お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2013 Yuji.W

電磁場のローレンツ変換

_ 動いている電磁場 ローレンツ変換 _〔物理定数

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

{復習}Γ(b) の公式

『Γ(b) の公式』

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕 b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

 Γ(b)=1/root(1-b^2) Γ(b1)=1/root(1-b1^2) Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2) Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

● ローレンツ不変量 Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1

{復習}定常平面電流が作る電磁場

『定常平面電流が作る電磁場』

◆ z>0 で <\yu>=-<yu> , <\zu>=<zu> z<0 で <\yu>=<yu> , <\zu>=-<zu> <\yu>は<xu>に対して右回り とする。

xy平面上に定常平面電流 x軸方向に電流の速さ(対光速比) b 電荷が静止しているときの電荷面密度 σ0 静止しているときの電場 E0=2Pi*ke*σ0
電流面密度 J @J=J*(電流の厚み)=Γ(b)*b*c*σ0

平面電流が作る電磁場 <E>,<B>

■ <E>=<\zu>*Γ(b)*E0

 c*<B>=<\yu>*E0*Γ(b)*b=<\yu>*2Pi*(ke/c)*@J

国際単位系(SI系)で <B>=<\yu>*(μ0/2)*@J
CGS静電単位系で <Bcgs>=<\yu>*(2Pi/c)*@J

☆定常平面電流のローレンツ変換

◆ xy平面上に平面電荷または平面電流 次の2つの場合を考える。z>0 の領域のみ扱う。

@ 電荷は静止している
A 電荷がx軸方向に等速直線運動 速さ(対光速比) b

@の諸量 電荷密度 ρ0 電荷面密度 σ0=ρ0*(電流の厚み) 電場 E0z

Aの諸量 電荷密度 ρ=Γ(b)*ρ0 電荷面密度 σ=Γ(b)*σ0
電流面密度 Jx=ρ*c*b @Jx=Jx*(電流の厚み)=σ*c*b=σ0*c*Γ(b)*b
電場 Ez 磁場 By

■ 電場 @ E0z=2Pi*ke*σ0 A Ez=2Pi*ke*σ=2Pi*ke*Γ(b)*σ0=E0z*Γ(b)

磁場 @ なし

A By
=-(2Pi*ke/c^2)*@Jx
=-(2Pi*ke/c^2)*[σ0*c*Γ(b)*b]
=-(2Pi*ke*σ0/c)*Γ(b)*b
=-(E0z/c)*Γ(b)*b

 c*By=-E0z*Γ(b)*b

■ まとめると、

 E0z=2Pi*ke*σ0 & B0y=0 ⇒ Ez=E0z*Γ(b) & c*By=-E0z*Γ(b)*b

『定常平面電流のローレンツ変換』

◆ xy平面上に平面電荷または平面電流 z>0 のみ扱う

@ 電荷は静止している 電場 E0z=2Pi*ke*(電荷面密度)
A 電荷がx軸方向に等速直線運動 速さ(対光速比) b 電場 Ez 磁場 By

■ E0z=2Pi*ke*σ0 & 磁場なし ⇒ Ez=E0z*Γ(b) & c*By=-E0z*Γ(b)*b

☆定常平面電流のローレンツ変換

◆ xy平面上に平面電荷または平面電流 電流はx軸方向

次の3つの慣性系で考える。z>0 の領域のみ扱う。

@x系 AX系 x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動 BO系 電流が静止している系

それぞれの系での諸量(電流の速さ、電場、磁場)
@ b Ez By A bK EKz BKy B 電流の速さ 0 E0z 磁場はない

速さの関係 bK=b[-]b.=(b-b.)/(1-b*b.)

■ x系での電磁場 Ez=E0z*Γ(b) c*By=-E0z*Γ(b)*b

X系での電磁場 EKz=E0z*Γ(bK) c*BKy=-E0z*Γ(bK)*bK

ここで Γ(bK)=(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.) Γ(bK)*bK=(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.) だから、

 EKz
=E0z*(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=E0z*Γ(b)*Γ(b.)-E0z*[Γ(b)*b]*[Γ(b.)*b.]
=Γ(b.)*Ez+[Γ(b.)*b.]*c*By

≫ EKz=Γ(b.)*Ez+[Γ(b.)*b.]*c*By

また c*BKy
=-E0z*[Γ(b)*b]*Γ(b.)+E0z*Γ(b)*[Γ(b.)*b.]
=Γ(b.)*c*By+[Γ(b.)*b.]*Ez

≫ c*BKy=[Γ(b.)*b.]*Ez+Γ(b.)*c*By

■ 以上の結果は、定常平面電流の場合である。重ね合わせの原理より、一般の電磁場でも、次のようにまとめることができる。

『電磁場のローレンツ変換』

◆ @x系 AX系 x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動

それぞれの系での電電磁場 @ Ez,By AEKz,BKy

■ EKz=Γ(b.)*Ez+[Γ(b.)*b.]*c*By c*BKy=[Γ(b.)*b.]*Ez+Γ(b.)*c*By

{電磁場のローレンツ変換の一部が導けた!2017/4}

「電磁場のローレンツ変換」2つの慣性系同士の電磁場の相対論的な変換

◇ c*<B>=c*<B> v./c=b. Γ=1/root(1-b.^2)

◆ 2つの慣性系 x系 <E>,c*<B> X系 <EK>,c*<BK>

原点同士が離れる速さ v. X系はx軸の正の方向へ、x系はX軸の負の方向へ

■ <EK>=<Ex , Γ*Ey-Γ*b.*cBz , Γ*Ez+Γ*b.*cBy>

 c*<BK>=<c*Bx , Γ*cBy+Γ*b.*Ez , Γ*cBz-Γ*b.*Ey>

☆定常平面電流のローレンツ変換

◎ 平面電流がxz平面を流れる場合を考える

◆ xz平面上に平面電荷または平面電流 電流はx軸方向

次の3つの慣性系で考える。y>0 の領域のみ扱う。

@x系 AX系 x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動 BO系 電流が静止している系

 

 

 

 

 

それぞれの系での諸量(電流の速さ、電場、磁場)
@ b Ez By A bK EKz BKy B 電流の速さ 0 E0z 磁場はない

速さの関係 bK=b[-]b.=(b-b.)/(1-b*b.)

■ x系での電磁場 Ez=E0z*Γ(b) c*By=-E0z*Γ(b)*b

X系での電磁場 EKz=E0z*Γ(bK) c*BKy=-E0z*Γ(bK)*bK

ここで Γ(bK)=(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.) Γ(bK)*bK=(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.) だから、

 EKz
=E0z*(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=E0z*Γ(b)*Γ(b.)-E0z*[Γ(b)*b]*[Γ(b.)*b.]
=Γ(b.)*Ez+[Γ(b.)*b.]*c*By

≫ EKz=Γ(b.)*Ez+[Γ(b.)*b.]*c*By

また c*BKy
=-E0z*[Γ(b)*b]*Γ(b.)+E0z*Γ(b)*[Γ(b.)*b.]
=Γ(b.)*c*By+[Γ(b.)*b.]*Ez

≫ c*BKy=[Γ(b.)*b.]*Ez+Γ(b.)*c*By

■ 以上の結果は、定常平面電流の場合である。重ね合わせの原理より、一般の電磁場でも、次のようにまとめることができる。

『電磁場のローレンツ変換』

◆ @x系 AX系 x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動

それぞれの系での電電磁場 @ Ez,By AEKz,BKy

■ EKz=Γ(b.)*Ez+[Γ(b.)*b.]*c*By c*BKy=[Γ(b.)*b.]*Ez+Γ(b.)*c*By

{電磁場のローレンツ変換の一部が導けた!2017/4}

「電磁場のローレンツ変換」2つの慣性系同士の電磁場の相対論的な変換

◇ c*<B>=c*<B> v./c=b. Γ=1/root(1-b.^2)

◆ 2つの慣性系 x系 <E>,c*<B> X系 <EK>,c*<BK>

原点同士が離れる速さ v. X系はx軸の正の方向へ、x系はX軸の負の方向へ

■ <EK>=<Ex , Γ*Ey-Γ*b.*cBz , Γ*Ez+Γ*b.*cBy>

 c*<BK>=<c*Bx , Γ*cBy+Γ*b.*Ez , Γ*cBz-Γ*b.*Ey>

☆定常平面電流のローレンツ変換

◆ 平面電荷または平面電流 xy平面上

3つの慣性系
@平面電荷 電荷面密度 σ0
A平面電流 電流の速さ(対光速比) b1 x軸正の方向
B平面電流 電流の速さ(対光速比) b2 x軸正の方向

それぞれの電場と磁場 @<E0>,<B0> A<E1>,<B1> B<E2>,<B2>

z>0 のみで考える

■ 慣性系@で E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 <B0>=0

慣性系Aで E1x=E1y=0 E1z=E0z*Γ(b1)
 B1x=B1z=0 c*B1y=-E0z*Γ(b1)*b1

慣性系Bで E2x=E2y=0 E2z=E0z*Γ(b2)
 B2x=B2z=0 c*B2y=-E0z*Γ(b2)*b2

0 でない量を抜き出すと、

 E1z=E0z*Γ(b1) c*B1y=-E0z*Γ(b1)*b1
 E2z=E0z*Γ(b2) c*B2y=-E0z*Γ(b2)*b2

ここで \b=b2[-]b1 b2=b1[+]\b=(b1+\b)/(1+b1*\b) を導入すると、

  Γ(b2)=(1-b1*\b)*Γ(b1)*Γ(\b) Γ(b2)*b2=(b1+\b)*Γ(b1)*Γ(\b)

⇒ c*B1y=-E0z*Γ(b1)*b1

 

 

Bの@に対する速さ bK=b0[+]b=(b0+b)/(1+b0*b) x軸正の方向

 

■ 慣性系@で E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 <B0>=0

慣性系Aで Ex=Ey=0 Ez=E0z*Γ(b0) Bx=Bz=0 c*By=-E0z*Γ(b0)*b0

慣性系Bで EKx=EKy=0 EKz=E0z*Γ(bK) BKx=BKz=0 c*BKy=-E0z*Γ(bK)*bK

慣性系AとBの電場と磁場を比べて、

 Ex=Ey=EKx=EKy=0 Bx=Bz=BKx=BKz=0

 EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b0) BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b0)*b0]

ここで、相対論的効果率の関係

 Γ(bK)=(1+b0*b)*Γ(b0)*Γ(b) Γ(bK)*bK=(b0+b)*Γ(b0)*Γ(b0) だから、

⇒ EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b0)=(1+b0*b)*Γ(b)

 BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b0)*b0]=b0+b

b0 を消去すると EKz/Ez=[1+(BKy/By-b)*b]*Γ(b)

 EKz/Ez=(1-b^2+b*BKy/By)*Γ(b)

 EKz/Ez=[1/Γ(b)^2+b*BKy/By]*Γ(b)

 Γ(b)*EKz/Ez=1+Γ(b)^2*b*BKy/By

 

 

 

 

ここで 慣性系BのAに対する速さ(対光速比) \b=bK[-]b=(bK-b)/(1-bK*b) を導入すると、

 bK=\b[+]b=(\b+b)/(1+\b*b)

 Γ(bK)=(1+\b*b)*Γ(\b)*Γ(b) Γ(bK)*bK=(\b-b)*Γ(\b)*Γ(b) だから、

 EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b)=(1+\b*b)*Γ(\b)

 BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b)*b]=(\b-b)*Γ(\b)/b

 

 

 

 

 電流面密度 <J>=<xu>*Jx z>0 でのみ考える

電場 <E>=<zu>*2Pi*ke*σ 磁場 <B>=-<yu>*(2Pi*ke/c^2)*Jx

相対論的効果率 Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2]

■ 平面電流 Jx は、面電荷密度 σ の電荷が速さ v で動いていると考える

 Jx=σ*v

電荷と共に進む系(K0系)で 面電荷密度 σ0=σ/Γ(v/c) 電場 <E0> 磁場 <B0>

 <E0>=<zu>*2Pi*ke*σ0

 <B0>=0

■ 電荷と共に進む系(K0系)で 面電荷密度 σ0

 E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 & <B0>=0

電流がx軸正の方向に速さ v で流れる系で

 Ex=Ey=0 Ez=2Pi*ke*σ=2Pi*ke*Γ(v/c)*σ0=E0z*Γ(v/c)

 Bx=Bz=0
 By
=-(2Pi*ke/c^2)*σ*v
=-(2Pi*ke/c^2)*Γ(v/c)*v*σ0
=-(E0z/c)*Γ(v/c)*v/c

 c*By=-E0z*Γ(v/c)*(v/c)

『定常平面電流のベクトルポテンシャル』

◆ xy平面上にある電荷 面電荷密度 σ0 電場 <E0> 磁場 <B0>

定常平面電流 x軸正の方向に速さ v v/c=b 電場 <E> 磁場 <B>

相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

※ z>0 でのみ考える

■ E0x=E0y=0 & E0z=2Pi*ke*σ0 & <B0>=0

 Ex=Ey=0 & Ez=E0z*Γ(b) & Bx=Bz=0 & c*By=-E0z*Γ(b)*b

☆定常平面電流のローレンツ変換

◆ 平面電荷または平面電流 xy平面上

3つの慣性系
@平面電荷 面電荷密度 σ0
A平面電流 電流の速さ(対光速比) b0 x軸正の方向
B平面電流 BのAに対する電流の速さ(対光速比) b x軸正の方向

Bの@に対する速さ bK=b0[+]b=(b0+b)/(1+b0*b) x軸正の方向

それぞれの電場と磁場 @<E0>,<B0> A<E>,<B> B<EK>,<BK>

z>0 のみで考える

■ 慣性系@で E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 <B0>=0

慣性系Aで Ex=Ey=0 Ez=E0z*Γ(b0) Bx=Bz=0 c*By=-E0z*Γ(b0)*b0

慣性系Bで EKx=EKy=0 EKz=E0z*Γ(bK) BKx=BKz=0 c*BKy=-E0z*Γ(bK)*bK

慣性系AとBの電場と磁場を比べて、

 Ex=Ey=EKx=EKy=0 Bx=Bz=BKx=BKz=0

 EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b0) BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b0)*b0]

ここで、相対論的効果率の関係

 Γ(bK)=(1+b0*b)*Γ(b0)*Γ(b) Γ(bK)*bK=(b0+b)*Γ(b0)*Γ(b0) だから、

⇒ EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b0)=(1+b0*b)*Γ(b)

 BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b0)*b0]=b0+b

b0 を消去すると EKz/Ez=[1+(BKy/By-b)*b]*Γ(b)

 EKz/Ez=(1-b^2+b*BKy/By)*Γ(b)

 EKz/Ez=[1/Γ(b)^2+b*BKy/By]*Γ(b)

 Γ(b)*EKz/Ez=1+Γ(b)^2*b*BKy/By

 

 

 

 

ここで 慣性系BのAに対する速さ(対光速比) \b=bK[-]b=(bK-b)/(1-bK*b) を導入すると、

 bK=\b[+]b=(\b+b)/(1+\b*b)

 Γ(bK)=(1+\b*b)*Γ(\b)*Γ(b) Γ(bK)*bK=(\b-b)*Γ(\b)*Γ(b) だから、

 EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b)=(1+\b*b)*Γ(\b)

 BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b)*b]=(\b-b)*Γ(\b)/b

 

 

 

 

 電流面密度 <J>=<xu>*Jx z>0 でのみ考える

電場 <E>=<zu>*2Pi*ke*σ 磁場 <B>=-<yu>*(2Pi*ke/c^2)*Jx

相対論的効果率 Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2]

■ 平面電流 Jx は、面電荷密度 σ の電荷が速さ v で動いていると考える

 Jx=σ*v

電荷と共に進む系(K0系)で 面電荷密度 σ0=σ/Γ(v/c) 電場 <E0> 磁場 <B0>

 <E0>=<zu>*2Pi*ke*σ0

 <B0>=0

■ 電荷と共に進む系(K0系)で 面電荷密度 σ0

 E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 & <B0>=0

電流がx軸正の方向に速さ v で流れる系で

 Ex=Ey=0 Ez=2Pi*ke*σ=2Pi*ke*Γ(v/c)*σ0=E0z*Γ(v/c)

 Bx=Bz=0
 By
=-(2Pi*ke/c^2)*σ*v
=-(2Pi*ke/c^2)*Γ(v/c)*v*σ0
=-(E0z/c)*Γ(v/c)*v/c

 c*By=-E0z*Γ(v/c)*(v/c)

『定常平面電流のベクトルポテンシャル』

◆ xy平面上にある電荷 面電荷密度 σ0 電場 <E0> 磁場 <B0>

定常平面電流 x軸正の方向に速さ v v/c=b 電場 <E> 磁場 <B>

相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

※ z>0 でのみ考える

■ E0x=E0y=0 & E0z=2Pi*ke*σ0 & <B0>=0

 Ex=Ey=0 & Ez=E0z*Γ(b) & Bx=Bz=0 & c*By=-E0z*Γ(b)*b

☆定常平面電流のローレンツ変換

◆ 平面電荷または平面電流 xy平面上

3つの慣性系 @平面電荷 面電荷密度 σ0 A平面電流 電流の速さ(対光速比) b x軸正の方向 B平面電流 電流の速さ(対光速比) bK x軸正の方向

それぞれの電場と磁場 @<E0>,<B0> A<E>,<B> B<EK>,<BK>

z>0 のみで考える

■ 慣性系@で E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 <B0>=0

慣性系Aで Ex=Ey=0 Ez=E0z*Γ(b) Bx=Bz=0 c*By=-E0z*Γ(b)*b

慣性系Bで EKx=EKy=0 EKz=E0z*Γ(bK) BKx=BKz=0 c*BKy=-E0z*Γ(bK)*bK

慣性系AとBの電場と磁場を比べて、

 Ex=Ey=EKx=EKy=0 Bx=Bz=BKx=BKz=0

 EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b) BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b)*b]

ここで 慣性系BのAに対する速さ(対光速比) \b=bK[-]b=(bK-b)/(1-bK*b) を導入すると、

 bK=\b[+]b=(\b+b)/(1+\b*b)

 Γ(bK)=(1+\b*b)*Γ(\b)*Γ(b) Γ(bK)*bK=(\b-b)*Γ(\b)*Γ(b) だから、

 EKz/Ez=Γ(bK)/Γ(b)=(1+\b*b)*Γ(\b)

 BKy/By=[Γ(bK)*bK]/[Γ(b)*b]=(\b-b)*Γ(\b)/b

 

 

 

 

 

 電流面密度 <J>=<xu>*Jx z>0 でのみ考える

電場 <E>=<zu>*2Pi*ke*σ 磁場 <B>=-<yu>*(2Pi*ke/c^2)*Jx

相対論的効果率 Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2]

■ 平面電流 Jx は、面電荷密度 σ の電荷が速さ v で動いていると考える

 Jx=σ*v

電荷と共に進む系(K0系)で 面電荷密度 σ0=σ/Γ(v/c) 電場 <E0> 磁場 <B0>

 <E0>=<zu>*2Pi*ke*σ0

 <B0>=0

■ 電荷と共に進む系(K0系)で 面電荷密度 σ0

 E0x=E0y=0 E0z=2Pi*ke*σ0 & <B0>=0

電流がx軸正の方向に速さ v で流れる系で

 Ex=Ey=0 Ez=2Pi*ke*σ=2Pi*ke*Γ(v/c)*σ0=E0z*Γ(v/c)

 Bx=Bz=0
 By
=-(2Pi*ke/c^2)*σ*v
=-(2Pi*ke/c^2)*Γ(v/c)*v*σ0
=-(E0z/c)*Γ(v/c)*v/c

 c*By=-E0z*Γ(v/c)*(v/c)

『定常平面電流のベクトルポテンシャル』

◆ xy平面上にある電荷 面電荷密度 σ0 電場 <E0> 磁場 <B0>

定常平面電流 x軸正の方向に速さ v v/c=b 電場 <E> 磁場 <B>

相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

※ z>0 でのみ考える

■ E0x=E0y=0 & E0z=2Pi*ke*σ0 & <B0>=0

 Ex=Ey=0 & Ez=E0z*Γ(b) & Bx=Bz=0 & c*By=-E0z*Γ(b)*b

{復習}平行平板コンデンサー

『平行平板コンデンサー』 2016/12

+Q+++++++
      s ↓E ↑V
-Q -----------

◆ 2枚の平行平板導体 電荷 Q,-Q 平板の面積 A 平行平板の間隔 s

■ コンデンサー内の電場 E=4Pi*ke*(Q/A) 電位差 V=4Pi*ke*Q*s/A 静電容量 C=[1/(4Pi*ke)]*A/s

◇動く平行平板コンデンサー◇

◆ 平行平板コンデンサー 間隔 s 平板の面積 A 電荷 Q 電荷面密度 σ=Q/A 電場 E 電位差 V=E*s 静電容量 C=Q/V

■【 平板の方向に速さ(対光速比) b で動く 】Γ(b)=1/root(1-b^2)

変化しない量 s,Q

小さくなる量 面積=A/Γ 静電容量=C/Γ

大きくなる 電荷面密度=Γ*σ 電場=4Pi*ke*Γ*σ _動く方向に垂直方向の電場は強くなる 電位差=Γ*V

■【 平板に垂直な方向に速さ(対光速比) b で動く 】Γ(b)=1/root(1-b^2)

変化しない量 Q,A,σ,E _動く方向の電場は変わらない

小さくなる量 間隔=s/Γ 電位差=V/Γ

大きくなる 静電容量=Γ*C

◇平行平板コンデンサーに電子◇

◎ 「バークレー電磁気」の問題

◆ 水平方向に平行平板コンデンサー 間隔 s=0.8_cm 長さ 4_cm

電位差 V=6000_V 電場 E=6000/0.008=7.5*Ten(5)_V/m

平行平板コンデンサーの中を電子が水平方向にに高速で横切る

電子のエネルギー 750_keV
静止質量(光速の2乗倍) @m=500_keV=8*Ten(-14)_J

速さ(対光速比) bx 水平方向運動量 pcx 通過時間 Δt

垂直方向の力 F 垂直方向の運動量の変化量 pcy 出口での垂直方向の速さ vy 垂直方向の変位量 y

■ Γ(bx)=750/500=1.5 Γ(bx)*bx=root(1.5^2-1)=root(1.25)~1.118

 bx=1.118/1.5~0.745 pcx/@m=Γ(b)*b=1.1

 Δt=4/(c*b)=4/[3*Ten(10)*0.745]=1.8*Ten(-10)_sec

■ F=q*E

 pcy/@m
=c*F*Δt/(c^2*m)
=q*E*Δt/(c*m)
=[1.6*Ten(-19)]*[7.5*Ten(5)]*[1.8*Ten(-10)]/{[3*Ten(8)]*[9.1*Ten(-31)]}
=0.08

bx>>by として

 pcy/@m=Γ(bx)*vy/c

 vy=c*(pcy/@m)/Γ(bx)=[3*Ten(8)]*0.08/1.5=1.6*Ten(7)_m/sec

 y=(1/2)*vy*Δt=(1/2)*[1.6*Ten(7)]*[1.8*Ten(-10)]=1.4*Ten(-3)_m

 vy/vx=[1.6*Ten(7)]/[0.745*3*Ten(8)]=0.07

 arctan(vy/vx)=4_°

{苦労した!おもしろい問題だった!2017/2}

◇動いている電場◇

◆ X系で静止している電荷によって作られた一様な電場 <Yu>*EKy

x系で観測した場合の電場 <yu>*Ey

■ 一様な電場 <Yu>*EKy を作るものとして、平行平板コンデンサーを考える。

xy平面に平行な2枚の平板導体、電荷面密度 σ=EKy/(4Pi*ke)、X系で静止している。電場は、コンデンサー間にだけ生じるとみなす。

x系で観測すると、動いているから、x軸方向に短くなり、電荷面密度は大きくなる。Γ(b.) 倍になる。

 Ey=4Pi*ke*[Γ(b.)*σ]=Γ(b.)*EKy .

▲ z軸方向に一様な電場も同様な事が言える。

◆ X系で静止している一様な電場 <Xu>*EKx
x系で観測すると <xu>*Ex となるとする

■ 一様な電場 <Xu>*EKx を作るものとして、平行平板コンデンサーを考える。

yz平面に平行な2枚の平板導体、電荷面密度 σ=EKx/(4Pi*ke)、X系で静止している

x系で観測すると、X軸方向に短くなるが、コンデンサーの距離が短くなっただけで、電荷面密度や電場には影響を与えない。

 Ex=EKx .

『動いている電場』 2017/1

◆ 2つの慣性系 X系で静止している電荷によって作られた電場 <EKx EKy EKz> x系で観測した電場 <Ex Ey Ez>
■ Ex=EKx Ey=Γ*EKy Ez=Γ*EKz

◇動いている電場の例◇

◆ X系で <E1K>=(<xu>-<zu>)*root2*Pi*σ E1K=2*Pi*σ x系で <E1>

X系で <E2K>=(-<xu>+<zu>)*root2*Pi*σ E2K=2*Pi*σ x系で <E2>

b.=0.6 Γ(0.6)=5/4

■ E1x=E1Kx=root2*Pi*σ E1z=Γ*E1Kz=-(5/4)*root2*Pi*σ

 <E1>=[<xu>-<zu>*(5/4)]*root2*Pi*σ

 E1=root(1+25/16)*root2*Pi*σ=[root(82)/4]*Pi*σ~2.27*Pi*σ

 E1/E1K=2.27/2=1.135

同様に <E2>=[-<xu>+<zu>*(5/4)]*root2*Pi*σ

 E2~2.27*Pi*σ E2/E2K=1.135

◇電磁場のローレンツ変換◇

『電磁場のローレンツ変換』2つの慣性系同士の電磁場の相対論的な変換

◆ 2つの慣性系 x系,X系[原点同士が離れる速さ(対光速比) b. X系がx軸の正の方向へ]

電磁場[x系で <E>,c*<B> X系で <EK>,c*<BK>]

■ <E>=<EKx Γ*EKy+Γ*b.*c*BKz Γ*EKz-Γ*b.*c*BKy>
 c*<B>=<c*BKx Γ*c*BKy-Γ*b.*EKz Γ*c*BKz+Γ*b.*EKy>

 <EK>=<Ex Γ*Ey-Γ*b.*cBz Γ*Ez+Γ*b.*cBy>
 c*<BK>=<c*Bx Γ*cBy+Γ*b.*Ez Γ*cBz-Γ*b.*Ey>

■ x軸を対称軸とする円柱座標単位ベクトル <xu>,<r.u>,<bu> で表すと、

 <E>=(<xu>*EKx+<r.u>*Γ*EKr.)+(<r.u>*c*BKb-<bu>*c*BKr.)*Γ*b.
 c*<B>=(<xu>*c*BKx+<r.u>*Γ*c*BKr.)+(-
<r.u>*EKb+<bu>*EKr.)*Γ*b.

 <EK>=(<xu>*Ex+<r.u>*Γ*Er.)+(-<r.u>*cBb+<bu>*cBr.)*Γ*b.
 c*<BK>=(<xu>*c*Bx+<r.u>*Γ*cBr.)+(
<r.u>*Eb-<bu>*Er.)*Γ*b.

☆4次元電気力学☆

「4次元電気力学」

●スカラー積 aμ*bμ=a0*b0-<a>*<b>

 ∇μ*f=(f'/c,-<grad(f)>) ∇μ*aμ=(a0)'/c+div<a>

 □f=∇μ*∇μ*f=f''/c^2-△f ダランベール演算子

 □<A>=∇μ*∇μ*<A>=<□Ax , □Ay , □Az>

◆相対論的電荷密度 ρ=Γ(v)*ρ0 相対論的電流(面)密度 <j>=Γ(v)*<j0>

 4元電流 jμ=(ρ*c,<j>) 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>)

■<E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<rot<A>>

■Maxwell方程式 □Aμ=(μ0)*jμ

■電荷の保存式 ∇μ*jμ=0

■ローレンツのゲージ ∇μ*Aμ=0

☆電磁場テンソル☆

◎電磁場テンソル=電磁テンソル=マックスウェルテンソル を導入しよう。

「相対論的電磁気」

■<E>=-<grad(φ)>-<A>' <B>=<rot<A>>

 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,Ax,Ay,Az)

 ∇t*f=f'/c ∇x*f=-f;x ∇y*f=-f;y ∇z*f=-f;z 

◆電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇n*Aμ 

■Fμn=-Fnμ Fμμ=∇μ*Aμ-∇μ*Aμ=0 独立した成分は 6個

 Ftx=∇t*Ax-∇x*At=Ax'/c+(φ/c);x=-Ex/c Fty=-Ey Ftz=-Ez

 Fxt=Ex/c Fyt=Ey Fzt=Ez

 Fxy=∇x*Ay-∇y*Ax=-Ay;x+Ax;y=-Bz Fyz=-Bx Fzx=-By

 Fyx=Bz Fzy=Bx Fxz=By

 {Fμn}
=[0 -Ex/c -Ey/c -Ez/c |
 Ex/c 0 -Bz By |
 Ey/c Bz 0  -Bx |
 Ez/c -By Bx 0]

{演算子の定義の符号が違っていたり、c=1 にしたり、本ごとに違うと言っていいぐらい!2013/3}

☆2階4次元反対称ベクトル☆

◎2階4次元反対称ベクトルのローレンツ変換

◆任意の4元ベクトル2つ aμ bμ ローレンツ変換に従う

 任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ

■Gtx_K=at_K*bx_K-ax_K*bt_K
=Γ^2*[at-(v./c)*ax]*[bx-(v./c)*bt]-Γ^2*[ax-(v./c)*at]*[bt-(v./c)*bx]
=Γ^2*{at*bx[1-(v./c)^2]-ax*bt[1-(v./c)^2]}
=(Γ^2/Γ^2)*(at*bx-ax*bt)
=Gtx 
ローレンツ不変量{おみごと!2013/3}

■Gty_K=at_K*by_K-ay_K*bt_K
=Γ*[at-(v./c)*ax]*by-ay*Γ*[bt-(v./c)*bx]
=Γ*[(at*by-ay*bt)-(v./c)*(ax*by-ay*bx)]
=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy] 

 Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz] 

■Gxy_K=ax_K*by_K-ay_K*bx_K
=Γ*[ax-(v./c)*at]*by-ay*Γ*[bx-(v./c)*bt]
=Γ*[(ax*by-ay*bx)-(v./c)*(at*by-ay*bt)]
=Γ*[Gxy-(v./c)*Gty] 

 Gyz_K=Gyz 

 Gzx_K=Γ*[Gzx-(v./c)*Gtz] 

☆電磁場のローレンツ変換☆

◎電磁場のローレンツ変換を、電磁場テンソルを使って、求めよう。

●任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ のローレンツ変換

 Gtx_K=Gtx Gty_K=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy] Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz]

■電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇μ*Aμ をローレンツ変換すると、

 EKx/c=-Ftx_K=-Ftx=Ex/c EKx=Ex 

 EKy/c=-Fty_K=-Γ*[Fty-(v./c)*Fxy]=+Γ*[Ey/c-(v./c)*Bz]
 EKy/c=Γ*[Ey-v.*Bz] 

 EKz/c=-Ftz_K=-Γ*[Ftz-(v./c)*Fxz]=+Γ*[Ez/c+(v./c)*By]
 EKz=+Γ*[Ez+v.*By] 

 BKz=-Fxy_K=-Γ*[Fxy-(v./c)*Fty]=+Γ*[Bz-v.*Ey/c^2]

 BKx=-Fyz_K=-Fyz=Bx

 BKy=-Fzx_K=-Γ*[Fzx-(v./c)*Ftz]=+Γ*[By+v.*Ez/c^2]

{ちゃんとローレンツ変換が求められた!2013/3}

「電磁場のローレンツ変換」

※<v.>#<X>=<0 , -v.*Xz , v.*Xy>

■<E>=Γ*(<EK>-<v.>#<BK>)

 <B>=Γ*(<BK>+<v.>#<EK>/c^2)

■Ex=EKx Ey=Γ*(EKy+v.*BKz) Ez=Γ*(EKz-v.*BKy)

 Bx=BKx By=Γ*(BKy-v.*EKz/c^2) Bz=Γ*(BKz+v.*EKy/c^2)

■<EK>=Γ*(<E>+<v.>#<B>)

 <BK>=Γ*(<B>-<v.>#<E>/c^2)

■EKx=Ex EKy=Γ*(Ey-v.*Bz) EKz=Γ*(Ez+v.*By)

 BKx=Bx BKy=Γ*(By+v.*Ez/c^2) BKz=Γ*(Bz-v.*Ey/c^2)

☆電磁場のローレンツ変換-このページの結論☆

「電磁場のローレンツ変換」2つの慣性系同士の電磁場の相対論的な変換

◇ c*<B>=c*<B> v./c=b. Γ=1/root(1-b.^2)

◆ 2つの慣性系 x系 <E>,c*<B> X系 <EK>,c*<BK>

原点同士が離れる速さ v. X系はx軸の正の方向へ、x系はX軸の負の方向へ

■ <EK>=<Ex , Γ*Ey-Γ*b.*cBz , Γ*Ez+Γ*b.*cBy>

 c*<BK>=<c*Bx , Γ*cBy+Γ*b.*Ez , Γ*cBz-Γ*b.*Ey>

{復習}ローレンツ変換

『ローレンツ変換』◇ 時間(光速倍) tc

◆ 2つの慣性系 x系、X系 一方の系は他方の系に対して等速直線運動

座標軸と時間を次のように定める

@ 系が動く方向 x軸、X軸 x軸とX軸は重なるようにする y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 軸の正負の方向は同じ
A X系はx軸の正の方向に、x系はX軸の負の方向に動く 速さ v. b.=v./c
B 原点が重なる時刻 0

ある事象が起きた時刻と位置 x系で <tc x y z) X系で <Tc X Y Z)

相対論的効果率 Γ(b.)=1/root(1-b.^2)

■ ある1つの事象を、2つの系で観測した値の関係

 x=Γ(b.)*(X+b.*Tc) tc=Γ(b.)*(Tc+b.*X) y=Y z=Z

 X=Γ(b.)*(x-b.*Tc) Tc=Γ(b.)*(Tc-b.*X)

お勉強しようUz〕 物理 電磁気 電磁場のローレンツ変換

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