☆ エネルギーと運動量のローレンツ変換.3次元 ☆

《 uzお勉強しよう　数学　特殊相対性理論 》

〇 相対論的運動量　相対論的エネルギー　2023.8-2015.4　Yuji.W　★　

◇ 2*3=6　Ten(3)=10^3=1000　微分 ;　偏微分 :　積分 $　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <xu>　内積 *　外積 #　　000　

〓　特殊相対性理論.速度の合成.3次元　〓　23.8　

▢ 2つの慣性系 x系,X系　Ｘ系のx系に対する速度(対光速比) <b. 0 0>　

等速直線運動をする粒子の速度(対光速比)　
　X系で <B _X>=<Bx By Bz _X>　x系で <b>=<bx by bz>

経過時間 X系で ΔT , x系で Δt

|h|<1 に対して　相対論的効果率 Γ(h)=1/root(1-h^2)　

▷ <b>=<Bx By Bz _X>[+]<b. 0 0>=<Bx+b.  By/Γ(b.)  Bz/Γ(b.)>/(1+Bx*b.)　

　Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)　Γ(b)*<b>=Γ(B)*<Γ(b.)*(Bx+b.)  By  Bz>　

▷ (経過時間の比)=Δt/ΔT=Γ(b)/Γ(B)　Δt/Γ(b)=ΔT/Γ(B)　固有時間　

〓　相対論的エネルギーと相対論的運動量　〓　

● |h|<1 に対して　Γ(h)=1/root(1-h^2)　Λ(h)=Γ(h)*h=h/root(1-h^2)

▢ 2つの慣性系 x系,X系　Ｘ系のx系に対する速度(対光速比) <b. 0 0>　

1つの粒子　質量(光速の2乗倍) @m
X系で　速度(対光速比) <B _X>=<Bx By Bz _X>　
　エネルギー EK=@m*Γ(B)　
　運動量(光速倍) <pcK>=<pcKx pcKy pcKz>=@m*Γ(B)*<B _X>　

x系で　同様に　<b>=<bx by bz>　E=@m*Γ(b)
　<pc>=<pcx pcy pcz>=@m*Γ(b)*<b>　

▷ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)　であるから、

　E
=@m*Γ(b)
=@m*Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)　
=Γ(b.)*@m*Γ(B)+Γ(b.)*b.*@m*Γ(B)*Bx　
=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcKx　

　E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcKx　★　

▷ <b>=<Bx+b.  By/Γ(b.)  Bz/Γ(b.)>/(1+Bx*b.)

　<pc>
=@m*Γ(b)*<b>　
=@m*[Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)]*<Bx+b.  By/Γ(b.)  Bz/Γ(b.)>/(1+Bx*b.)　
=@m*<Γ(b.)*Γ(B)*(Bx+b.)  Γ(B)*By  Γ(B)*Bz>　

　pcx
=@m*Γ(b.)*Γ(B)*(Bx+b.)
=Γ(b.)*@m*Γ(B)*Bx+Γ(b.)*b.*@m*Γ(B)
=Γ(b.)*pcKx+Λ(b.)*EK　

　pcx=Γ(b.)*pcKx+Λ(b.)*EK　★　

また　pcy=@m*Γ(B)*By=pcKy　★　

同様に　pcz=pcKz　★　

ーーー　まとめ　ーーー　

　E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcKx　<pc>=<Γ(b.)*pcKx+Λ(b.)*EK  pcKy  pcKz>

▲ エネルギーと運動量が4元のローレンツ変換になっている

〓　相対論的エネルギーと相対論的運動量　〓　23.8

● |h|<1 に対して　Γ(h)=1/root(1-h^2)　Λ(h)=Γ(h)*h=h/root(1-h^2)

▢ 2つの慣性系 x系,X系　Ｘ系のx系に対する速度(対光速比) <b. 0 0>　

1つの粒子　質量(光速の2乗倍) @m
X系で　速度(対光速比) <B _X>=<Bx By Bz _X>　
　エネルギー EK=@m*Γ(B)　
　運動量(光速倍) <pcK>=<pcKx pcKy pcKz>=@m*Γ(B)*<B _X>　

x系で　同様に　<b>=<bx by bz>　E=@m*Γ(b)
　<pc>=<pcx pcy pcz>=@m*Γ(b)*<b>　

▷ <b>=<Bx By Bz _X>[+]<b. 0 0>=<Bx+b.  By/Γ(b.)  Bz/Γ(b.)>/(1+Bx*b.)　

　Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)　Γ(b)*<b>=Γ(B)*<Γ(b.)*(Bx+b.)  By  Bz>　

▷ E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcKx　

　<pc>=<Γ(b.)*pcKx+Λ(b.)*EK  pcKy  pcKz>　

〓　{計算例}エネルギーと運動量のローレンツ変換　〓　

▢ 2つの慣性系 x系 , X系　1つの粒子　質量(光速の2乗倍) @m=939.6_MeV　

X系での速度(対光速比) <B>=<0 3/5 0>　

Ｘ系のx系に対する速度(対光速比) <-3/5 0 0>　Γ(-3/5)=5/4

▷ Γ(B)=Γ(3/5)=5/4

　EK=@m*5/4=939.6*5/4=1174.5_MeV　

　<pcK>=@m*Γ(B)*<B>=939.6*(5/4)*<0 3/5 0>=<0 704.7 0>_MeV　

▷ ローレンツ変換して、

　E=EK*Γ(b.)+pcKx*Γ(b.)*b.=@m*(5/4)*(5/4)+0=1468.125_MeV　★　

　pcx
=pcKx*Γ(b.)-EK*Γ(b.)*b.
=0-@m*(5/4)*(5/4)*(3/5)
=-@m*15/16
=-880.875_MeV　★　

　pcy=pcKy=704.7_MeV　★　

　<pcy>=<-880.875  704.7  0>_MeV　★　

▷ {別解}　

　<b>
=<0 3/5 0>[+]<-3/5 0 0>
=<-3/5  (3/5)/(5/4)  0>/[1+0*(-3/5)]　
=<-3/5  12/25  0>

　b^2=(3/5)^2+(12/25)^2=9/25+144/625=(9*25+144)/625=369/625

　1-b^2=256/625　Γ(b)=25/16　

　Γ(b)*<b>=(25/16)*<-3/5  12/25  0>=<-15/16  3/4  0>

　E=@m*Γ(b)=939.6*(25/16)=1468.125_MeV　★　

　<pc>=@m*Γ(b)*<b>=939.6*<-15/16  3/4  0>=<-880.875  704.7  0>_MeV　★　

{特殊相対性理論はよくできている!23.8}

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