物理 特殊相対性理論

2015/11-2013/3 Yuji.W

電磁気学の相対論的記述

◎ そもそも電磁気は、相対論と表裏一体である。Maxwell方程式の4つの式を、ひとつに式で表す ダランベール演算子。

〔表記〕 ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分 y;x 2階微分 y;;x 
時間微分 y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分 ${f(x)*dx}[x:a~b]
2^3=8 10^x≡Ten(x) exp(i*x)≡expi(x) 複素共役 z! 〔
物理定数〕- .2015/10/26

☆4次元ベクトル.演算子☆

『特殊相対性理論-4元ベクトル』 2015/11

◇ 静止質量 m m*c^2≡@m 速度(対光速比) <b>

■ 物理量 at それに対応したベクトル <ax,ay,az>

4元ベクトル {aμ}≡{at,<ax,ay,az>}={at,ax,ay,az}

■ 4元ベクトル {aμ}={at,ax,ay,az} {bμ}={bt,bx,by,bz}

4元ベクトルのスカラー積 {aμ}*{bμ}≡at*bt-<a>*<b>

4元ベクトルの2乗 {aμ}*{aμ}≡at^2-ax^2-ay^2-az^2 ローレンツ不変量

({aμ}+{bμ})*({aμ}+{bμ})={aμ}*{aμ}+2*{aμ}*{bμ}+{bμ}*{bμ}

■ 4元座標 {xμ}≡{c*t,x,y,z}

4元速度(対光速比) {bμ}≡Γ(b)*{1,<b>} 4元速度 {uμ}≡Γ(u/c)*{c,<u>}

4元運動量(光速倍) {pcμ}≡@m*{bμ}={E,<pc>}
4元運動量 {pμ}≡m*{bμ}={E/c , <p>}

■ {xμ}*{xμ}=(c*t)^2-(x^2+y^2+z^2)

{bμ}*{bμ}=1 {uμ}*{uμ}=c^2

{pcμ}*{pcμ}=@m^2 {pμ}*{pμ}=m

■ 2つの慣性系 x系,X系

X系は、x系に対してx軸方向に速さ(対光速比) b. で等速直線運動

ある事象における物理量 一方の慣性系で {aμ}={at,ax,ay,az}

他方の慣性系で {Aμ}={At,Ax,Ay,Az}

ローレンツ変換 ax=Γ(b.)*Ax+Γ(b.)*b.*At at=Γ(b.)*At+Γ(b.)*b.*Ax

「4次元ベクトル.演算子」

■ スカラー関数 f 4元ベクトル {aμ}={a0,<a>} {∇μ}≡{;t,-;x,-;y,-;z}

{∇μ}*f={f;t/c , -<grad(f)>) {∇μ}*{aμ}=(a0;t)/c+div<a>

□f={∇μ}*{∇μ}*f=(f;;t)/c^2-△f ダランベール演算子

□<A>={∇μ}*{∇μ}*<A>=<□Ax , □Ay , □Az>

※ファインマンの本では、□を□^2と書いてある。

☆4次元電気力学☆

◎ Maxwell方程式を、4元電流、4元ポテンシャルで表そう。

● Maxwell方程式を、電位φ、ベクトルポテンシャル<A>で表すと、

 △φ-φ''/c^2=-ρ/ε0 △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j>

◆ 電荷の速度 v

 相対論的電荷密度 ρ=Γ(v)*ρ0 相対論的電流(面)密度 <j>=Γ(v)*<j0>

 4元電流 jμ=(ρ*c,<j>) 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>)

● □f=f''/c^2-△f

■ △φ-φ''/c^2=-ρ/ε0

 +φ''/c^2-△φ=+ρ/ε0

 □φ=+ρ/ε0

 □φ/c=+ρ/(ε0*c)=j0/(ε0*c^2)

■ △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j>

 +<A>''/c^2-△<A>=+μ0*<j>

 □<A>=<j>/(ε0*c^2)

■ 2つの式をまとめ、4元電流と4元ポテンシャルを使って表せば

 □Aμ=jμ/(ε0*c^2) ★★★ ※4つの成分がある

■ 電荷の保存式は、∇μ*jμ=0

成分ごとに書くと、ρ'+div<j>=0 ※相対論的電荷密度、相対論的電流

■ ローレンツのゲージ φ'/c^2+div<A>=0 ∇μ*Aμ=0

☆4次元電気力学☆

◎ Maxwell方程式を、4元電流、4元ポテンシャルで表そう。

● Maxwell方程式を、電位φ、ベクトルポテンシャル<A>で表すと、

 △φ-φ''/c^2=-ρ/ε0 △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j>

◆ 電荷の速度 v

 相対論的電荷密度 ρ=Γ(v)*ρ0 相対論的電流(面)密度 <j>=Γ(v)*<j0>

 4元電流 jμ=(ρ*c,<j>) 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>)

● □f=f''/c^2-△f

■ △φ-φ''/c^2=-ρ/ε0

 +φ''/c^2-△φ=+ρ/ε0

 □φ=+ρ/ε0

 □φ/c=+ρ/(ε0*c)=j0/(ε0*c^2)

■ △<A>-<A>''/c^2=-μ0*<j>

 +<A>''/c^2-△<A>=+μ0*<j>

 □<A>=<j>/(ε0*c^2)

■ 2つの式をまとめ、4元電流と4元ポテンシャルを使って表せば

 □Aμ=jμ/(ε0*c^2) ★★★ ※4つの成分がある

■ 電荷の保存式は、∇μ*jμ=0

成分ごとに書くと、ρ'+div<j>=0 ※相対論的電荷密度、相対論的電流

■ ローレンツのゲージ φ'/c^2+div<A>=0 ∇μ*Aμ=0

☆動く電荷による4元ポテンシャル☆

◎ 等速直線運動をする電荷が作るポテンシャルを求めよう

◇ 運動系の物理量は、大文字にするか、_K を付けて、区別する。

● ローレンツ変換 c*t=Γ*[c*T+(v./c)*X] x=Γ*[X+(v./c)*(c*T)]

■ 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>) は、ローレンツ変換に従うから、

 φ/c=Γ*[φ_K/c+(v./c)*A_K>] Ax=Γ*[Ax_K+(v./c)*(φ_K/c)]

■ 電荷 +q が、速さ v. で x軸の正の方向に動く。電荷と共に動く運動系で、

 φ_K=[1/(4Pi*ε0)]*q/R <A>=0

静止系で、R^2=Γ(v.)^2*(x-v.*t)^2+y^2+z^2

 φ=Γ(v.)*φ_K
=[1/(4Pi*ε0)]*q*Γ(v.)/root[Γ(v.)^2*(x-v.*t)^2+y^2+z^2]

 Ax=Γ(v.)*(v./c)*(φ_K/c)]
=φ*v./c^2

※リエナール・ウィーヘルト・ポテンシャルから求めることもできる。

「4次元電気力学」

● スカラー積 aμ*bμ=a0*b0-<a>*<b>

 ∇μ*f=(f',-<grad(f)>) ∇μ*aμ=(a0)'/c+div<a>

 □f=∇μ*∇μ*f=f''/c^2-△f ダランベール演算子

 □<A>=∇μ*∇μ*<A>=<□Ax , □Ay , □Az>

◆ 相対論的電荷密度 ρ=Γ(v)*ρ0 相対論的電流(面)密度 <j>=Γ(v)*<j0>

 4元電流 jμ=(ρ*c,<j>) 4元ポテンシャル Aμ=(φ/c,<A>)

■ Maxwell方程式 □Aμ=μ0*jμ(ε0*c^2) ★★★

■ 電荷の保存式 ∇μ*jμ=0

■ ローレンツのゲージ ∇μ*Aμ=0

  電磁気学の相対論的記述  

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