物理-相対論  2014/8-2013/2  Yuji.W

☆導出-ローレンツ変換☆

「ローレンツ変換」◇v/c=b v./c=b. c*t=tc c*T=Tc x系 <tc x) X系 <Tc X)_X

相対論的効果率 Γ(b.)=1/root(1-b.^2)

b.<<1 で Γ(b.)=1+b.^2/2 Γ(-b.)=Γ(b.) Γ,Γ*b.,1 で直角三角形

◆ 2つの慣性系 x系(t,x,y,z) X系(T,X,Y,Z) 一方の系は他方の系に対して等速直線運動している その速さ v. b.=v./c

・等速直線運動の方向 x軸とX軸 x軸とX軸は重なる y軸とY軸は平行 z軸とZ軸は平行
・X系は、x系のx軸の正の方向に、x系は、X系のX軸の負の方向に動く
・原点同士が交わる時刻 t=T=0

■ ローレンツ変換 <Tc X)_X ⇒ <tc x)=Γ*(<1 b.)*Tc+<b. 1)*X)

〔表記140824〕微分;x 時間微分' ベクトル<> 単位ベクトル<-u> 縦ベクトル<) 内積* 外積# e^(i*x)=expi(x) 10^x=Ten(x) cos(a)=Ca cos(2*x)=C2x sin(b)=Sb tan(x)=Tx

☆ローレンツ変換を導出☆

光速度不変の法則から、ローレンツ変換を導きだそう。

◆静止系<c*t x)_k 運動系<c*T X>_K c の値は、どちらの系でも同じ

 変換則 x=f(v. , X , T) を求めたい。{注}座標同士の相対速度 v.

■X,T は、独立変数だから、x=a(v.)*(X の関数)+b(v.)*(Tの関数)+定数項

次の性質を考えると、

 x1-x2 ∝ X1-X2 時刻 t=0 のとき T=0 & x=X=0

 x=a*X+b*T

静止系の原点 x=0 X=-v.*T だから、

 0=-a*v.*T+b*T=(-a*v.+b)*T b=a*v.

変換式は、x=a*X+a*v.*T=a*(X+v.*T) ガリレオ変換に比例

逆変換は、X=a*(x-v.*t) {ここが、核心!2013/2}

■k系からK系へ変換し、さらに、k系に変換すると、元に戻らなければならない。

事象1 t=T=0 で原点から、光を発射 <0 0)_k <0 0)_K

事象2 光が届いた <c*t x)_k <c*T X)_K

光速度不変の法則より、x=c*t X=c*T だから、

 x=a*(X+v.*T)=a*(X+(v./c)*X)=a*X*[1+(v./c)]

 X=a*(x-v.*t)=a*x*[1-(v./c)]

したがって、

 x=a*{a*x*[1-(v./c)]}*[1+(v./c)]=a^2*x*[1-(v./c)^2]

任意の x について成り立つから、

 a^2=1/[1-(v./c)^2] a=1/root[1-(v./c)^2]

 x=(X+v.*T)/root[1-(v./c)^2] X=(x-v.*t)/root[1-(v./c)^2]

1/root[1-(v./c)^2]=Γ と置けば、

 x=Γ*(X+v.*T) X=Γ*(x-v.*t)

■x-Γ*X-Γ*v.*T=0 X-Γ*x+Γ*v.*t=0

x を消去すると、t=Γ*T+[(Γ^2-1)/(Γ*v.)]*X=Γ*T+[(Γ^2-1)/(Γ*v.)]*X
=Γ*T+[(Γ^2-1)/(Γ*v.)]*X=Γ*T+Γ*(v./c^2)*X

 c*t=Γ*[c*T+(v./c)*X]

{光速度不変の式から、ローレンツ変換の式を導けた。大学の物理演習で解かされた時には、もっと難しい方法でやったような…。その時、解けたので、うれしかった記憶がある。早く帰れたし…!2013/2}

☆ローレンツ変換-線型変換☆

ローレンツ変換は、線型変換である。なぜか。詳しく調べよう。

◆静止系<c*t x)_k 運動系<c*T X>_K c の値は、どちらの系でも同じ

 変換則 x=f(v. , X , T) を求めたい。{注}座標同士の相対速度 v.

●X,T は、独立変数だから、x=a(v.)*(X の関数)+b(v.)*(Tの関数)+定数項

次の性質を考えると、

 x1-x2 ∝ X1-X2 時刻 t=0 のとき T=0 & x=X=0

 x=a*X+b*T

静止系の原点 x=0 X=-v.*T だから、

 0=-a*v.*T+b*T=(-a*v.+b)*T b=a*v.

変換式は、x=a*X+a*v.*T=a*(X+v.*T)

☆ローレンツ変換-線型変換☆

ローレンツ変換は、線型変換である。なぜか。詳しく調べよう。

◆ローレンツ変換 <c*T X)=Γ*[1 -β|-β 1]*<c*t x) を、

 平面上の座標の点の移動 静止系(c*t,x) ⇒ 運動系(c*T,X) と考える。

■横軸を x軸 縦軸を c*t軸とすれば、

 静止系の基底ベクトル <1,0>,<0,1>

 運動系の基底ベクトル <-Γ*β , Γ>,<Γ , -Γ*β>

単位ベクトルに直せば、

 {1/root[1+(v./c)^2]}*<-β , 1> {1/root[1+(v./c)^2]}*<1 , -β>

{注}直交しない

▼v./c=0.6 Γ=5/4 1/root[1+(v./c)^2]=1/root[1.36]~0.86

運動系の基底ベクトル <-0.52 , 0.86> <0.86 , -0.52>

▼v./c=0.8 Γ=5/3 1/root[1+(v./c)^2]=1/root[1.64]~0.78

運動系の基底ベクトル <-0.62 , 0.78> <0.78 , -0.62

ローレンツ変換を導出

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