物理 特殊相対性理論

2015/9-2011 Yuji.W

B長さ.距離の短縮

◎ ローレンツ変換 長さの短縮 距離の短縮 ミューオン

累乗^ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ベクトル<A> 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 2階微分;;x 時間微分y' 定積分${f(x)*dx}[x:a~b]〔物理定数〕 _

☆動いている物の長さ

◎ 動いている物の長さを測定する。簡単そうに思えるが、そうでもない。次の2種類の方法が考えられる。

@ 同じ位置で、物の両端が通過した時刻を測定し、計算して長さを求める。{こっちの方が簡単!}
A 同時に、棒の両端の位置を記録する。{いろいろな資料に載っている方法!}

どちらの方法も時間が関わってくる。相対論では、時間に関して変な事が起きるから、簡単に結論を言えない。

固有長 長さ・距離を測定したい2点が静止している系で測定した長さ

☆方法1☆

◎ 方法@ それぞれの系の同じ位置で、棒の両端が通過した時刻を測定する。

◆ 棒(固有長 L0) X系で静止 棒の先端 原点 後端 X=-L0

x系で測定した棒の長さ L

事象@ 棒の先端と、x系原点とがすれ違う 事象A 棒の後端と、x系原点とがすれ違う

X系で @<0 0)_X A<Tc -L0)_X  x系で @<0 0) A<tc 0)

■ X系で、x系の原点が、速さ(対光速比) b. で、距離 L0 動くのだから、

 かかった時間 Tc=L0/b.

x系では、2つの事象が、同じ位置で起きているから、その時間間隔は最小になる。

 tc=Tc/Γ(b.)=(L0/b.)/Γ(b.)=L0/[Γ(b.)*b.] 棒が原点を通り過ぎるのにかかった時間

 L=b.*tc=b.*{L0/[Γ(b.)*b.]}=L0/Γ(b.)  固有長より短くなる

☆方法1 b.=3/5 のとき☆

◎ 方法@ それぞれの系の同じ位置で、棒の両端が通過した時刻を測定する。

◇ 時空 x系 <tc x) X系 <Tc X)_X

◆ 単位長さの棒(固有長 1) 慣性系X系で静止 棒の先端 原点 後端 X=-1

X系は、慣性系x系に対して、棒の長さの方向に等速直線運動 その速さ(対光速比) 3/5

x系で測定した棒の長さ L

b=3/5 Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

● ローレンツ変換 tc=(5/4)*Tc+(3/4)*X x=(5/4)*X+(3/4)*Tc
 Tc=(5/4)*tc-(3/4)*x X=(5/4)*x-(3/4)*tc

事象@ 棒の先端(X=0)と、x系原点とがすれ違う <0 0)_X , <0 0)
事象A 棒の後端(X=-1)と、x系原点とがすれ違う <Tc -1)_X , <tc 0)

▲ 上図で、棒が上に動いているように見えるが、そうではない。縦軸は、時間軸である。X系で静止している点の世界線は、縦軸と平行になる。棒は、X系では静止していて、時間が経過しているだけである。一方、x系では、棒が正の方向に動いている。初め、棒の先端がx系の原点にあったが、その後、棒の後端が、原点に達した。その時間間隔は、X系で 5/3、x系で 4/3 である。

■ X系にとって、x系の原点が負の方向に、速さ(対光速比) 3/5 で、距離 1 を通り過ぎるから、

 Tc=1/(3/5)=5/3

<5/3 -1)_X をローレンツ変換して、

 tc=(5/4)*(5/3)+(3/4)*(-1)=25/12-3/4=4/3
 x=(5/4)*(-1)+(3/4)*(5/3)=-5/4+5/4=0

{確かめ} tc は、x系の1点(原点)で起きる2つの事象の時間間隔、Tcは、X系で異なる位置で起きる2つの事象の時間間隔だから tc<Tc Tc/tc=Γ(3/5)=5/4 となるはず。
 Tc/tc=(5/3)/(4/3)=5/4 OK!

x系で、速さ(対光速比) 3/5 で、動く棒が通り過ぎるのに、時間(光速倍) 4/3 かかった。棒の長さは、

 L=(3/5)*(4/3)=4/5〔〕固有長 1 の棒の長さが、短くなった

固有長 L0 の場合には、L/L0=4/5

☆方法2☆

◆ 棒 固有長 L0 慣性系x系に対して、その長さの方向に等速直線運動 その速さ(対光速比) b 棒が静止している慣性系 X系 x系で測定した棒の長さ L

x系で、同時刻に棒の先頭と最後尾の位置を観測したい。
事象@ 最後尾 <0 0) 事象A 先頭 <0 L)

X系で @ <0 0)_X A <-Tc L0)_X ※ 時刻 0 より前

■ ローレンツ変換して 0=-Γ(b)*Tc+Γ(b)*b*L0 L=Γ(b)*L0-Γ(b)*b*Tc

Tc を消去して L=Γ(b)*L0-Γ(b)*b*(b*L0)=L0*Γ(b)*(1-b^2)=L0/Γ(b)〔

 <0 0)_X , L0*<-b 1)_X ⇔ <0 0) , L0*<0 1/Γ(b))

{どちらの方法でも同じ結果を得たのだが、方法@の方が、素直な感じ!2014/8}

{確かめ} X系 <-b 1) をローレンツ変換すると tc=Γ(b)*(-b)+Γ(b)*b*1=0

x=Γ(b)*1+Γ(b)*b*(-b)=Γ(b)*(1-b^2)=1/Γ(b)

☆進行方向と直角の方向の長さ☆

◎ 進行方向の長さは、縮んでいるように観測される。進行方向と直角の方向の長さは縮むのか。動いているロケットの高さは低くなるのか。

■ 長さ L1 の棒と、長さ L2 の棒を用意し、縦に立てる。止まっている状態では、 L1 = L2 であるとしよう。

L2 の棒を横に動かす。長さが仮に短くなるとすれば、 L1 > L2

L2の棒にとっては、もう一方の棒 L1 が動いているのだから、動いている物が短くなるとすれば、 L1 < L2

2つの結果は矛盾している。2つの棒の長さはすれ違う時に同時に、同じ場所で比べることができる。そこに時間のずれはない。同時に同じ場所で比べた長さが、見ている人にとって、結果が違うことはありえない。進行方向と直角の方向の長さは縮むと仮定すると矛盾が生じることになる。

すなわち、進行方向と直角の方向の長さは変わらない。〔

◇計算例-長さ・距離の短縮◇

★ 我々の銀河の直径 Ten(5)_光年 陽子が、速さ 0.99*c で横切る

銀河系で かかる時間=Ten(5)/0.99=101000_年
陽子系に換算すると 陽子系でかかる時間=101000/Γ(0.99)=101000/7.089=14200_年 @

陽子系で進行方向に縮む 陽子系での銀河の直径=Ten(5)/Γ(0.99)=Ten(5)/7.089
 陽子系でかかる時間=[Ten(5)/7.089]/0.99=14200_年 A  @=A

★ 陽子 エネルギー=Ten(13)_MeV 我々の銀河の直径 Ten(5)_光年

 Γ(b)=Ten(13)/Ten(3)=Ten(10) 陽子系での銀河の直径=Ten(5)/Ten(10)=Ten(-5)_光年

 横切るのにかかる時間=Ten(-5)/1=Ten(-5)_年~300_sec~5_min {早い!2015/7}

★ 固有直径 9000_km の星が、地球のそばを通り過ぎるのに地球の時計で 0.04_sec かかった。
星の速さ(対光速比) b を求めよう。

非相対論で [9*Ten(6)/0.04]/[3*Ten(8)]=3/4

相対論で

 地球系で測定した直径=9*Ten(6)/Γ(b)_m [9*Ten(6)/Γ(b)]=b*c*0.04

 Γ(b)*b=9*Ten(6)/[0.04*3*Ten(8)]=3/4 b=(3/4)/root(1+9/16)=(3/4)*(4/5)=3/5

★ 宇宙線の陽子の最大の速さ b Γ(b)=6*Ten(14) ※ 1991年

● Γ(b)=1/root(1-b^2)=x

 x^2*(1-b^2)=1 b=root(x^2-1)/x

x>>0 のとき b=root(x^2-1)/x=1-h と置くと 0<h<<1 h^2=0 と見なせて、

 x^2-1=x^2*(1-2*h) h=1/(2*x^2)=1/(2*Γ^2)

b=1-h と置くと h=1/[2*36*Ten(28)]=1*Ten(-30) 限りなく光速に近い

大気の厚み 30_km=3*Ten(4)_m

 陽子にとっての大気の厚み=3*Ten(4)/[6*Ten(14)]=5*Ten(-11)_m~水素原子の半径

★ 固有長 100_m x系の1点を通り過ぎるのにかかった時間 Δt=(1/3)*Ten(-6)_sec

x系での長さ L=100/Γ(b) Δt=L/(c*b)

 Γ(b)*b=100/[3*Ten(8)*(1/3)*Ten(-6)]=1 Γ(b)=root(1+1)=root2

 b=1/root2=root2/2~0.707

★ 太陽から60光年離れた恒星へ、ロケットが速さ(対光速比) 4/5 で進む 恒星に到着したと同時に太陽が爆発したのを観測できた Γ(4/5)=5/3

任意の慣性系で 太陽の光が届くのにかかる年数 60_年

太陽系で 到着するのにかかる年数 60/(4/5)=75_年 出発してから15年後に太陽が爆発した

ロケット系で 恒星までの距離 60/(5/3)=36_光年 かかった年数 36/(4/5)=45_年

ロケット系で観測した、太陽系で経過した年数 45/(5/3)=27_年 {ややこしいなあ!2014/10}

★ b=(0.999 999 999 7) b=1-e と置くと e=(0.000 000 000 3)

 Γ(b)=1/root(2*e)=1/root[6*Ten(-10)]=Ten(5)/root6~4.08*Ten(4)

 固有長=4080_m L=4080/[4.08*Ten(4)]=0.1_m

★ 速さ(対光速比) b で動く粒子

実験室系での長さ=Ten(-3)_m 粒子系での長さ=Ten(-3)/Γ(b)_m その長さを、粒子系の時間 2.9*Ten(-13)_sec で進みたいから

 c*b=[Ten(-3)/Γ(b)]/[2.9*Ten(-13)]

 Γ(b)*b=Ten(-3)/[2.9*Ten(-13)*2.9979*Ten(8)]~11.5023

 Γ(b)=root(1+11.5023^2)=root(133.3029)~11.5457

 b=11.5023/11.5457~0.996

★ 地球系で L0=25_光年 ロケット系で L=12.5_光年

ロケットの速さ(対光速比) b Γ(b)=25/12.5=2 b^2=3/4 b=root3/2~0.866

地球系で、かかった時間=25/0.866~28.9_年
ロケット系で、かかった時間=12.5/0.866~14.4_年

★ 地球と恒星の距離 20光年 ロケットの速さ b=3/5 Γ(3/5)=5/4

地球系で、恒星に着くのにかかる時間=20/(3/5)=100/3~33.3_年 @

ロケット系で、距離=20/Γ(3/5)=20/(5/4)=16_光年

ロケット系で、恒星に着くのにかかる時間=16/(3/5)=80/3~26.7_年 A

ロケット系で、地球にある時計の経過時間=(80/3)/Γ(3/5)=(80/3)/(5/4)=64/3~21.3_年 B

@ABはなぜ違うのか?

@ 恒星にある時計で計測した 出発と到着は別の時計で計測している
A ロケット内にある時計で計測した 出発と到着は同じ時計で計測している
B 地球にある時計を、ロケット系で別の位置で計測している

ミューオン

◆ ミューオンという粒子が地上に降り注いでいる。以下の事がわかっている。

・宇宙空間の地上10kmほどで生まれる
・下りてくる速さは、光速の 99%
・平均崩壊時間 2*Ten(-6)_sec

 崩壊時間に進む距離=3*10^8*2*Ten(-6)=600_m

地上には降り注がない事になってしまう。なぜか。

■ ミューオンが崩壊する時間 2*Ten(-6)_sec は、地球系で観測すれば、別々の地点で起きる事象であるから、より時間がかかる。〔

光速99%で動いている系の 2*Ten(-6)_sec を、地上で観測すると

 Γ(0.99*c)*2*10^(-6)=7*2*Ten(-6)

 進む距離=3*10^8*2*Ten(-6)*7=600*7=4.2_km

これで、地上まで達する確率が十分大きくなる。

{別解} 10kmというのは、地球系で静止している距離である。ミューオン系では、その距離は動いているから、短く観測される。〔

 10/Γ=10/7=1.4_km となる。地上まで達する確率が十分大きくなる。

★ ミューオンが 2*Ten(-6)_sec で崩壊するものとする。x系で 800m 進んだのを観測された。ミューオンの速さ(対光速比) b を求めよう。 ‖

相対論を考えないと 4*Ten(8)_m/sec 光速 3*Ten(8)_m/sec を超えてしまう。

ミューオンの 2*Ten(-6)_sec は、x系で Γ(b)*2*Ten(-6)_sec

 Γ(b)*2*Ten(-6)*b=800/c

 Γ(b)*b=800/[c*2*Ten(-6)]=4/3

 b^2=(16/9)*(1-b^2) b^2=16/25 b=4/5

★ パイ中間子 平均寿命 2.6*Ten(-8)_sec 速さ(対光速比) b 100km 飛び続けたい

 パイ中間子系での長さ=Ten(5)/Γ(b) [Ten(5)/Γ(b)]/(c*b)=2.6*Ten(-8)

 Γ(b)*b=Ten(5)/[2.9979*Ten(8)*2.6*Ten(-8)]~1.2829*Ten(4)

b=1-e , 0<e<<1 と置くと,

 e=1/{2*[Γ(b)*b]^2}=1/[2*1.2829^2*Ten(8)]~3*Ten(-9)

 Γ(b)=1/root(2*e)=1/root[60*Ten(-10)]=Ten(5)/root(60)~1.29*Ten(4)

 パイ中間子系での長さ=Ten(5)/Γ(b)=Ten(5)/[1.29*Ten(4)]~7.75_m

☆100年でどこまで行けるか☆

◎ 100年間ロケットに乗った。どこまで行けるだろう。どんなに速いロケットでも、100光年先までは行けないのだろうか。特殊相対性理論の効果により、時間がゆっくり進むので、ロケットの中の人は100年で100光年より遠い所まで行ける。

◆ 地球と星の距離 L_光年 ロケットの速さ b=v./c その相対論的効果率 Γ(b)

星に着くまでにかかる時間 地球系で Δt_年 ロケット系で ΔT_年

■ Δt=L/b ΔT=Δt/Γ=L/(Γ*b)〔〕 また L=Γ*b*ΔT〔

{別解} ロケット系で、地球も星も動くから、その距離は短くなって、L/Γ

 ΔT=(L/Γ)/b=L/(Γ*b)

■ Γ*b=1 となるのは b=√2/2~0.7 b>√2/2 で光で進める距離より、遠くまで行ける〔

★ b=4/5 Γ=5/3 Γ*b=4/3

L=100_光年 ならば ΔT=100*3/4~75_年 ΔT=100_年 ならば L=100*4/3~133_光年

100光年先の星まで、ロケット内の時計では75年で行ける。ロケット内の時計で100年で、133光年先まで行ける〔〕{おもしろい!}

■ 太陽から一番近い恒星まで4光年、シリウスまで8.7光年、オリオン座の長方形の左上の赤い星ベテルギウスまで300光年、オリオン星雲まで1600光年、銀河の中心まで3万光年、アンドロメダ星雲まで200万光年、宇宙の果てまで100億光年の距離である。それぞれ、光が届くのに4年かかり、8.7年かかり、…という意味である。

b

Γ

100年で行ける距離

0.8

5/3倍

100*0.8*5/3=133_光年

0.9

2.3倍

100*0.9*2.29=206_光年

0.99

7倍

100*0.99*7.09=702_光年 ベテルギウスまで行き帰りできる 

0.999

22倍

100*0.999*22.3=2230_光年 オリオン星雲まで行ける

0.9999

70倍

100*0.9999*70.7=7070_光年

光の速さの99%で進めば、100年で、300光年先のベテルギウスまで行って帰って来れる。しかし、地上では600年が過ぎ去っているので、もう知っている人はいないだろうし、600年前に出発したことも記録されていないかもしれない。最悪、人間が全然いなくなったり、地球がなくなってしまっていたりするかもしれない。

実際にはどう見えるか

◎ 動いている物体がある。静止している観測者にどのように見えるか。

「系で観測される」と、「観測者に見える」との違い

■「観測者に見える」=「x系のある1点で観測する」

「見える」ためには、起きた出来事を示す光が、その距離に応じた時間がかかって、観測者に届かなくてはならない。光が出た場所から観測者までの距離は、刻々と変化するので、それを考慮に入れないといけない。

■「系で観測される」

その系に、その系で合わせた時計を敷き詰める。運動系で起きる事は、刻々と位置を変えるから、目の前で起きた事を測定する。後で、こういう結果でしたよと、データを合わせる。

■ 単純に物が縮んで見えるわけではない。観測者に届く時間を考慮すると、物が斜めに構えたまま進むように見えることになる。上から見ると、□->の物が、◇->のように見えるという事だ。

■ 自動車が右に進むとしよう。今、ちょうど、車の真ん中が目の前に来たとしよう。普通、車の右側のヘッドランプ(前の角)やテールランプ(後の角)は見え、車の左側のヘッドランプやテールランプは見えない。

ところが、車の速さが光に近づいてくると、変な事が起きる。

車の後の左側のテールランプの光が、観測者に向かっているしよう。普通、その光は車体にぶつかって、こちらには来ない。ところが、車の速度が速くなると、車はどんどん前に行くので、その光は車体にぶつからず、観測車に届くことになる。普通は見えない位置から出た光が、観測車に届くことになる。すなわち、車の後部が見えることになる。全体として、車が斜めに向きを変えたまま、後部を見せるようにして、右に進むように見える。上から見ると、□-> が、◇-> のように見える。

詳しい計算によると、その正方形の大きさは変わらないそうである。向きが変わるだけ!。

■ 動いている物体の長さは短く「観測」される。ただし、短くなるようには「見えない」。向きが変わっているように見えるだけ!

☆地球の重力と同じ大きさで加速する☆

■ 地球の重力、1G(9.8m/ss)で加速し続けて、光の速さに成るのには、何年かかるか。

 1G(9.8m/ss) c=3*10^8 m/s 1年=60*60*24*365秒
 速度=加速度*時間 (相対論の効果を考えていない)

 t=c/[9.8*60*60*24*365]=3*10^8/3*10^8=1

1Gで加速し続ければ、ちょうど1年で光の速さに達する。ただし、この結果は相対論の効果を考えていない。相対論では、速さを単純に足し算で求めることができないからである。

NASAのロケットでの打ち上げ時は、3G〜5Gの加速度がかかっているので、1Gの加速度を出すのは難しくない。ただそれを長時間維持するには、膨大な燃料が必要となるので、現在のような水素と酸素を使ったエンジンでは無理である。また、速さが早くなれば、相対論の効果で質量が増加し、同じ加速を得るのに、より大きな推力が必要になる。

相対論の効果を考慮すると、1年で光速の80%、4年で99.9%、7年で99.9999%、10年で99.9999999%になるそうだ。

 B長さ.距離の短縮 

inserted by FC2 system