物理 特殊相対性理論 2018/9-2013/2 Yuji.W
☆ {導出 }ローレンツ変換 ☆
◎ ローレンツ変換の式 導出 ★_
◇
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数
e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
❖ \3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec
〓 {導出}ローレンツ変換 〓
◆ 2つの慣性系 x系、X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <xu>*b.
光が進む現象を考える 光速度不変の原理が成り立つとする
時間(光速倍) tc,Tc x座標 x,X x系で <tc x) X系 <Tc X)_X
● ガリレイ変換 tc=Tc x=X+b.*tc
■ ローレンツ変換 tc=f(b.)*(Tc+b.*X) & x=f(b.)*(X+b.*Tc) であると仮定する
関数 f(b.) は次のような性質を持つ
・ b.=0 のとき f(b.)=1 ガリレイ変換に帰着する
・
f(-b.)=f(b.) b. の方向が変わっても、変化しない
・ どの座標系でも、光速度は一定である
■
X系で、時刻 0 に原点から光を発する ①<0 0)_X
光速で、時間(光速倍) Tc かかり、距離 X
進んだ 光速度不変の原理より X=Tc
②<Tc Tc)_X
x系で、①<0 0) ②<tc x) 光速度不変の原理より x=tc ②<tc tc)
変換の式より、
tc=f(b.)*(Tc+b.*Tc)=f(b.)*Tc*(1+b.)
次に逆変換を考える。x系のX系に対する速度(対光速比)は -b. だから、f(-b.)=f(b.) であることにも注意して、
Tc=f(b.)*tc*(1-b.)
以上の2式より Tc を消去すると、
tc=tc*f(b.)^2*(1+b.)*(1-b.)
f(b.)=1/root(1-b.^2) ★_
一般にこれを 1/root(1-b.^2)=Γ(b.) と表す
ローレンツ変換 tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X x=Γ(b.)*X+Γ(b.)*b.*Tc ★_
{できた!1809}
〓 ローレンツ変換-線型変換 〓
ローレンツ変換は、線型変換である。なぜか。詳しく調べよう。
◆ローレンツ変換 <c*T X)=Γ*[1 -β|-β 1]*<c*t x) を、
平面上の座標の点の移動 静止系(c*t,x) ⇒ 運動系(c*T,X) と考える。
■横軸を x軸 縦軸を c*t軸とすれば、
静止系の基底ベクトル <1,0>,<0,1>
運動系の基底ベクトル <-Γ*β , Γ>,<Γ , -Γ*β>
単位ベクトルに直せば、
{1/root[1+(v./c)^2]}*<-β , 1> {1/root[1+(v./c)^2]}*<1 , -β>
{注}直交しない
▼v./c=0.6 Γ=5/4 1/root[1+(v./c)^2]=1/root[1.36]~0.86
運動系の基底ベクトル <-0.52 , 0.86> <0.86 , -0.52>
▼v./c=0.8 Γ=5/3 1/root[1+(v./c)^2]=1/root[1.64]~0.78
運動系の基底ベクトル <-0.62 , 0.78> <0.78 , -0.62
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