☆ {計算例}特殊相対性理論.同時性の破れ ☆
〇 ロケット系 地球系 2023.9-2013.2 Yuji.W ★
◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 #
〓 同時性の破れ 〓 2023.9
● |b|<1 に対して 相対論的効果率
Γ(b)=1/root(1-b^2) Λ(b)=Γ(b)*b
● 事象 <時間(光速倍) x座標 y座標 z座標)
● 原点がすれ違う時刻 0
〇 1つの慣性系において、あらゆる所に同期された時計があるとする。ある地点にある時計が示す時刻を、「その慣性系のその位置における時刻」とする。
▢ 2つの慣性系 x系、X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <xu>*b.
X系の異なる位置で同時に起きた2つの事象 ①<Tc X1 _X) ②<Tc X2 _X)
それをx系で観測した値 ①<tc1 x1) ②<tc1 x2)
▷ x2-x1=Γ(b.)*(X2-X1)
tc2-tc1=Λ(b.)*(X2-X1)=b.*(x2-x1) ★ 同時性の破れ(相対性) Relativity of simultaneity 時間差が生じる
▲ X系(同時系)がx系に対して動いている方向にある方が遅れて起きる。時計は、より先の時刻を示す、進んでいる。
※ X系で同じ位置で同時に起きた事象は、x系でも同じ位置で同時に起きる。
※ |x2-x1| は異なる時刻における位置の差を表しているだけなので、|X2-X1| より大きくなっても構わない。長さの短縮とは矛盾しない。
※ ヘリウェルの本では、x系がX系(同時系)に対して動く方向にある時計を「先行する時計」と言って、「先行する時計が遅れる」と表現している。
※ X系の時計が狂うわけではない。X系にある時計はすべて同期していて、いつもと同じように時を刻んでいる。それを別の系で観測すると、時計が違う時刻を示しているように観測されるだけである。
〓 ロケット系と地球系の時計の遅れ 〓 ❒ヘリウェル「特殊相対論」p63 例題6.1
▢ 2つの慣性系 地球系、ロケット系
ロケット系の地球系に対する速度(対光速比) <xu>*4/5
Γ(4/5)=5/3 Λ(4/5)=(5/3)*(4/5)=4/3
固有長 500_m のロケット ロケット系と共に進む 先端 X=0 後端 X=-500_m
事象① 時刻 0 にロケットの先端が、地球系の原点に到達した <0 0 _X) , <0 0)
事象② ロケットの後端が、地球系の原点に到達した <Tc -500 _X) , <tc 0)
▷ (地球系でのロケットの長さ)=500/Γ(4/5)=500*3/5=300_m ★
(ロケットが 300_m 進むのにかかる時間)=300/(4*c/5)=375/c_sec ★
(ロケットが 300_m 進むのを、ロケット内の1点で観測した時間)
=(375/c)/Γ(4/5)=(375/c)/(5/3)=225/c_sec ★
(地球系が 500_m 進むのにかかる時間)=500/(4*c/5)=625/c_sec ★
※ 光速 c_m/sec としている
▷ ロケット系で同期している時計2つ 先端と後端
(地球系で観測したときの時計の遅れ)=(4/5)*500/c=400/c_sec ★ 先端の方が遅れている
▷ 事象②をローレンツ変換して、
tc=Γ(4/5)*Tc+Λ(4/5)*(-500)=(5/3)*Tc-2000/3
0=Γ(4/5)*(-500)+Λ(4/5)*Tc=-2500/3+(4/3)*Tc
⇒ Tc=625 tc=(5/3)*625-2000/3=375
T=625/c_sec t=375/c_sec ★
▲ 地球系が 500_m 進むのにかかる時間とロケットが 300_m 進むのにかかる時間に対応している
▷
(地球系で観測したときのロケット内の時計の遅れ)=400/c_sec 先端の方が遅れている
(地球系でのロケットの長さ)=300_m ★
(ロケットが 300_m 進むのにかかる時間)=375/c_sec
(ロケットが 300_m 進むのを、ロケット内の1点で観測した時間)=225/c_sec ★
▷
(地球系が 500_m 進むのにかかる時間)=500/(4*c/5)=625/c_sec
▷ 事象② ロケットの後端が、地球系の原点に到達した
ロケット系 <625 -500 _X) 地球系 <375 0)
(事象②が起きたときに、ロケット系の後端にある時計が示す時刻)=625/c_sec
(地球系が 500_m 進むのにかかる時刻)=625/c_sec
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