物理 特殊相対性理論

2017/7-2015/2 Yuji.W

☆相対論的効果率 Γ(b)

_ 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

{このページのまとめ} Γ(b)=1/root(1-b^2)

『Γ(b)=1/root(1-b^2)』 2017/7

◆ 関数 Γ(b)=1/root(1-b^2) 〔 0<b<1 〕※ |b|<1 でもよい

★ Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

■ 0<b<<1 のとき Γ(b)=1+(1/2)*b^2 Γ(b)*b=b

b~1 b=1-h 0<h<<1 のとき Γ(b)=Γ(b)*b=0.707/root(h)

■ 時間微分 ' Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ Γ(b)^2=1+[Γ(b)*b]^2

■ b(t) の微分方程式 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'=k=一定

 解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

『Γ(b) の公式』 2017/7

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、※ b に物理的な意味はなくてよい

 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b1)=1/root(1-b1^2) Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

☆相対論的効果率☆

■ |b|<1 のとき 関数 Γ(b)=1/root(1-b^2) について考える。

Γ(b) は 相対論的効果率 を表す。ただし、このページでは、物理的な意味は全く考えないで、たんなる関数を考えればよい。なんなら、

 Γ(x)=1/root(1-x^2)〔 |x|<1 〕 と表してもよい。

また Γ(b)*b=b/root(1-b^2) も大事な量になる。

※ Γ(b)=Γ(-b) また Γ(0)=1 だから 0<b<1 として話を進めることが多い。

以下、そうする。

★ Γ(3/5)=1/root(1-9/25)=1/root(16/25)=1/(4/5)=5/4

 Γ(3/5)*(3/5)=(5/4)*(3/5)=3/4

b

0.1

8/17

3/5

√2/2

4/5

√3/2

15/17

0.9

12/13

0.99

0.999

Γ(b)

1.005

17/15

5/4

√2

5/3

2

17/8

2.294

13/5

7.089

22.37

Γ(b)*b

0.1

8/15

3/4

1

4/3

√3

15/8

2.06

12/5

7.02

22.34

☆近似式☆

b<<1 のとき root(1-b^2)=1-(1/2)*b^2

 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1/[1-(1/2)*b^2]=1+(1/2)*b^2

 Γ(b)*b=[1+(1/2)*b^2]*b=b

≫ 0<b<<1 のとき Γ(b)=1+(1/2)*b^2 Γ(b)*b=b _

★ b=0.1 Γ(b)=1+(1/2)*0.01=1.005 Γ(b)*b=b=0.1


b~1 のとき b=1-h 0<h<<1

 1-b^2=1-(1-h)^2=2*h

 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1/root(2*h)~0.707/root(h)

 Γ(b)*b=1/root(2*h)=0.707/root(h)

≫ b~1 b=1-h 0<h<<1 のとき Γ(b)=Γ(b)*b=0.707/root(h) _

★ b=0.999 h=0.001 root(h)=root(10)/100=3.17/100=0.0317

 Γ(b)=Γ(b)*b=0.707/0.0317=22.3

☆不変量☆

■ |b|<1 のとき 関数 Γ(b)=1/root(1-b^2)

 Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1/(1-b^2)-b^2/(1-b^2)=(1-b^2)/(1-b^2)=1

≫ Γ(b)^2=1+[Γ(b)*b]^2 _ローレンツ不変量 ※ b に物理的な意味はなくてよい。常にこの等式が成り立つ。

▲ 2辺 1 , Γ(b)*b 斜辺 Γ(b) の直角三角形

★ If{ Γ(b)=10 }

 [Γ(b)*b]^2=10^2-1=99 Γ(b)*b=root(99)~9.95

 b=[Γ(b)*b]/Γ(b)=9.95/10=0.995

☆Γ(b)の時間微分☆

◆ 時間 t b=b(t) Γ(b)=1/root(1-b^2) 時間微分 '

■ (b^2)'=2*b*b'

 (1-b^2)'=-(b^2)'=-2*b*b'

 [root(1-b^2)]'=(1/2)*[1/root(1-b^2)]*(-2*b*b')=-b*b'/root(1-b^2)

 Γ(b)'
=-[1/(1-b^2)]*[root(1-b^2)]'
=+[1/(1-b^2)]*b*b'/root(1-b^2)
=Γ(b)^3*b*b'

≫ Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' _

■ [Γ(b)*b]'
=Γ(b)'*b+Γ(b)*b'
=Γ(b)^3*b^2*b'+Γ(b)*b'
=Γ(b)*b'*{[Γ(b)*b]^2+1}
=Γ(b)*b'*Γ(b)^2
=Γ(b)^3*b' 
_

{難しそうと思ったが、ひとつひとつていねいに計算すれば、簡単!2015/1}

◇b の微分方程式◇

◆ b=b(t) Γ(b)=1/root(1-b^2)

微分方程式 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'=1 の解 b=t/root(1+t^2)

{確かめ} まず、Γ(b) を求めておこう。

 1-b^2=1-t^2/(1+t^2)=[(1+t^2)-t^2]/(1+t^2)=1/(1+t^2)

 Γ(b)=root(1+t^2) @

b' を求める。

 [root(1+t^2)]'=(1/2)*(2*t)/root(1+t^2)=t/root(1+t^2)

 b'=[root(1+t^2)-t^2/root(1+t^2)]/(1+t^2)

 分子=[(1+t^2)-t^2]/root(1+t^2)=1/root(1+t^2)

 b'=1/[root(1+t^2)]^3 A

@Aより Γ(b)^3*b'=1


◆ b=b(t) Γ(b)=1/root(1-b^2)

微分方程式 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'=k=定数 の解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

{確かめ} まず、Γ(b) を求めておこう。

 1-b^2=1-k^2*t^2/(1+k^2*t^2)=1/(1+k^2*t^2)

 Γ(b)=root(1+k^2*t^2) @

b' を求める。

 [root(1+k^2*t^2)]'=k^2*t/root(1+k^2*t^2)

 b'=[k*root(1+k^2*t^2)-k^3*t^2/root(1+k^2*t^2)]/(1+k^2*t^2)

 分子=k*[(1+k^2*t^2)-k^2*t^2]/root(1+k^2*t^2)=k/root(1+k^2*t^2)

 b'=k/[root(1+k^2*t^2)]^3 A

@Aより Γ(b)^3*b'=k {はい、できました!2012/2,2015/2}

☆Γ(b) の公式

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 1/root(1-b^2)≡Γ(b) 1/root(1-b1^2)≡Γ(b1) 1/root(1-b2^2)≡Γ(b2)

 Γ(b) ? Γ(b)*b ? 

■ 1-b^2
=1-(b1+b2)^2/(1+b1*b2)^2
=[(1+b1*b2)^2-(b1+b2)^2]/(1+b1*b2)^2

 分子
=(1+2*b1*b2+b1^2*b2^2)-(b1^2+2*b1*b2+b2^2)
=1-b1^2-b2^2+b1^2*b2^2
=(1-b1^2)*(1-b2^2)

 1-b^2=(1-b1^2)*(1-b2^2)/(1+b1*b2)^2

|b1|<1 , |b2|<1 より |b1*b2|<1 だから、

 Γ(b)
=1/root(1-b^2)
=(1+b1*b2)/root(1-b1^2)*root(1-b2^2)
=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

≫ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) .

■ Γ(b)*b
=[(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2)]*[(b1+b2)/(1+b1*b2)]
=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

≫ Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2) .

 

☆三角関数の利用☆

■ 0<b<1 b=sin(a)〔0<a<Pi/2〕 とおくことができる。

直角三角形[Γ(b)*b 1 斜辺 Γ(b)] ∽ 直角三角形[sin(a) cos(a) 斜辺 1]

 Γ(b)*cos(a)=1 & Γ(b)*sin(a)=Γ(b)*b

 Γ(b)=1/cos(a) Γ(b)*b=[1/cos(a)]*sin(a)=tan(a)

≫ b=sin(a)〔0<a<Pi/2〕 Γ(b)=1/cos(a) Γ(b)*b=tan(a) _

◇双曲線関数を使う◇

◎ 双曲線関数を使って、Γ(b) , Γ(b)*b を表そう。

「双曲線関数」 2015/4

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

 

 

 

 

 

 

「cosh,sinh」

0

0.5

1

2

3

exp(x)

1

1.65

2.72

7.39

20.09

exp(-x)

1

0.61

0.37

0.14

0.05

cosh(x)

1

1.13

1.54

3.76

10.07

sinh(x)

0

0.52

1.18

3.63

10.02

cosh(x)^2

1

1.28

2.38

14.15

101.36

sinh(x)^2

0

0.27

1.38

13.15

100.36

■ cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)
 cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)

■ sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x) cosh(2*x)=2*cosh(x)^2-1

■ sinh(x)^2=[cosh(2*x)-1]/2 cosh(x)^2=[cosh(2*x)+1]/2

■ sinh(x);=cosh(x) cosh(x);=sinh(x) tanh(x);=1/cosh(x)^2

◆ b=tanh(u) cosh(u)=Γ(b) sinh(u)=Γ(b)*b

「Γ(b) の時間微分」

◆ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ b;u=tanh(u);u=1/cosh(u)^2

 b'=(b;u)*u'=[tanh(u);u]*u'=u'/cosh(u)^2

 u;b=cosh(u)^2

 b'=(b;u)*u'=u'/cosh(u)^2 u'=cosh(u)^2*b'=Γ(b)^2*b'

■ Γ(b);b=cosh(u);b=[cosh(u);u]*(u;b)=sinh(u)*cosh(u)^2=Γ(b)^3

 Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b'

 [Γ(b)*b]'=[sinh(u);u]*u'=cosh(u)*u'=Γ(b)*[Γ(b)^2*b']=Γ(b)^3*b'

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

inserted by FC2 system