☆電磁場のローレンツ変換Uz

　物理　電磁気

2017/6-2013　Yuji.W

☆電磁場のローレンツ変換☆

_★ 電磁場　ローレンツ変換　Lorentz ★_

◇ ベクトル <A>　単位ベクトル <-u>　x軸方向単位ベクトル <x>　内積 *　外積 #　◇ 積 *　商 /　微分 ;　時間微分 '　積分 $　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)

◇ 速さ(対光速比) b　運動量(光速倍) pc　質量(光速の2乗倍) @m　時間(光速倍) tc

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)　ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
電磁場 <E>,　磁場(光速倍) <cB>　ベクトルポテンシャル <A>
【CGS静電単位系】ke=1_無次元　<Bcgs>=<cB>　<Acgs>=c*<A>
B=1_T ⇔ Bcgs=Ten(4)_G 〔電磁気の単位　質量やエネルギーの単位　物理定数〕

☆ローレンツ力☆

◆ 慣性系　電場 <E>　磁場(光速倍) <cB>

その系で動く電荷 +q　速度(対光速比) 　電荷が受ける電磁気力 <F>

■ <F>=q*(<E>+#<cB>) ★_

CGS静電単位系　<F>=q*(<E>+#<Bcgs>)

☆ローレンツ力☆

◆ 2つの慣性系 x系,K系　K系のx系に対する速度 <b.>=一定

x系で　<E>=<y>*Ey　<cB>=0　電荷 +q　動く速度(対光速比) <b.>
電磁場から受ける力 <F>

K系で　<EK>=

■ <F>=<y>*q*Ey+#<cB>)

任意のベクトル<A>に対して　<A>の<b.>方向成分 A0
<A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

電場 <E>,<EK>　磁場(光速倍) <cB>,<cBK>

■ E0=E0K　<Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)

cB0=cBK0　<cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>)

※ <b.>#<Av>=<b.>#<A>

※ 一般に <EK>,<E>,<cBK>,<cB> は時間と座標の関数であって、2つの慣性系の時間と座標や電磁場の値は一般に異なる値を持つが、あくまで1つの事象を観測した値である{!}

◆ 慣性系　電場 <E>　磁場(光速倍) <cB>

その系で動く電荷 +q　速度(対光速比) 　電荷が受ける電磁気力 <F>

■ <F>=q*(<E>+#<cB>) ★_

CGS静電単位系　<F>=q*(<E>+#<Bcgs>)

{復習}ベクトルの分解

◆ 任意のベクトル <A>　任意の単位ベクトル

ベクトル<A>の、に垂直な平面への射影ベクトル <Av>

■ <Av>=<A>-*(<A>*)=#(<A>#)

{復習}Γ(b) の公式

『Γ(b) の公式』

◆ 以下の4つの式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

〔|b|<1 , |b1|<1 , |b2|<1〕　b=b1[+]b2=(b1+b2)/(1+b1*b2)

　Γ(b)=1/root(1-b^2)　Γ(b1)=1/root(1-b1^2)　Γ(b2)=1/root(1-b2^2)

■ Γ(b)=(1+b1*b2)*Γ(b1)*Γ(b2)　Γ(b)*b=(b1+b2)*Γ(b1)*Γ(b2)

● ローレンツ不変量　Γ(b)^2-[Γ(b)*b]^2=1

☆動く平面電荷が作る電磁場☆

『動く平面電荷が作る電磁場』

◆ z>0 で <\y>=<y> , <\z>=<z>　z<0 で <\y>=-<y> , <\z>=-<z>

xy平面上に一様な平面電荷　x軸方向に等速直線運動　速さ(対光速比) b　電荷面密度[静止しているとき σ0　動いているとき σ]　動く平面電荷が作る電場 <E>　磁場(光速倍) <cB>

■ <E>=<\z>*2Pi*ke*σ0*Γ(b)　<cB>=-<\y>*2Pi*ke*σ0*Γ(b)*b

☆平面電荷が作る電磁場のローレンツ変換☆

◆ z>0 で <\y>=<y> , <\z>=<z>　z<0 で <\y>=-<y> , <\z>=-<z>

xy平面上に一様な平面電荷　電荷面密度[静止しているとき σ0

次の2つの慣性系で観測する。

① x系　平面電荷はx軸方向に等速直線運動　速さ(対光速比) b
それが作る電磁場 E\z , B\y
② K系　x系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動　平面電荷の動く速さ(対光速比) bK　それが作る電磁場 EK\z , BK\y

■ 速さ(対光速比)の関係は、相対論的な効果を考えて、

　bK=b[-]b.=(b-b.)/(1-b*b.)

　Γ(bK)=(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)　Γ(bK)*bK=(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.)

■ E\z=2Pi*ke*σ0*Γ(b)　&　cB\y=-2Pi*ke*σ0*Γ(b)*b

■ EK\z
=2Pi*ke*σ0*Γ(bK)
=2Pi*ke*σ0*(1-b*b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=2Pi*ke*σ0*Γ(b)*Γ(b.)-2Pi*ke*σ0*[Γ(b)*b]*[Γ(b.)*b.]
=E\z*Γ(b.)+cB\y*Γ(b.)*b. ★_

■ cBK\y
=-2Pi*ke*σ0*Γ(bK)*bK
=-2Pi*ke*σ0*(b-b.)*Γ(b)*Γ(b.)
=-2Pi*ke*σ0*[Γ(b)*b]*Γ(b.)+2Pi*ke*σ0*Γ(b)*[Γ(b.)*b.]
=cB\y+E\z*Γ(b.)*b. ★_

■ まとめて、

　EK\z=E\z*Γ(b.)+cB\y*Γ(b.)*b.　&　cBK\y=cB\y+E\z*Γ(b.)*b.

一般的に、

x系で　<E>=<z>*Ez　&　<cB>=<y>*cBy　のとき、

K系で　<EK>=<z>*[Γ(b.)*Ez+cBy*Γ(b.)*b.]
&　<cBK>=<y>*[cBy+Ez*Γ(b.)*b.] ★_

☆電磁場のローレンツ変換☆

◆ 2つの慣性系 x系,K系　K系はx系に対してx軸方向に速さ b. で等速直線運動

それぞれの系での電磁場 <E>,　<EK>,<BK>

■ <E>=<z>*Ez　&　<cB>=<y>*cBy　のとき、

<EK>=<z>*[Γ(b.)*Ez+cBy*Γ(b.)*b.]
&　<cBK>=<y>*[cBy+Ez*Γ(b.)*b.] ★_

■ <E>=<y>*Ey　&　<cB>=<z>*cBz　のとき、

<EK>=<y>*[Γ(b.)*Ey-cBz*Γ(b.)*b.]
&　<cBK>=<z>*[cBz-Ey*Γ(b.)*b.] ★_

■ <E>=<x>*Ex　&　=0　のとき　<EK>=<x>*Ex　<BK>=0

■ <E>=0　=<x>*Bx　のとき　<EK>=0　<BK>=<x>*Bx

■ 以上をまとめて、電磁場の重ね合わせの原理より、

<EK>=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<0 -cBz cBy>*Γ(b.)*b.

<cBK>=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)+<0 Ez -Ey>*Γ(b.)*b.

■ ベクトルの外積を使えば　<x>#<Ax Ay Az>=<0 -Az Ay>　だから、

<EK>=<x>*Ex+<0 Ey Ez>*Γ(b.)+<x>#<cB>*Γ(b.)*b.

<cBK>=<x>*cBx+<0 cBy cBz>*Γ(b.)-<x>#<E>*Γ(b.)*b.

以上、K系はx系のx軸方向に等速直線運動をするとして立式してきた。一般化して、

K系のx系に対する速度(対光速比) <b.>
<A>の、<b.>方向成分 Au　<A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

EKu=Eu　<EKv>=Γ(b.)*(<Ev>+<b.>#<cBv>)

cBKu=cBu　<cBKv>=Γ(b.)*(<cBv>-<b.>#<Ev>) ★_

■ 逆変換　Eu=EKu　<Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)

cBu=cBKu　<cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>) ★_

『電磁場のローレンツ変換』

◆ 2つの慣性系 x系,K系　K系のx系に対する速度 <b.>=一定

任意のベクトル<A>に対して　<A>の<b.>方向成分 Au
<A>の、<b.>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

電場 <E>,<EK>　磁場(光速倍) <cB>,<cBK>

■ Eu=EKu　cBu=cBKu

<EKv>=Γ(b.)*(<Ev>+<b.>#<cBv>)
　<cBKv>=Γ(b.)*(<cBv>-<b.>#<Ev>)

<Ev>=Γ(b.)*(<EKv>-<b.>#<cBKv>)
　<cBv>=Γ(b.)*(<cBKv>+<b.>#<EKv>)

※ <b.>#<Av>=<b.>#<A>

{まとまって来たなあ!2017/5}

{計算例}電磁場のローレンツ変換

◆ 2つの慣性系　<b.>=<y>*0.6　Γ(0.6)=1.25

E0=3*Ten(6)_V/m　<E>=<cos(30°)　sin(30°)　0>*E0　=0

■ EKy=Ey=E0*sin(30°)

<EK⊥>=Γ(b.)*<E⊥>=<x>*Γ(b.)*E0*cos(30°)

　BK∥=B∥=0

<BK⊥>
=-Γ(b.)*<b.>#<E⊥>
=-Γ(b.)*b.*<y>#<cos(30°) 0 0>*E0
=+<z>*Γ(b.)*b.*E0*cos(30°)

☆電場のみの系のローレンツ変換☆

◎ 磁場がない系をローレンツ変換する

◆ 2つの慣性系 x系,O系　<BO>=0

■ Ex=EKx　Bx=BKx=0

<Eyz>=<EOyz>*Γ(b.)

<x>#<x>=0　だから　x成分を加えても値は変わらないから、

そもそも　Bx=0　だから　<cB>=<cByz>　よって、

<cB>=<b.>#<E> ★_

{この式を証明したいとずーと思っていた!2017/5}

☆磁場のみの系のローレンツ変換☆

◎ 電場がない系をローレンツ変換する

◆ 2つの慣性系 x系,O系　<EO>=0

■ Ex=EOx=0　Bx=BOx

<cByz>=<cBOyz>*Γ(b.)

≫　<E>=-<b.>#<cB> ★_

☆電磁場をなくす☆

◆ 直交する一様な電磁場 <EK>=<y>*EKy , 磁場(光速倍) <cBK>=<z>*cBKz

<E>=0　となるようにしたい

■ Ex=EKx=0

<Eyz>
=Γ(b.)*[<y>*EKy-<x>#<z>*cBKz*b.]
=Γ(b.)*[<y>*EKy+<y>*cBKz*b.

<E>=0　となるようにしたければ　b.=-EKy/cBKz　とすればよい ★_

◆ 直交する一様な電磁場 <EK>=<y>*EKy , 磁場(光速倍) <cBK>=<z>*cBKz

=0　となるようにしたい

■ cBx=cBK=0

<cByz>
=Γ(b.)*[<z>*cBKz+<x>#<y>*EKy*b.]
=Γ(b.)*[<z>*cBKz+<z>*EKy*b.

<cB>=0　となるようにしたければ　b.=-cBKz/EKy　とすればよい ★_

☆電磁場のローレンツ変換のローレンツ変換☆

◎ 2回ローレンツ変換すると、元に戻るのか ?

◆ <E>,　⇒　b.で動く系 <EK>,<BK>　⇒　-b.で動く系 <\E>,<\B>

<\E>=<E> , <\B>= となるのか ?

■ <E>,と<EK>,<BK>

<EKyz>=[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)

<cBKyz>=[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)

<\Eyz>=[<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.]*Γ(b.)

<\cByz>=[<cBKyz>+<x>#<EKyz>*b.]*Γ(b.)

ここで　<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.
=[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)-<x>#[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)*b.
=<Eyz>*Γ(b.)+<x>#(<x>#<Eyz>)*Γ(b.)*b.^2

次の事に注意して、

● <x>#(<x>#<Ax Ay Az>)=<0 -Ay -Az>

<EKyz>-<x>#<cBKyz>*b.
=<Eyz>*Γ(b.)-<Eyz>*Γ(b.)*b.^2
=<Eyz>*(1-b.^2)*Γ(b.)
=<Eyz>/Γ(b.)　だから、

<\Eyz>=[<Eyz>/Γ(b.)]*Γ(b.)=<Eyz> ★_

■ <cBKyz>+<x>#<EKyz>*b.
=[<cByz>-<x>#<Eyz>*b.]*Γ(b.)+<x>#[<Eyz>+<x>#<cByz>*b.]*Γ(b.)*b.
=<cByz>*Γ(b.)+<x>#(<x>#<cByz>)*Γ(b.)*b.^2
=<cByz>*(1-b.^2)*Γ(b.)
=<cByz>/Γ(b.)

<\cByz>=[<cByz>/Γ(b.)]*Γ(b.)=<cByz> ★_

≫　<E>,　⇒　b.で動く系 <EK>,<BK>　⇒　-b.で動く系 <\E>,<\B>

<\E>=<E> , <\B>= ★_

{できた!当たり前なのだろうが、ちゃんとここを説明してくれないと、モヤモヤが残る!2017/5}

☆4次元電気力学☆

「4次元電気力学」

●スカラー積 aμ*bμ=a0*b0-<a>*

∇μ*f=(f'/c,-<grad(f)>)　∇μ*aμ=(a0)'/c+div<a>

　□f=∇μ*∇μ*f=f''/c^2-△f　ダランベール演算子

□<A>=∇μ*∇μ*<A>=<□Ax , □Ay , □Az>

◆相対論的電荷密度 ρ=Γ(v)*ρ0　相対論的電流(面)密度 <j>=Γ(v)*<j0>

4元電流 jμ=(ρ*c,<j>)　4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>)

■<E>=-<grad(φ)>-<A>'　=<rot<A>>

■Maxwell方程式　□Aμ=(μ0)*jμ

■電荷の保存式　∇μ*jμ=0

■ローレンツのゲージ　∇μ*Aμ=0

☆電磁場テンソル☆

◎電磁場テンソル=電磁テンソル=マックスウェルテンソル　を導入しよう。

「相対論的電磁気」

■<E>=-<grad(φ)>-<A>'　=<rot<A>>

　4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,Ax,Ay,Az)

　∇t*f=f'/c　∇x*f=-f;x　∇y*f=-f;y　∇z*f=-f;z ★

◆電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇n*Aμ ★

■Fμn=-Fnμ　Fμμ=∇μ*Aμ-∇μ*Aμ=0　独立した成分は 6個

　Ftx=∇t*Ax-∇x*At=Ax'/c+(φ/c);x=-Ex/c　Fty=-Ey　Ftz=-Ez

　Fxt=Ex/c　Fyt=Ey　Fzt=Ez

　Fxy=∇x*Ay-∇y*Ax=-Ay;x+Ax;y=-Bz　Fyz=-Bx　Fzx=-By

　Fyx=Bz　Fzy=Bx　Fxz=By

　{Fμn}
=[0　-Ex/c　-Ey/c　-Ez/c　|
　Ex/c　0　-Bz　By　|
　Ey/c　Bz　0　　-Bx　|
　Ez/c　-By　Bx　0]

{演算子の定義の符号が違っていたり、c=1 にしたり、本ごとに違うと言っていいぐらい!2013/3}

☆2階4次元反対称ベクトル☆

◎2階4次元反対称ベクトルのローレンツ変換

◆任意の4元ベクトル2つ　aμ　bμ　ローレンツ変換に従う

　任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ

■Gtx_K=at_K*bx_K-ax_K*bt_K
=Γ^2*[at-(v./c)*ax]*[bx-(v./c)*bt]-Γ^2*[ax-(v./c)*at]*[bt-(v./c)*bx]
=Γ^2*{at*bx[1-(v./c)^2]-ax*bt[1-(v./c)^2]}
=(Γ^2/Γ^2)*(at*bx-ax*bt)
=Gtx ★ ローレンツ不変量{おみごと!2013/3}

■Gty_K=at_K*by_K-ay_K*bt_K
=Γ*[at-(v./c)*ax]*by-ay*Γ*[bt-(v./c)*bx]
=Γ*[(at*by-ay*bt)-(v./c)*(ax*by-ay*bx)]
=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy] ★

　Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz] ★

■Gxy_K=ax_K*by_K-ay_K*bx_K
=Γ*[ax-(v./c)*at]*by-ay*Γ*[bx-(v./c)*bt]
=Γ*[(ax*by-ay*bx)-(v./c)*(at*by-ay*bt)]
=Γ*[Gxy-(v./c)*Gty] ★

　Gyz_K=Gyz ★

　Gzx_K=Γ*[Gzx-(v./c)*Gtz] ★

☆電磁場のローレンツ変換☆

◎電磁場のローレンツ変換を、電磁場テンソルを使って、求めよう。

●任意の2階4次元反対称ベクトル Gμn=aμ*bn-an*bμ　のローレンツ変換

　Gtx_K=Gtx　Gty_K=Γ*[Gty-(v./c)*Gxy]　Gtz_K=Γ*[Gtz-(v./c)*Gxz]

■電磁場テンソル Fμn=∇μ*An-∇μ*Aμ　をローレンツ変換すると、

　EKx/c=-Ftx_K=-Ftx=Ex/c　EKx=Ex ★

　EKy/c=-Fty_K=-Γ*[Fty-(v./c)*Fxy]=+Γ*[Ey/c-(v./c)*Bz]
　EKy/c=Γ*[Ey-v.*Bz] ★

　EKz/c=-Ftz_K=-Γ*[Ftz-(v./c)*Fxz]=+Γ*[Ez/c+(v./c)*By]
　EKz=+Γ*[Ez+v.*By] ★

　BKz=-Fxy_K=-Γ*[Fxy-(v./c)*Fty]=+Γ*[Bz-v.*Ey/c^2]

　BKx=-Fyz_K=-Fyz=Bx

　BKy=-Fzx_K=-Γ*[Fzx-(v./c)*Ftz]=+Γ*[By+v.*Ez/c^2]

{ちゃんとローレンツ変換が求められた!2013/3}

「電磁場のローレンツ変換」

※<v.>#<X>=<0　,　-v.*Xz　,　v.*Xy>

■<E>=Γ*(<EK>-<v.>#<BK>)

=Γ*(<BK>+<v.>#<EK>/c^2)

■Ex=EKx　Ey=Γ*(EKy+v.*BKz)　Ez=Γ*(EKz-v.*BKy)

　Bx=BKx　By=Γ*(BKy-v.*EKz/c^2)　Bz=Γ*(BKz+v.*EKy/c^2)

■<EK>=Γ*(<E>+<v.>#)

<BK>=Γ*(-<v.>#<E>/c^2)

■EKx=Ex　EKy=Γ*(Ey-v.*Bz)　EKz=Γ*(Ez+v.*By)

　BKx=Bx　BKy=Γ*(By+v.*Ez/c^2)　BKz=Γ*(Bz-v.*Ey/c^2)

☆お勉強しよう　2017-2011　Yuji.W☆