物理 特殊相対性理論 2018/1-2011 Yuji.W

☆ ローレンツ変換

2つの慣性系 互いに等速直線運動 時間と位置の変換 _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>

【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数ee^x=exp(x) 対数 log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位ii^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

【光速】c=@3*Ten(8)_m/sec @3=2.99792458{定義値} (@3)^2=@9

【電磁気.国際単位系】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
【CGS静電単位系】
ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>

[国際単位系B=1_T]⇔[CGS静電単位系Bcgs=10000_G]  電磁気単位 物理定数

〓 時間,事象を表す 〓 .

■【 時間 】

時間 t の代わりに、時間(光速倍) tc を使うと便利なときがある。

次元は [tc]=[時間]*[速さ]=[時間]*[長さ/時間]=[長さ]

★ t=10_sec tc=3*Ten(9)_m  ★ t=10_年 tc=10_光年

■【 事象 】

ある事象(event)が起きた時刻と位置 <t x y z)

時間(光速倍) tc を使って <tc x y z)

y座標z座標は考えなくてすむ場合 <tc x)

〓 ローレンツ変換 〓 .

慣性系 ニュートンの運動方程式が成り立つ座標系 加速度運動をしていないと見なすことのできる座標系

◆ 2つの慣性系 x系、X系 一方の系は他方の系に対して等速直線運動

座標軸の方向と位置、時間を調整し、次のようにすることができる。

@ 系が動く方向 x軸、X軸 x軸とX軸は重なるようにする y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 軸の正負の方向は同じ
A X系はx軸の正の方向に、x系はX軸の負の方向に動く 速さ v. b.=v./c
B 原点が重なる時刻 0

ある事象が起きた時刻と位置 x系で <tc x y z) X系で <Tc X Y Z)

相対論的効果率 Γ(b.)=1/root(1-b.^2)

■ ある1つの事象を、2つの系で観測した値の関係

 x=Γ(b.)*(X+b.*Tc) tc=Γ(b.)*(Tc+b.*X) y=Y z=Z

 X=Γ(b.)*(x-b.*tc) Tc=Γ(b.)*(tc-b.*x)

〓 ローレンツ変換 〓 .

◆ 2つの慣性系 x系、X系

@ x軸とX軸は重なる y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 軸の正負の方向は同じ
A X系はx軸の正の方向に、x系はX軸の負の方向に動く 速さ v. b.=v./c
B 原点が重なる時刻 0

ある事象が起きた時刻と位置 x系で <tc x y z) X系で <Tc X Y Z)

相対論的効果率 Γ(b.)=1/root(1-b.^2)

■ ある1つの事象を、2つの系で観測した値の関係

 x=Γ(b.)*(X+b.*Tc) tc=Γ(b.)*(Tc+b.*X) y=Y z=Z

 X=Γ(b.)*(x-b.*tc) Tc=Γ(b.)*(tc-b.*x)

〓 ローレンツ変換の逆変換 〓 .

■ x系はX系に対して、速さ -v. で動くのだから、

 X=Γ(b.)*(x-b.*tc) Tc=Γ(b.)*(tc-b.*x)

{別解} x=Γ(b.)*(X+b.*Tc) tc=Γ(b.)*(Tc+b.*X) X,Tc の連立方程式として解けばよい。

 x-b.*tc=Γ(b.)*(X+b.*Tc)-Γ(b.)*b.*(Tc+b.*X)

 右辺=Γ(b.)*X*(1-b.^2)=Γ(b.)*X/Γ(b.)^2=X/Γ(b.)

 X=Γ(b.)*(x-b.*tc)

同様に tc-b.*x=Γ(b.)*(Tc+b.*X)-Γ(b.)*b.*(X+b.*Tc)

 右辺=Γ(b.)*Tc*(1-b.^2)=Tc/Γ(b.)

 Tc=Γ(b.)*(tc-b.*x) ‖

〓 ローレンツ変換で元に戻るのか 〓 .

◎ ある1つの事象を、X系で観測した値を、x系に変換した後、X系に変換し直してみる。

 <Tc X) ⇒ <tc x) ⇒ <\Tc \X)

元に戻るだろうか。

■ <tc x) ⇒ <\Tc \X) のとき、x系はX系に対して負の方向に動いていることに注意

 tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X x=Γ(b.)*X+Γ(b.)*b.*Tc

 \Tc
=Γ(b.)*tc-Γ(b.)*b.*x
=Γ(b.)*[Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X]-Γ(b.)*b.*[Γ(b.)*X+Γ(b.)*b.*Tc]
=Γ(b.)^2*Tc*(1-b.^2)
=Tc〔
〕{素晴らしい、元に戻る!2014/10}

 \X
=Γ(b.)*x-Γ(b.)*b.*tc
=Γ(b.)*[Γ(b.)*X+Γ(b.)*b.*Tc]-Γ(b.)*b.*[Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X]
=Γ(b.)^2*X*(1-b.^2)
=X〔
〕{素晴らしい、元に戻る!2014/10}{なんとなく長い間モヤモヤしていた問題だった!この事に触れている資料は見あたらない!2017/3}

〓 ローレンツ変換-線型変換 〓 .

「行列-線型変換」

■ 線型変換=1次変換=線型写像 定数項のない1次式による変換

2次元の場合 (x,y) ⇒ (\x,\y) [A]=[a b|c d]

 \x=a*x+b*y \y=c*x+d*y <\x \y)=[A]*<x y)

定数項がないから、(0,0) ⇒ (0,0)

■ 次のような「線型性」を持つ。

@加法性 [A]*(<x1 y1)+<x2 y2))=[A]*<x1 y1)+[A]*<x2 y2)

A定数倍 [A]*(k*<x y))=k*[A]*<x y)

■ 変換を、点の移動と考えることもできる。

2行2列 [A]=<A1)&<A2) <\x \y)=[A]*<x y)

 移動前 <x y)=x*<xu>+y*<yu>

 移動後 <\x \y)=x*<A1)+y*<A2) 

3行3列 [A]=<A1)&<A2)&<A3) <\x \y \z)=[A]*<x y z)

 移動前 <x y z)=x*<xu)+y*<yu)+z*<zu)

 移動後 <\x \y \z)=x*<A1)+y*<A2)+z*<A3) 

■ 直線は、移動後も直線になる。

■ ローレンツ変換 運動系<T X) ⇒ 静止系<t x)

 x=Γ*(X+v.*T)=(v.だけの関数)*X+(v.だけの関数)*T
 t=Γ*[T+(b.)*(X/c)]=(v.だけの関数)*X+(v.だけの関数)*T だから、

ローれンツ変換は、線型変換(定数項のない1次式による変換)である。

したがって、以下の事が成り立つ。

・(0,0) ⇒ (0,0)

・「線型性」を持つ。

@加法性 [A]*(<x1 y1)+<x2 y2))=[A]*<x1 y1)+[A]*<x2 y2)

A定数倍 [A]*(k*<x y))=k*[A]*<x y)

・変換を、点の移動と考えることもできる。

・変換前の直線は、移動後も直線になる。

{ローレンツ変換と言えば、平面上のグラフがよく出てくるわけが、わかった。!2013/2}

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