☆ 棒は短く見えるのか ☆

◎ 長さの短縮　「見える」と「観測される」の違い

☆ 10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 ;　時間微分 '　積分 $　ベクトル <A>　その単位ベクトル <Au>　座標単位ベクトル <x>,<y>,<z>　内積 *　外積 #

◇ ローレンツ変換 ◇

■【 ローレンツ変換 】

直線上の運動を考える　2つの慣性系 x系、X系　X系はx系の正の方向に、x系はX系の負の方向に、速さ v. で等速直線運動

ある事象(event)が起きた時間と位置を問題にする。
x系で (t,x)　X系で (T,X)_X　と表すことにする。
時間と位置を調整し、時刻 0 で原点は重なるとする。すなわち　(0,0)⇔(0,0)_X

光速 c=3*Ten(8)_m　相対論的効果率 Γ(v./c)=1/root[1-(v./c)^2)]=Γ

一般の時刻と位置の関係は次のようになる(ローレンツ変換)

　t=Γ*(T+v.*X/c^2)　x=Γ*(X+v.*T)

T と X で解きなおすと　T=Γ*(t-v.*x/c^2)　X=Γ*(x-v.*t)

■【 相対論的効果率 】Γ(0.1)=1.005　Γ(0.5)=1.155　Γ(0.1)=2.294

★ v.=1.5*Ten(8)_m　v./c=0.5

ある事象をX系で観測したら　T=1_sec　X=3*Ten(8)_m　であった。
すなわち　(1sec , 3*Ten(8)_m)_X

x系で観測すると、時刻と位置はどうなるか ‖

　t=1.155*(1+1.5*Ten(8)*3*Ten(8)/[3*Ten(8)]^2)=1.733_sec

　x=1.155*[3*Ten(8)+1.5*Ten(8)*1]=5.198*Ten(8)_m

》(1sec , 3*Ten(8)_m)_X ⇔ (1.733_sec , 5.198*Ten(8)_m)

※ 非相対論では

　t=1_sec　x=3*Ten(8)+1.5*Ten(8)*1=4.5*Ten(8)_m

》(1sec , 3*Ten(8)_m)_X ⇔ (1_sec , 4.5*Ten(8)_m)

◇ 動く棒の長さを観測する ◇

◎ 長さ L0 の棒が、その長さの方向に速さ v. で等速直線運動をする。その長さを観測したい。次の２つの方法が考えられる。

方法�@　観測する系の同じ位置で、棒の先頭が通る時刻と、最後尾が通る時刻を観測し、計算して、棒の長さを求める。

方法�A　観測する系の同時刻に、先頭の位置と最後尾の位置を観測する。

観測する系 x系 (t,x)　棒とともに進む系 X系 (T,X)_X

x系で観測される棒の長さ L

方法�@　◆ 事象�@　棒の先頭が時刻 0 に両方の系の原点を通った　(0,0) ⇔ (0,0)_X
事象�A　棒の最後尾がx系の原点を通った　x系で　(t,0)
X系で　T=L0/v.　X=-L0　(L0/v.,-L0)_X

■ 事象�Aのローレンツ変換

　t=Γ*(L0/v.-v.*L0/c^2)=Γ*(L0/v.)*[1-(v./c)^2]=Γ*(L0/v.)/Γ^2=L0/(Γ*v.)

x系の原点で、棒の先頭は時刻 0 に通過し、最後尾は　t=L0/(Γ*v.)　に通過する。

速さ v. で進んで、時間 L0/(Γ*v.) かかるのだから、

　L=v.*[L0/(Γ*v.)]=L0/Γ *_短くなる

方法�A　◆ 事象�@　棒の最後尾が時刻 0 で両方の系の原点を通った　(0,0) ⇔ (0,0)_X

事象�A　棒の先頭の位置をx系の時刻 0 で観測する　(0,L) ⇔ (T,L0)_X

■ 事象�Aのローレンツ変換

　0=Γ*(T+v.*L0/c^2)　L=Γ*(L0+v.*T)

T を消去すると　L=Γ*L0*[1-(v./c)^2]=Γ*L0/Γ^2=L0/Γ *_短くなる

{まとめ}　どちらの方法で考えても、動いている棒は短く観測される事がわかった。ただし、方法�@では、観測する系の同じ位置で、棒の先頭が通る時刻と、最後尾が通る時刻を観測し、計算して、棒の長さを求めた、方法�Aでは、観測する系の同時刻に、先頭の位置と最後尾の位置を観測して、棒の長さを求めた。実際に、一人の人が棒を見て、棒が短く見えるのかとは違う事に注意すべきである。見えるためには、事象が起きた所から観測者まで光が届かなくてはならない。時間がかかる。その時間差を考えると、実際に棒が単純に短く見えるわけではない。

◇ 動く棒はどう見えるか.近づいてくる場合 ◇

◎ 長さ L0 の棒が、その長さの方向に速さ v. で等速直線運動をする。観測者はx系の原点にいて、時刻 0 に棒の先頭が観測者の前を通過しているとする。棒の最後尾は　x=-L0　にあるように見えるだろうか。そこでの情報はまだ観測者に届かない。時刻 0 に観測者に届く情報は、過去の棒の最後尾の位置である。原点からより遠い位置の情報が時刻 0 に観測者に届くのである。したがって、棒は長く見える{!} *_

◆ 観測者 x系　棒とともに進む系 X系　X系の原点に棒の先頭がある　X系で棒の最後尾 X=-L0

事象�@　棒の先頭が時刻 0 に両方の系の原点を通った　(0,0) ⇔ (0,0)_X
事象�A　x系で時刻 0 に観測者に届く、棒の最後尾の位置 -L
　観測者に届くのにかかる時間 t=L/c　(-L/c,-L) ⇔ (T,-L0)_X

■ 事象�Aのローレンツ変換

　-L/c=Γ*(T-v.*L0/c^2)　-L=Γ*(-L0+v.*T)

T を消去して　L=L0*Γ*[1-(v./c)^2]/(1-v./c)=L0*root[(1+v./c)/(1-v./c)]

》L=L0*root[(1+v./c)/(1-v./c)] *_長く見える

▲ L/L0=(長さの短縮の効果)*(時間差の効果)
=(1/Γ)*(1+v./c)=root[(1+v./c)/(1-v./c)]　と考える事もできる

{この件を扱っている資料は見当たらない!2017/8}

★ v./c=0.1　L/L0=root(1.1/0.9)=1.106

★ v./c=0.5　L/L0=root(1.5/0.5)=root3=1.732

★ v./c=0.9　L/L0=root(1.9/0.1)=root(19)=4.359

◇ 動く棒はどう見えるか.遠ざかる場合 ◇

◎ 長さ L0 の棒が、その長さの方向に速さ v. で等速直線運動をする。観測者はx系の原点にいて、時刻 0 に棒の最後尾が観測者の前を通過するとする。棒の先頭は　x=L0　にあるように見えるだろうか。そこでの情報はまだ観測者に届かない。時刻 0 に観測者に届く情報は、過去の棒の先頭の位置である。原点により近い位置の情報が時刻 0 に観測者に届くのである。したがって、棒は短く見える{!} *_

◆ 観測者 x系　棒とともに進む系 X系　X系の原点に棒の最後尾がある　X系で棒の先頭 X=L0

事象�@　棒の最後尾が時刻 0 に両方の系の原点を通った　(0,0) ⇔ (0,0)_X
事象�A　x系で時刻 0 に観測者に届く、棒の先頭の位置 L
　観測者に届くのにかかる時間 t=L/c　(-L/c,L) ⇔ (T,L0)_X

■ 事象�Aのローレンツ変換

　-L/c=Γ*(T+v.*L0/c^2)　L=Γ*(L0+v.*T)

T を消去して　L=L0*Γ*[1-(v./c)^2]/(1+v./c)=L0*root[(1-v./c)/(1+v./c)]

》L=L0*root[(1-v./c)/(1+v./c)] *_短く見える

▲ L/L0=(長さの短縮の効果)*(時間差の効果)
=(1/Γ)*(1-v./c)=root[(1-v./c)/(1+v./c)]　と考える事もできる

{この件を扱っている資料は見当たらない!2017/8}

★ v./c=0.1　L/L0=root(0.9/1.1)=1/1.106=0.904

★ v./c=0.5　L/L0=root(0.5/1.5)=1/root3=1/1.732=0.577

★ v./c=0.9　L/L0=root(0.1/1.9)=1/root(19)=1/4.359=0.229