物理 特殊相対性理論

2015/9-2011 Yuji.W

C時計のずれ

◎ ローレンツ変換 時計のずれ ある系で同期されている時計群が、別の系で観測すると、同期していないように観測される。

累乗^ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ベクトル<A> 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 2階微分;;x 時間微分y' 定積分${f(x)*dx}[x:a~b]〔物理定数〕 _

◇時計のずれ◇

● X系で単位距離離れて同時 @<0 0)_X A<0 1)_X

x系で @<0 0) A<Γ(b.)*b. Γ(b.)) 前方にある方が遅れる

x系で同時刻に、X系にある2つの時計を観測する x系で 時計@<0 0) 時計A<0 x)

X系では、単位距離離れていたとする 時計@<0 0)_X 時計A<Tc 1)_X

■ ローレンツ変換して 1=Γ(b.)*x Tc=-Γ(b.)*b.*x=-Γ(b.)*b.*[1/Γ(b.)]=-b.

X系で @<0 0)_X A<-b. 1)_X ⇔ x系で @<0 0) A<0 1/Γ(b.)) 

x系で距離 1/Γ(b.) 離れて同時刻 ⇔ X系で単位距離前方にある方が、Tc=b. だけ過去

■ C【時計のずれ】 一方の系で距離 1/Γ(b) 離れて同時 ⇔

他方の系で 位置のずれ 1 時間のずれ b/c

◇ロケット系、地球系-時計のずれ◇

◇ 時空 x系 <tc x) X系 <Tc X)_X ● Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

◆ ロケット 固有長 500m 地球に対する速さ(対光速比) 4/5

地球系 x系 ロケットと共に進む系 X系 X系の原点 ロケットの先頭

事象@ ロケットの先端が、地球系の原点にある
事象A ロケットの後端が、地球系の原点にある

2つの事象は、地球系では同じ位置、ロケット系では別の位置である。2つの慣性系での現象が対称になる必要はない。

■ 地球系で、

ロケットの先端と後端の時計のずれ=500*(4/5)/c=400/c_sec

事象@ 地球系の時計 0 ロケットの先端の時計 0 後端の時計 400/c

ロケットの長さ=500/(5/3)=300_m @とAの間の時間=300/(4/5)/c=375/c_sec

その時間を、ロケット内の任意の1点で観測した時間=(375/c)/(5/3)=225/c_sec {ややこしい!2015/3}

事象A 地球系の時計 375/c ロケットの先端の時計 225/c 後端の時計 625/c

■ ロケット系で、

 @とAの間の時間=500/(4/5)/c=625/c_sec

※ @とAの間の時間 ロケット系/地球系=625/375=5/3=Γ(3/4)

事象A ロケット系の時計 625/c 地球系の原点の時計 375/c

■ 事象Aが起きた時に、地球系の原点にある時計が示す時刻

地球系で考えた場合 375/c_sec ※ 地球系ですべての時計で
ロケット系で考えた場合 375/c_sec

事象Aが起きた時に、ロケットの後端にある時計が示す時刻

地球系で考えた場合 625/c_sec
ロケット系で考えた場合 625/c_sec ※ ロケット系のすべての時計で

以上、どちらの系で考えても、ある特定の時計が示す、ある特定の事象が起きた時の時刻は同じ。〔〕{当たり前なのだが、混乱しやすい!2015/3}

★ ロケット 固有長 1000m 地球に対する速さ(対光速比) 3/5 Γ(3/5)=5/4

以下、時間は光速倍したもので表す。単位は m となる。

地球系で、ロケットの先端と後端の時計のずれ=1000*(3/5)=600_m

ロケットの長さ=1000/(5/4)=800_m 通り過ぎるのにかかる時間=800/(3/5)=4000/3_m

その時間をロケット内の1点で観測した時間=(4000/3)/(5/4)=3200/3_m

 3200/3+600=5000/3_m

◇棒が傾く◇

◆ 2つの慣性系 x系,X系 X系は、x系に対してx軸方向に速さ(対光速比) b. で等速直線運動

固有長1の棒がX軸上に置かれていて、速さ By でY軸方向に動く。

■ 単位長さの棒の両端に置いた時計を、x系で観測すると、前方の時計が時間(光速倍) b. 遅れている。垂直方向への動きが b.*By だけ小さくなる。X系で水平であった棒は、x系では、前方が下がっているように観測される。その角度 a

横方向は、短くなって 1/Γ(b) になるから、

 tan(a)=[1/Γ(b)]/(b.*By)=1/[Γ(b)*b.*By]〔

{合っているのだろうか?2015/3}

◇計算例-時計のずれ◇

★ 観測者が持っている時計A 観測者から30m離れている時計B

2つの時計は、観測者系で同じ時刻を示す。ただし、実際に観測者にとっては、光が届くのに時間がかかるから、過去の時計の時刻を見ている事になる。

時計Bは 30/c=Ten(-7)_sec これだけ前の時間を示す。

★ 観測者が持っている時計A 観測者から30m離れている時計B Bが観測者に向かって、速さ 30m/sec で動き、観測者の所に来た。Γ(30/c)=Γ[Ten(-7)]=1+5*Ten(-15)

 観測者にとってかかった時間=30/30=1_sec @

 時計Bにとっての距離=30/Γ(30/c)=30/[1+5*Ten(-15)]

 時計Bにとってかかった時間={30/[1+5*Ten(-15)]}/30=1-5*Ten(-15) A

 @とAの時間差=5*Ten(-15)_sec

★ 2つの時計 A,B AB=2光分 時計Cが、速さ(対光速比) 4/5 で、ABの方向に動く。時刻 0 で、時計Aの所にいた。その時の時計Aの時刻 0 Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

 時計A,Bにとって、時計CがABを動くときの時間=2/(4/5)=5/2_分

 時計CにとってのAB=2/(5/3)=6/5_光分 それだけ動くときの時間=(6/5)/(4/5)=3/2_分

 {別解} (5/2)/(5/3)=3/2_分

 時計Cにとって、時計A,Bの時間差=2*(4/5)=8/5_分

★ b.=Ten(-7) ΔX=30_m

 ΔTc=Ten(-7)*30=3*Ten(-6)_m ΔT=3*Ten(-6)/c=Ten(-14)_sec

 C時計のずれ 

inserted by FC2 system