物理 特殊相対性理論

2017/6-2015/2 Yuji.W

相対論的効果率 Γ(b)

_ Γ(b)=1/root[1-(v/c)^2] _

【ベクトル】ベクトル <A> 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 # 【微積分】微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ 【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【光速】2.99792458=\c 光速 c=\c*Ten(8)_m/sec{定義値} 【相対論】速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) 質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) <pc> 時間(光速倍) tc

☆相対論的効果率☆

■ 速さ(対光速比) b

 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) _{この表し方はとても便利、お奨め!2015/1}

 Γ(b)*b の量も大事{おいおいわかる!}

※ Γ(b)=Γ(-b) だから 普通 0≦b<1 として話を進めることが多い

b

0.1

8/17

3/5

√2/2

4/5

√3/2

15/17

0.9

12/13

0.99

0.999

Γ(b)

1.005

17/15

5/4

√2

5/3

2

17/8

2.294

13/5

7.089

22.37

Γ(b)*b

0.1

8/15

3/4

1

4/3

√3

15/8

2.06

12/5

7.02

22.34

■【 Γ(b) と Γ(b)*b の関係 】

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b)*b=b/root(1-b^2)

 Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1/(1-b^2)-b^2/(1-b^2)=(1-b^2)/(1-b^2)=1

≫ Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1 _ローレンツ不変量

★ If{ Γ(b)=10 }

 [Γ(b)*b]^2=10^2-1=99 Γ(b)*b=root(99)~9.95

 b=[Γ(b)*b]/Γ(b)=9.95/10=0.995

■【 近似式 】

遅いとき |b|<<1 Γ(b)=1+b^2/2 _

光速に近いとき b~1 b=1-Δb 0<Δb<<1

 Γ(b)=1/root(1-b^2)=1/root(2*Δb)

 (2*Δb)*Γ(b)^2=1 Δb*Γ(b)^2=1/2 _

★ Γ(0.1)=1+0.1^2/2=1.005

★ Γ(0.9)=1/root(2*0.1)=1/root(0.2)~1/0.458~2.18

★ Γ(0.99)=1/root(2*0.01)=1/root(0.02)~1/0.1414~7.07

★ Γ(b)=100 Δb=1/20000=0.00005 b=0.99995

■【 三角関数の利用 】

 |b|<1 だから b=sin(a)〔0<a<Pi/2〕 とおくことができる。すると、

 Γ(b)=1/cos(a) Γ(b)*b=tan(a) _

『相対論的効果率』 2017/2

■ 0≦b<1 Γ(b)=1/root(1-b^2) 

■ Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1 _ローレンツ不変量

■【 近似式 】 遅いとき |b|<<1 Γ(b)=1+b^2/2

光速に近いとき b~1 b=1-Δb 0<Δb<<1 Δb*Γ(b)^2=1/2

★ Γ(0.1)~1.005 Γ(0.9)=2.294 Γ(0.99)=7.089

 Γ(0.995)=10 Γ(0.99995)=100

☆Γ(b)の時間微分☆

◎ 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) ただし、速さ(対光速比) b

b=一定の場合 時間微分 Γ(b)'=0 だが、一般には、Γ(b)'≠0 Γ(b)' を求めよう。

■ Γ(b);b=[(1-b^2)^(-1/2)];b=(-1/2)*[(1-b^2)^(-3/2)]*(-2*b)=Γ(b)^3*b

 Γ(b)'=Γ(b);b*b'=Γ(b)^3*b*b'

 [Γ(b)*b]'
=Γ(b)'*b+Γ(b)*b'
=Γ(b)^3*b^2*b'+Γ(b)*b'
=Γ(b)*b'*{[Γ(b)*b]^2+1}
=Γ(b)*b'*Γ(b)^2
=Γ(b)^3*b'

{難しそうと思ったが、ひとつひとつていねいに計算すれば、簡単!2015/1}

◆ Γ(b)=1/root(1-b^2) b=b(t) ◇ 微分; 時間微分'

■ @ Γ(b);b=Γ(b)^3*b A Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' B [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

◇b の微分方程式◇

◆ b=b(t) Γ(b)=1/root(1-b^2)

微分方程式 [Γ(b)*b]'=1 or Γ(b)^3*b'=1

■ 解 b=t/root(1+t^2)

{確かめ} まず、Γ(b) を求めておこう。

 1-b^2=1-t^2/(1+t^2)=[(1+t^2)-t^2]/(1+t^2)=1/(1+t^2)

 Γ(b)=root(1+t^2) @

b' を求める。

 [root(1+t^2)]'=(1/2)*(2*t)/root(1+t^2)=t/root(1+t^2)

 b'=[root(1+t^2)-t^2/root(1+t^2)]/(1+t^2)

 分子=[(1+t^2)-t^2]/root(1+t^2)=1/root(1+t^2)

 b'=1/[root(1+t^2)]^3 A

@Aより Γ(b)^3*b'=1


◆ b=b(t) Γ(b)=1/root(1-b^2)

微分方程式 [Γ(b)*b]'=k=定数 or Γ(b)^3*b'=k

■ 解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

{確かめ} まず、Γ(b) を求めておこう。

 1-b^2=1-k^2*t^2/(1+k^2*t^2)=1/(1+k^2*t^2)

 Γ(b)=root(1+k^2*t^2) @

b' を求める。

 [root(1+k^2*t^2)]'=k^2*t/root(1+k^2*t^2)

 b'=[k*root(1+k^2*t^2)-k^3*t^2/root(1+k^2*t^2)]/(1+k^2*t^2)

 分子=k*[(1+k^2*t^2)-k^2*t^2]/root(1+k^2*t^2)=k/root(1+k^2*t^2)

 b'=k/[root(1+k^2*t^2)]^3 A

@Aより Γ(b)^3*b'=k {はい、できました!2012/2,2015/2}

『b の微分方程式』 b=b(t) Γ(b)=1/root(1-b^2)

@ [Γ(b)*b]'=1 or Γ(b)^3*b'=1  解 b=t/root(1+t^2)

A [Γ(b)*b]'=k or Γ(b)^3*b'=k  解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

◇双曲線関数を使う◇

◎ 双曲線関数を使って、Γ(b) , Γ(b)*b を表そう。

「双曲線関数」 2015/4

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

 

 

 

 

 

 

 

「cosh,sinh」

0

0.5

1

2

3

exp(x)

1

1.65

2.72

7.39

20.09

exp(-x)

1

0.61

0.37

0.14

0.05

cosh(x)

1

1.13

1.54

3.76

10.07

sinh(x)

0

0.52

1.18

3.63

10.02

cosh(x)^2

1

1.28

2.38

14.15

101.36

sinh(x)^2

0

0.27

1.38

13.15

100.36

■ cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ sinh(a+b)=sinh(a)*cosh(b)+cosh(a)*sinh(b)
 cosh(a+b)=cosh(a)*cosh(b)+sinh(a)*sinh(b)

■ sinh(2*x)=2*sinh(x)*cosh(x) cosh(2*x)=2*cosh(x)^2-1

■ sinh(x)^2=[cosh(2*x)-1]/2 cosh(x)^2=[cosh(2*x)+1]/2

■ sinh(x);=cosh(x) cosh(x);=sinh(x) tanh(x);=1/cosh(x)^2

◆ b=tanh(u) cosh(u)=Γ(b) sinh(u)=Γ(b)*b

「Γ(b) の時間微分」

◆ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

■ Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ b;u=tanh(u);u=1/cosh(u)^2

 b'=(b;u)*u'=[tanh(u);u]*u'=u'/cosh(u)^2

 u;b=cosh(u)^2

 b'=(b;u)*u'=u'/cosh(u)^2 u'=cosh(u)^2*b'=Γ(b)^2*b'

■ Γ(b);b=cosh(u);b=[cosh(u);u]*(u;b)=sinh(u)*cosh(u)^2=Γ(b)^3

 Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b'

 [Γ(b)*b]'=[sinh(u);u]*u'=cosh(u)*u'=Γ(b)*[Γ(b)^2*b']=Γ(b)^3*b'

☆Γ(b) の公式

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 1/root(1-b^2)≡Γ(b) 1/root(1-b1^2)≡Γ(b1) 1/root(1-b2^2)≡Γ(b2)

 Γ(b) ? Γ(b)*b ? 

■ 1-b^2
=1-(b1+b2)^2/(1+b1*b2)^2
=[(1+b1*b2)^2-(b1+b2)^2]/(1+b1*b2)^2

 分子
=(1+2*b1*b2+b1^2*b2^2)-(b1^2+2*b1*b2+b2^2)
=1-b1^2-b2^2+b1^2*b2^2
=(1-b1^2)*(1-b2^2)

 1-b^2=(1-b1^2)*(1-b2^2)/(1+b1*b2)^2

|b1|<1 , |b2|<1 より |b1*b2|<1 だから、

 Γ(b)
=1/root(1-b^2)
=(1+b1*b2)/root(1-b1^2)*root(1-b2^2)
=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

≫ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) .

■ Γ(b)*b
=[(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2)]*[(b1+b2)/(1+b1*b2)]
=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

≫ Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2) .

『Γ(b) の公式』

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b1)=1/root(1-b1^2) Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

● ローレンツ不変量 Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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