向に、速さ(対光速比) b. で等速直線運動をする。

光が鏡の間の片道にかかる時間 X系で T x系で t◆

■ X系で T=X/c 往復で 2*T=2*X/c

x系で、光が、後方の鏡から先方の鏡に届くのにかかる時間 t1 先方から後方への時間 t2

 c*t1=X+b.*c*t1 t1=(X/c)/(1-b.)

 c*t2=X-b.*c*t2 t2=(X/c)/(1+b.)

 t1+t2=(X/c)/(1-b.)+(X/c)/(1+b.)=2*(X/c)/(1-b.^2)

 (t1+t2)/(2*T)=1/(1-b.^2)=Γ(b.)^2 .時間の遅れ T が最小値

特殊相対論とは一致しない。距離が短くなる効果が考慮されていないからである。

■ 距離が短くなる効果を考慮すると、

 c*t1=X/Γ(b.)+b.*c*t1 t1={X/[c*Γ(b.)]}/(1-b.)

 c*t2=X/Γ(b.)-b.*c*t2 t2={X/[c*Γ(b.)]}/(1+b.)

 t1+t2
={X/[c*Γ(b.)]}/(1-b.)+{X/[c*Γ(b.)]}/(1+b.)
={2*X/[c*Γ(b.)]}/(1-b.^2)
={2*X/[c*Γ(b.)]}*Γ(b.)^2
=(2*X/c)*Γ(b.)

 (t1+t2)/(2*T)=Γ(b.) .これで、特殊相対論と一致した T が最小値

  A時間の遅れ  

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