物理 特殊相対性理論  2017/9-2015/4 Yuji.W

 ☆ エネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元

1次元 エネルギーと運動量のローレンツ変換 ローレンツ不変量 _物理定数

☆ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

☆ 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec @3=2.99792458{定義値} (@3)^2=@9

◇ Γ(b) の公式 ◇

◆ 以下の式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

 b=(b1+b2)/(1+b1*b2) Γ(b)=1/root(1-b^2)〔|b|<1〕

■ Γ(b)=Γ(b1)*Γ(b2)+[Γ(b1)*b1]*[Γ(b2)*b2]

 Γ(b)*b=[Γ(b1)*b1]*Γ(b2)+Γ(b1)*[Γ(b2)*b2]

◇ エネルギーと運動量のローレンツ変換 ◇

■ 公式を b1=B b2=b. と置き換えると

 Γ(b)=(1+B*b.)*Γ(B)*Γ(b.)=Γ(B)*Γ(b.)+[Γ(B)*B]*[Γ(b.)*b.]

& Γ(b)*b=(B+b.)*Γ(B)*Γ(b.)=[Γ(B)*B]*Γ(b.)+Γ(B)*[Γ(b.)*b.]

■ 両辺に @m を掛けると、

 Γ(b)*@m=[Γ(B)*@m]*Γ(b.)+[Γ(B)*B*@m]*[Γ(b.)*b.]

& Γ(b)*b*@m=[Γ(B)*B*@m]*Γ(b.)+[Γ(B)*@m]*[Γ(b.)*b.]

さらに Γ(b)*@m=E Γ(B)*@m=EK Γ(b)*b*@m=pc Γ(B)*B*@m=pcK と定義すれば、

 E=EK*Γ(b.)+pcK*Γ(b.)*b. & pc=pcK*Γ(b.)+EK*[Γ(b.)*b.] _

■ 1粒子の等速直線運動を2つの慣性系 x系,X系 で観測する事を考える。

粒子の質量(光速の2乗倍) @m X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

x系で 粒子の速さ(対光速比) b エネルギー E 運動量(光速倍) pc
X系で 粒子の速さ(対光速比) B エネルギー EK 運動量(光速倍) pcK

速度の合成 b=(B+b.)/(1+B*b.) が成り立つ。

相対論での定義 Γ(b)*@m=E Γ(B)*@m=EK Γ(b)*b*@m=pc Γ(B)*B*@m=pcK

 E=EK*Γ(b.)+pcK*Γ(b.)*b. & pc=pcK*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b. _エネルギーと運動量のローレンツ変換

◇ エネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元 

◆ 1粒子1次元 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

それぞれの系 速さ(対光速比) b,B エネルギー E,EK 運動量(光速倍) pc,pcK

■ 運動量,エネルギーの定義(1次元)より、

 E/@m=Γ(b) pc/@m=Γ(b)*b EK/@m=Γ(B) pcK/@m=Γ(B)*B

速度の合成則を使って、

 E/@m
=(1+B*b.)*Γ(B)*Γ(b.)
=Γ(b.)*Γ(B)+[Γ(b.)*b.]*[Γ(B)*B]
=Γ(b.)*EK/@m+Γ(b.)*b.*pcK/@m

≫ E=EK*Γ(b.)+pcK*Γ(b.)*b. 

また pc/@m
=Γ(b)*b
=(B+b.)*Γ(B)*Γ(b.)
=Γ(b.)*[Γ(B)*B]+[Γ(b.)*b.]*Γ(B)
=Γ(b.)*pcK/@m+Γ(b.)*b.*EK/@m

≫ pc=pcK*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b.

▲ (E,pc) は (tc,x) と同様にローレンツ変換できる 

◇ エネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元 

◆ 1粒子 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系 X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

それぞれの系で粒子の 速さ(対光速比) b,B エネルギー E,EK 運動量(光速倍) pc,pcK

■ E=EK*Γ(b.)+pcK*Γ(b.)*b. & pc=pcK*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b.

◇ 光子のエネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元 

◆ 光子 2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

それぞれの系で エネルギー E,EK 運動量(光速倍) pc,pcK

■ 光子の速さは、どの系でも光速であって E=pc EK=pcK が成り立つ。

 E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*EK=EK*Γ(b.)*(1+b.)

ここで Γ(b.)=1/root(1-b.^2) であるから、

 E=EK*root[(1+b.)/(1-b.)] 光がx軸の正の方向に動いている場合

■ 光がx軸の負の方向に動いている場合 E=-pc EK=-pcK {盲点!}

 E=Γ(b.)*EK-Γ(b.)*b.*EK=EK*Γ(b.)*(1-b.)

ここで Γ(b.)=1/root(1-b.^2) であるから、

 E=EK*root[(1+b.)/(1-b.)]

》E=EK*root[(1-b.)/(1+b.)] _光のドップラー効果 遠ざかる光源から出た光のエネルギー及び運動量は小さくなる

◇ 2粒子の全エネルギー,全運動量のローレンツ変換 

◎ 個々の粒子のエネルギーと運動量はローレンツ変換を満たす。2粒子の全運動量、全エネルギーはローレンツ変換を満たすのか?さらに、全運動量や全エネルギーはローレンツ不変量になり得るのか?

◆ 2粒子1次元 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

質量(光速の2乗倍) @m1,@m2 速さ(対光速比) b1,b2,B1,B2

エネルギー E1,E2,E1K,E2K 運動量(光速倍) pc1,pc2,pc1K,pc2K

 E1+E2≡E E1K+E2K≡EK pc1+pc2≡pc pc1K+pc2K≡pcK

■ それぞれの粒子の運動量とエネルギーにローレンツ変換が成り立つ

 pc1=Γ(b.)*pc1K+Γ(b.)*b.*E1K pc2=Γ(b.)*pc2K+Γ(b.)*b.*E2K

 E1=Γ(b.)*E1K+Γ(b.)*b.*pc1K E2=Γ(b.)*E2K+Γ(b.)*b.*pc2K

合計量は、

 E
=E1+E2
=[Γ(b.)*E1K+Γ(b.)*b.*pc1K]+[Γ(b.)*E2K+Γ(b.)*b.*pc2K]
=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcK

 pc
=pc1+pc2
=[Γ(b.)*pc1K+Γ(b.)*b.*E1K]+[Γ(b.)*pc2K+Γ(b.)*b.*E2K]
=Γ(b.)*(pc1K+pc2K)+Γ(b.)*b.*(E1K+E2K)
=Γ(b.)*pcK+Γ(b.)*b.*EK

▲ 個々の粒子のエネルギーや運動量のみならず、全エネルギーや全運動量が、ローレンツ変換を満たす 


◎ 2粒子の全運動量、全エネルギーはローレンツ不変量になり得るのか?

■ E^2-pc^2
=[Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcK]^2-[Γ(b.)*pcK+Γ(b.)*b.*EK]^2
=Γ(b.)^2*(EK^2-pcK^2)-[Γ(b.)*b.]^2*(EK^2-pcK^2)
={Γ(b.)^2-[Γ(b.)*b.]^2}*(EK^2-pcK^2)
=EK^2-pcK^2

全エネルギーと全運動量もローレンツ不変量になる{!} 

ただし E^2-pc^2≠(@m1+@m2)^2


◎ E1*E2-pc1*pc2 ローレンツ不変量?

■ E1*E2
=Γ(b.)^2*[E1K+b.*pc1K]*[E2K+b.*pc2K]
=Γ(b.)^2*[E1K*E2K+b.*(E1K*pc2K+pc1K*E2K)+b.^2*pc1K*pc2K] @

 pc1*pc2
=Γ(b.)^2*[pc1K+b.*E1K]*[pc2K+b.*E2K]
=Γ(b.)^2*[pc1K*pc2K+b.*(pc1K*E2K+pc2K*E1K)+b.^2*E1K*E2K] A

 @-A
=Γ(b.)^2*(1-b.^2)*(E1K*E2K-pc1K*pc2K)
=E1K*E2K-pc1K*pc2K

≫ E1*E2-pc1*pc2=E1K*E2K-pc1K*pc2K .

{素晴らしい!ここ数年の謎が解明できた。ここに触れている資料は見あたらない!2015/11}

『相対論的運動量,エネルギー.1次元.2粒子』 2016/3

◆ 2粒子 1次元 直線上の運動 2つの慣性系 x系、X系

■ 個々の粒子のエネルギーと運動量、および、全エネルギーと全運動量はローレンツ変換を満たす

■ 次の量は、ローレンツ不変量である

@ 個々の粒子で E1^2-pc1^2=@m1^2 & E2^2-pc2^2=@m2^2

A 全エネルギーと全運動量 (E1+E2)^2-(pc1+pc2)^2

B E1*E2-pc1*pc2

※ Aのローレンツ不変量≠(@m1+@m2)^2

◇ 1次元運動.2つの慣性系 

「1次元の運動-相対論」 2015/4 ◇ 質量(光速の2乗倍) m 運動量(光速倍) p

■ 1粒子1次元運動方程式 F=(m/c)*Γ(b)^3*b'

■ E'/p'=b

◆ 1粒子1次元運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系のx軸方向に対する速さ(対光速比) b.=一定

粒子の位置 x系で <tc x) X系で <Tc X)_X

ローレンツ変換 x=Γ(b.)*X+Γ(b.)*b.*Tc tc=Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X
 X=Γ(b.)*x-Γ(b.)*b.*tc Tc=Γ(b.)*tc-Γ(b.)*b.*x

粒子の速さ(対光速比) x系で b X系で B dx/dt=b*c dX/dT=B*c

 b=B[+]b.=(B+b.)/(1+B*b.)

 Γ(b)=Γ(B)*Γ(b.)*(1+B*b.) Γ(b)*b=Γ(B)*Γ(b.)*(B+b.)

 Γ(B)=Γ(b)*Γ(b.)*(1-b*b.) Γ(B)*B=Γ(b)*Γ(b.)*(b-b.)

 Γ(b.)^2*(1-b*b.)*(1+B*b.)=1

それぞれの系で エネルギー E , EK 運動量(光速倍) p , pK

 E/m=Γ(b) p/m=Γ(b)*<b> EK/m=Γ(B) pK/m=Γ(B)*B

 E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pK p=Γ(b.)*pK+Γ(b.)*b.*EK

 EK=Γ(b.)*E-Γ(b.)*b.*p pK=Γ(b.)*p-Γ(b.)*b.*E

それぞれの系での時間微分 dx/dt=x'=b*c dX/dT=X'=B*c

■ 時間の微分 dt/dT
=dtc/dTc
=d[Γ(b.)*Tc+Γ(b.)*b.*X]/dTc
=Γ(b.)+Γ(b.)*b.*dX/dTc
=Γ(b.)+Γ(b.)*b.*B
=Γ(b.)*(1+B*b.)

 dt/dT=dtc/dTc=Γ(b.)*(1+B*b.) dT/dt=dTc/dtc=Γ(b.)*(1-b*b.) .

{確かめ} (dt/dT)*(dT/dt)
=[Γ(b.)*(1-b*b.)]*[Γ(b.)*(1+B*b.)]
=Γ(b.)^2*(1-b*b.)*(1+B*b.)
=1

■ 運動量のローレンツ変換式を時間微分すると、

 pK'
=d(pK)/dT
=[d(pK)/dt]*(dt/dT)
=[Γ(b.)*p'-Γ(b.)*b.*E']*Γ(b.)*(1+B*b.)
=[Γ(b.)*p'-Γ(b.)*b.*p'*b]*Γ(b.)*(1+B*b.)
=(1-b*b.)*p'*Γ(b.)*(1+B*b.)

 pK'/p'=(1-b*b.)*Γ(b.)^2*(1+B*b.)

ここで、Γ(b)の公式 Γ(b.)^2*(1-b*b.)*(1+B*b.)=1 を使うと、

 pK'/p'=1 FK/F=1 .1次元運動では、力は変化しない

■ 運動方程式より b'=c*F/[m*Γ(b)^3] B'=c*F/[m*Γ(B)^3]

 b'/B'=Γ(B)^3/Γ(b)^3=[Γ(B)/Γ(b)]^3=1/[Γ(b.)*(1+B*b.)]^3 .

{別解} b'=db/dt=(db/dT)/(dt/dT)

 db/dT={[d(B+b.)/dT]*(1+B*b.)-(B+b.)*[d(1+B*b.)/dT]}/(1+B*b.)^2

 分子=B'*(1+B*b.)-(B+b.)*B'*b.=B'*(1-b.^2)=B'/Γ(b.)^2

 db/dT=B'/[Γ(b.)*(1+B*b.)]^2

また dt/dT=Γ(b.)*(1+B*b.) だから、

 b'=B'/[Γ(b.)*(1+B*b.)]^3

▲ B=0 のとき b=b. b'/B'=1/Γ(b)^3 .

粒子が静止している系(瞬間的ではあるが)での加速度が最も小さい .

『1粒子1次元運動、2つの慣性系』 2016/3

◆ 1粒子1次元運動 2つの慣性系 x系、X系

X系のx系のx軸方向に対する速さ(対光速比) b.=一定

粒子の位置 x系で <tc x) X系で <Tc X)_X

■【 時間微分 】dt/dT=Γ(b.)*(1+B*b.) dT/dt=Γ(b.)*(1-b*b.)

■【 運動量の変化量、力 】pK'/p'=1 FK/F=1

■【 加速度 】b'/B'=1/[Γ(b.)*(1+B*b.)]^3

B=0 のとき b=b. b'/B'=1/Γ(b)^3

◇ 計算例-エネルギーと運動量のローレンツ変換-1次元 

★ m=0.511_MeV b=3/5 Γ(3/5)=5/4

 EK=0.511*(5/4)~0.639_MeV pK=0.639*(3/5)~0.383_MeV

この系に対して、b.=4/5 で動く系

で、b.=4/5 Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

ローレンツ変換して E=(5/3)*0.639-(4/3)*0.383~1.065-0.511=0.554_MeV

 p=(5/3)*0.383-(4/3)*0.639~0.638-0.852=-0.214_MeV

{別解} 元の系に対する粒子の速さ
=(3/5-4/5)/[1-(3/5)*(4/5)]=-(1/5)/(13/25)=-5/13 Γ(5/13)=13/12

 E=0.511*(13/12)~0.554_MeV p=0.554*(-5/13)~-0.213_MeV

★ m=938.3_MeV b=-4/5 Γ(4/5)=5/3

 EK=938.3*(5/3)~1564_MeV pK=1564*(-4/5)~-1251_MeV

この系に対して、b.=3/5 で動く系で、b.=3/5 Γ(3/5)=5/4 Γ(3/5)*(3/5)=3/4

ローレンツ変換して E=(5/4)*1564-(3/4)*(-1251)~1955+938=2893_MeV

 p=(5/4)*(-1251)-(3/4)*1564~-1564-1173=-2737_MeV

{符号について悩んだ!2015/3}

{別解} 元の系に対する粒子の速さ
=(-4/5-3/5)/[1+(4/5)*(3/5)]=-(7/5)/(37/25)=-35/37 Γ(35/37)=37/12

 E=938.3*(37/12)~2893_MeV p=2893*(-35/37)~-2737_MeV

|Λ|
<-p Pi-->

1115.7
943.7,938.3 172,139.6

  p2G=root(172^2-139.6^2)=root(311.6*32.4)~100.5_MeV

 b2G=100.5/172~0.584

実験室系で、Λ が 右向きに速さ 4/5 で動いていたとする。実験室系は、運動量0系に対して、b.=-4/5 で動くと考えればよいから Γ(4/5)=5/3 Γ(4/5)*(4/5)=4/3

 E2=(5/3)*172+(4/3)*100.5~287+134=421_MeV

 p2=(5/3)*100.5+(4/3)*172~167.5+229~397_MeV

 b2=397/421~0.943

{確かめ} b2=(0.584+0.8)/(1+0.584*0.8)=1.384/1.4672~0.943

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