物理 殊相対性理論  2017/9-2015/4 Yuji.W

 ☆ エネルギーと運動量のローレンツ変換.2次元 ☆

一平面上を運動する1つの粒子のエネルギーと運動量 2つの慣性系 ローレンツ変換 2次元 3次元 _物理定数

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec @3=2.99792458{定義値} (@3)^2=@9

◇ 速度の合成.2次元 ◇

◆ 1粒子 xy平面上での運動

2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.

粒子の速度(対光速比) X系で <B>=<Bx By> x系で <b>=<bx by>

bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By/[Γ(b.)*(1+Bx*b.)]

 b^2=[B^2+2*Bx*b.+(1-By^2)*b.^2]/(1+Bx*b.)^2

 tc=Tc*Γ(b.)*(1+Bx*b.)

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.)

 bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By*Γ(B)/Γ(b) tc=Tc*Γ(b)/Γ(B)

◇ エネルギーと運動量のローレンツ変換.2次元 ◇

◆ 2つの慣性系 X系,x系 X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.

1粒子xy平面上での運動 質量(光速の2乗倍) @m 粒子の速さ(対光速比) x系 <b>=<bx by> X系 <B>=<Bx By>

それぞれの系でのエネルギー E=@m*Γ(b) EK=@m*Γ(B)

それぞれの系での運動量(光速倍) <pc>=<pcx pcy>=@m*Γ(b)*<bx by>

 <pcK>=<pcKx pcKy>=@m*Γ(B)*<Bx By>

■【 ローレンツ不変量 】

 (E^2-pc^2)/@m^2=Γ(b)^2-Γ(b)^2*b^2=Γ(b)^2*(1-b^2)=1

 E^2-pc^2=@m^2 _ローレンツ不変量

■【 運動量y成分 】

 by=By*Γ(B)/Γ(b)

 Γ(b)*by=Γ(B)*By

@m を掛けて @m*Γ(b)*by=@m*Γ(B)*By

 pcy=pcKy _運動量y成分は変化しない

■【 運動量x成分 】

 Γ(bx)=(1+Bx*b.)*Γ(Bx)*Γ(b.)=Γ(Bx)*Γ(b.)+[Γ(Bx)*Bx]*[Γ(b.)*b.]

 Γ(b)*bx=Γ(b.)*Γ(B)*(b.+Bx)=Γ(b.)*Γ(B)*b.+Γ(b.)*Γ(B)*Bx

@m を掛けて @m*Γ(b)*bx=[Γ(b.)*b.]*[@m*Γ(B)]+Γ(b.)*[@m*Γ(B)*Bx]

 pcx=[Γ(b.)*b.]*EK+Γ(b.)*pcKx=pcKx*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b. _

■【 エネルギー 】

 Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx)=Γ(b.)*Γ(B)+Γ(b.)*Γ(B)*b.*Bx

@m を掛けて @m*Γ(b)=Γ(b.)*[@m*Γ(B)]+Γ(b.)*b.*[@m*Γ(B)*Bx]

 E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcKx _

{ほんと、特殊相対論はよくできている!2015/3}

◇ ローレンツ不変量 ◇

E=EK*Γ(b.)+pcKx*Γ(b.)*b. pcx=pcKx*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b. pcy=pcKy

 E=[EK*Γ(b.)+pcKx*Γ(b.)*b.]^2
=Γ(b.)^2*[EK^2+2*EK*pcKx*b.+pcKx^2*b.^2

 pcx^2=[pcKx*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b.]^2
=Γ(b.)^2*[pcKx^2+2*EK*pcKx*b.+EK^2*b.^2]

 pcy^2=pcKy^2

⇒ E^2-pc^2
=E^2-(pcx^2+pcy^2)
=Γ(b.)^2*[EK^2*(1-b.^2)-pcKx^2*(1-b.^2)]-pcKy^2
=Γ(b.)^2*(1-b.^2)*(EK^2-pcKx^2)-pcKy^2

ここで Γ(b.)^2*(1-b.^2)=1 だから、

 @m^2=E^2-pc^2=EK^2-pcKx^2-pcKy^2=EK^2-pcK^2 _ローレンツ不変量

◇ エネルギーと運動量のローレンツ変換.2次元 ◇

◆ 2つの慣性系 X系,x系 X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.

1粒子xy平面上での運動 質量(光速の2乗倍) @m 粒子の速さ(対光速比) x系 <b>=<bx by> X系 <B>=<Bx By>

それぞれの系でのエネルギー E=@m*Γ(b) EK=@m*Γ(B)

それぞれの系での運動量(光速倍) <pc>=<pcx pcy>=@m*Γ(b)*<bx by>

 <pcK>=<pcKx pcKy>=@m*Γ(B)*<Bx By>

E=EK*Γ(b.)+pcKx*Γ(b.)*b. pcx=pcKx*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b. pcy=pcKy

■ ローレンツ不変量 E^2-pc^2=EK^2-pcK^2=@m^2

◇ {計算例}エネルギーと運動量のローレンツ変換.2次元 ◇

◆ @m=939.6_MeV Bx=0 By=3/5 B=3/5 Γ(3/5)=5/4

 EK=@m*5/4=939.6*5/4=1174.5_MeV

 pcK=pcKy=@m*(5/4)*(3/5)=@m*3/4=939.6*3/5=704.7_MeV

{確かめ} (EK^2-pcK^2)/@m^2=(5/4)^2-(3/4)^2=16/16=1

■ この系に対して速さ(対光速比) <x>*3/5 で動く系x系で、

 E=EK*Γ(b.)+pcKx*Γ(b.)*b.=@m*(5/4)*(5/4)+0=1468.125_MeV _

 E^2/@m^2=(25/16)^2=625/256

 pcx=pcKx*Γ(b.)-EK*Γ(b.)*b.
=0-@m*(5/4)*(5/4)*(3/5)
=-@m*15/16
=-880.875_MeV _

 pcy=pcKy=@m*3/4=704.7_MeV _

 pc^2/@m^2=(pcx^2+pcy^2)/@m^2
=(15/16)^2+(3/4)^2
=225/256+9/16
=369/256 

{確かめ} (E^2-pc^2)/@m^2=625/256-369/256=256/256=1 {よし!}

{おもしろい!2015/3}

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