物理　特殊相対性理論　2019.6-2015.4　Yuji.W

☆ エネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元 ☆

◎ 1次元　エネルギーと運動量のローレンツ変換　ローレンツ不変量　★　〔物理定数　定数.宇宙　力学の単位　電磁気の単位〕

〓　Γ(b) の公式　〓

◆ 以下の式が成り立つとき、(式に物理的な意味がなくてよい)

　b=(b1+b2)/(1+b1*b2)　Γ(b)=1/root(1-b^2)〔|b|<1〕　Λ(b)=Γ(b)*b

■ Γ(b)=Γ(b1)*Γ(b2)+Λ(b1)*Λ(b2)

　Λ(b)=Λ(b1)*Γ(b2)+Γ(b1)*Λ(b2)

〓　エネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元　〓　⏰19.6

◆ 2つの慣性系 x系,X系　X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

粒子の質量(光速の2乗倍) @m

x系で　速さ(対光速比) b　エネルギー E　運動量(光速倍) pc
X系で同様に　bK　EK　pcK　

■ 定義より　E=@m*Γ(b)　pc=@m*Λ(b)=@m*Γ(b)*b=E*b
同様に　EK=@m*Γ(bK)　pcK=@m*Λ(bK)=EK*bK

速さの関係　b=bK[+]b.=(bK+b.)/(1+bK*b.)
　Γ(b)=Γ(bK)*Γ(b.)+Λ(bK)*Λ(b.)
　Λ(b)=Λ(bK)*Γ(b.)+Γ(bK)*Λ(b.)

　E
=@m*Γ(b)
=@m*Γ(bK)*Γ(b.)+@m*Λ(bK)*Λ(b.)
=EK*Γ(b.)+pcK*Λ(b.)
=EK*Γ(b.)+EK*bK*Λ(b.)
=EK*Γ(b.)+EK*bK*Γ(b.)*b.
=EK*Γ(b.)*(1+bK*b.)

　pc
=@m*Λ(b)
=@m*Λ(bK)*Γ(b.)+@m*Γ(bK)*Λ(b.)
=pcK*Γ(b.)+EK*Λ(b.)

{別解}　pc
=E*b
=[EK*Γ(b.)*(1+bK*b.)]*[(bK+b.)/(1+bK*b.)]
=EK*Γ(b.)*(bK+b.)

》　E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcK=EK*Γ(b.)*(1+bK*b.)

　pc=Γ(b.)*pcK+Λ(b.)*EK=EK*Γ(b.)*(bK+b.)　★　

♡ エネルギーと運動量(光速倍)を次のように定義した時点で、ローレンツ変換が成り立ってしまう{!}

　E=@m*Γ(b)　pc=@m*Λ(b)=E*b

〓　エネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元　〓　⏰19.6

◆ 2つの慣性系 x系,X系　X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

粒子の質量(光速の2乗倍) @m

x系で　速さ(対光速比) b　エネルギー E　運動量(光速倍) pc
X系で同様に　bK　EK　pcK　

■ E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pcK=EK*Γ(b.)*(1+bK*b.)

　pc=Γ(b.)*pcK+Λ(b.)*EK=EK*Γ(b.)*(bK+b.)

〓　粒子系.1次元　〓

◆ 1粒子　質量(光速の2乗倍) @m　慣性系 x系　粒子の速さ(対光速比) b
※ b は一定でなくてよい　粒子と共に進む系 O系

速さ(対光速比)、エネルギー、運動量(光速倍)
x系で b , E , pc　O系で 0 , EO=@m , pcO=0　

■ O系は慣性系ではないが、観測時刻だけは慣性系であるとみなして、

　E=@m*Γ(b)　&　pc=@m*Λ(b)　★　

〓　同質量2粒子の直線上の運動　〓　⏰19.6

◆ 同質量2粒子�@�Aの直線上の運動　質量(光速の2乗倍) @m

全運動量0系で
粒子�@の速さ(対光速比)とエネルギーと運動量(光速倍) bG=0.5　EG　pcG
粒子�Aの速さ(対光速比)とエネルギーと運動量(光速倍) -bG　EG　-pcG

粒子�Aと共に動く系(実験室系)で　粒子�@の諸量 b,E,pc

Γ(0.5)~1.155　Λ(0.5)~0.577

■ EG=@m*Γ(0.5)~1.155*@m　pcG=@m*Λ(0.5)~0.577*@m

■ 実験室系に対して、0系は正の方向に動いている事に注意して、ローレンツ変換すると、

　E
=Γ(0.5)*EG+Λ(0.5)*pcG
~1.155*(1.155*@m)+0.577*(0.577*@m)
~(1.334+0.333)*@m
=1.667*@m

　pc
=Γ(0.5)*pcG+Λ(0.5)*EG
~1.155*(0.577*@m)+0.577*(1.155*@m)
~1.333*@m

{別解}　b=0.5[+]0.5=(0.5+0.5)/(1+0.5*0.5)=1/1.25=4/5

　Γ(4/5)=5/3　Λ(4/5)=4/3

　E=(5/3)*@m~1.667*@m　pc=(4/3)*@m~1.333*@m

〓　{計算例}エネルギーと運動量のローレンツ変換-1次元　〓

◆ 2つの慣性系 x系,X系　X系のx系に対する速さ(対光速比) b.=3/5
Γ(3/5)=5/4　Γ(3/5)*(3/5)=3/4

粒子の質量(光速の2乗倍) @m

粒子の速さ、エネルギー、運動量(光速倍)　x系で b=4/5,E,pc　X系で bK,EK,pcK

■ E/@m=Γ(4/5)=5/3　pc/@m=Γ(4/5)*(4/5)=4/3

　bK=4/5[-]3/5=(4/5-3/5)/[1-(4/5)*(3/5)]=(1/5)/(13/25)=5/13

　EK/@m=(5/4)*E/@m-(3/4)*pc/@m=(5/4)*(5/3)-(3/4)*(4/3)=13/12

　pcK/@m=(5/4)*pc/@m-(3/4)*E/@m=(5/4)*(4/3)-(3/4)*(5/3)=5/12

〓　{計算例}エネルギーと運動量のローレンツ変換-1次元　〓

★ m=0.511_MeV　b=3/5　Γ(3/5)=5/4

　EK=0.511*(5/4)~0.639_MeV　pK=0.639*(3/5)~0.383_MeV

この系に対して、b.=4/5 で動く系

で、b.=4/5　Γ(4/5)=5/3　Γ(4/5)*(4/5)=4/3

ローレンツ変換して　E=(5/3)*0.639-(4/3)*0.383~1.065-0.511=0.554_MeV

　p=(5/3)*0.383-(4/3)*0.639~0.638-0.852=-0.214_MeV

{別解}　元の系に対する粒子の速さ
=(3/5-4/5)/[1-(3/5)*(4/5)]=-(1/5)/(13/25)=-5/13　Γ(5/13)=13/12

　E=0.511*(13/12)~0.554_MeV　p=0.554*(-5/13)~-0.213_MeV

★ m=938.3_MeV　b=-4/5　Γ(4/5)=5/3

　EK=938.3*(5/3)~1564_MeV　pK=1564*(-4/5)~-1251_MeV

この系に対して、b.=3/5 で動く系で、b.=3/5　Γ(3/5)=5/4　Γ(3/5)*(3/5)=3/4

ローレンツ変換して　E=(5/4)*1564-(3/4)*(-1251)~1955+938=2893_MeV

　p=(5/4)*(-1251)-(3/4)*1564~-1564-1173=-2737_MeV

{符号について悩んだ!2015/3}

{別解}　元の系に対する粒子の速さ
=(-4/5-3/5)/[1+(4/5)*(3/5)]=-(7/5)/(37/25)=-35/37　Γ(35/37)=37/12

　E=938.3*(37/12)~2893_MeV　p=2893*(-35/37)~-2737_MeV

★

　　p2G=root(172^2-139.6^2)=root(311.6*32.4)~100.5_MeV

　b2G=100.5/172~0.584

実験室系で、Λ が 右向きに速さ 4/5 で動いていたとする。実験室系は、運動量0系に対して、b.=-4/5 で動くと考えればよいから　Γ(4/5)=5/3　Γ(4/5)*(4/5)=4/3

　E2=(5/3)*172+(4/3)*100.5~287+134=421_MeV

　p2=(5/3)*100.5+(4/3)*172~167.5+229~397_MeV

　b2=397/421~0.943

{確かめ}　b2=(0.584+0.8)/(1+0.584*0.8)=1.384/1.4672~0.943

〓　光子のエネルギーと運動量のローレンツ変換.1次元　〓

◆ 光子　2つの慣性系 x系,X系　X系のx系に対する速さ(対光速比) b.

それぞれの系で　エネルギー E,EK　運動量(光速倍) pc,pcK

■ 光子の速さは、どの系でも光速であって　E=pc　EK=pcK　が成り立つ。

　E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*EK=EK*Γ(b.)*(1+b.)

ここで　Γ(b.)=1/root(1-b.^2)　であるから、

　E=EK*root[(1+b.)/(1-b.)]　光がx軸の正の方向に動いている場合

■ 光がx軸の負の方向に動いている場合　E=-pc　EK=-pcK　{盲点!}

　E=Γ(b.)*EK-Λ(b.)*EK=EK*Γ(b.)*(1-b.)

ここで　Γ(b.)=1/root(1-b.^2)　であるから、

　E=EK*root[(1+b.)/(1-b.)]

》E=EK*root[(1-b.)/(1+b.)]　★　光のドップラー効果　遠ざかる光源から出た光のエネルギー及び運動量は小さくなる

〓　1次元運動.2つの慣性系　〓

◆ 1粒子1次元運動　2つの慣性系 x系、X系

X系のx系のx軸方向に対する速さ(対光速比) b.=一定

粒子の位置　x系で　<tc x)　X系で　<Tc X)_X

ローレンツ変換　x=Γ(b.)*X+Λ(b.)*Tc　tc=Γ(b.)*Tc+Λ(b.)*X
　X=Γ(b.)*x-Λ(b.)*tc　Tc=Γ(b.)*tc-Λ(b.)*x

粒子の速さ(対光速比)　x系で b　X系で bK　dx/dt=b*c　dX/dT=bK*c

　b=bK[+]b.=(bK+b.)/(1+bK*b.)

　Γ(b)=Γ(bK)*Γ(b.)*(1+bK*b.)　Λ(b)=Γ(bK)*Γ(b.)*(bK+b.)

　Γ(bK)=Γ(b)*Γ(b.)*(1-b*b.)　Λ(bK)=Γ(b)*Γ(b.)*(b-b.)

　Γ(b.)^2*(1-b*b.)*(1+bK*b.)=1

それぞれの系で　エネルギー E , EK　運動量(光速倍) p , pK

　E/m=Γ(b)　p/m=Γ(b)*<b>　EK/m=Γ(bK)　pK/m=Λ(bK)

　E=Γ(b.)*EK+Λ(b.)*pK　p=Γ(b.)*pK+Λ(b.)*EK

　EK=Γ(b.)*E-Λ(b.)*p　pK=Γ(b.)*p-Λ(b.)*E

それぞれの系での時間微分　dx/dt=x'=b*c　dX/dT=X'=bK*c

■ 時間の微分　dt/dT
=dtc/dTc
=d[Γ(b.)*Tc+Λ(b.)*X]/dTc
=Γ(b.)+Λ(b.)*dX/dTc
=Γ(b.)+Λ(b.)*bK
=Γ(b.)*(1+bK*b.)

　dt/dT=dtc/dTc=Γ(b.)*(1+bK*b.)　dT/dt=dTc/dtc=Γ(b.)*(1-b*b.)　★　

{確かめ}　(dt/dT)*(dT/dt)
=[Γ(b.)*(1-b*b.)]*[Γ(b.)*(1+bK*b.)]
=Γ(b.)^2*(1-b*b.)*(1+bK*b.)
=1

■ 運動量のローレンツ変換式を時間微分すると、

　pK'
=d(pK)/dT
=[d(pK)/dt]*(dt/dT)
=[Γ(b.)*p'-Λ(b.)*E']*Γ(b.)*(1+bK*b.)
=[Γ(b.)*p'-Λ(b.)*p'*b]*Γ(b.)*(1+bK*b.)
=(1-b*b.)*p'*Γ(b.)*(1+bK*b.)

　pK'/p'=(1-b*b.)*Γ(b.)^2*(1+bK*b.)

ここで、Γ(b)の公式　Γ(b.)^2*(1-b*b.)*(1+bK*b.)=1　を使うと、

　pK'/p'=1　FK/F=1　★　1次元運動では、力は変化しない

■ 運動方程式より　b'=c*F/[m*Γ(b)^3]　bK'=c*F/[m*Γ(bK)^3]

　b'/bK'=Γ(bK)^3/Γ(b)^3=[Γ(bK)/Γ(b)]^3=1/[Γ(b.)*(1+bK*b.)]^3 ★.

{別解}　b'=db/dt=(db/dT)/(dt/dT)

　db/dT={[d(bK+b.)/dT]*(1+bK*b.)-(bK+b.)*[d(1+bK*b.)/dT]}/(1+bK*b.)^2

　分子=bK'*(1+bK*b.)-(bK+b.)*bK'*b.=bK'*(1-b.^2)=bK'/Γ(b.)^2

　db/dT=bK'/[Γ(b.)*(1+bK*b.)]^2

また　dt/dT=Γ(b.)*(1+bK*b.)　だから、

　b'=bK'/[Γ(b.)*(1+bK*b.)]^3

▲ bK=0 のとき　b=b.　b'/bK'=1/Γ(b)^3　★　

粒子が静止している系(瞬間的ではあるが)での加速度が最も小さい　★　

■

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