物理 特殊相対性理論

2017/6-2015/4 Yuji.W

☆相対論.力の変換☆

_ 2つの慣性系 力の変換 ミンコフスキー力 4元力 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> x軸方向単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # ◇ 積 * 商 / 微分 ; 時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

◇ 速さ(対光速比) b 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

◇2つの慣性系◇

■【 このページで扱う2つの事象 】

2つの慣性系 x系、X系 x軸とX軸は重なる y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 X系のx系に対する速度(対光速比) <xu>*b.

1粒子 質量(光速の2乗倍) @m エネルギー x系で E , X系で EK

粒子に働く力 x系で <F>=<Fx Fy Fz> , X系で <FK>=<FKx FKy FKz>

その粒子の速度 x系で <b>=<bx by bz> , X系で <B>=<Bx By Bz>

その粒子の固有時間 x系で t , X系で T 粒子の動く速度によって時間の進み方が変わる .

※ 非相対論で <F>=<FK>

◇Γの関係◇

『特殊相対論.速度の合成.2次元』 2016/3

■ <b>=<b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx) Γ(b)*<b>=<Γ(b.)*Γ(B)*(b.+Bx) Γ(B)*By>

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx) & Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-b.*bx)

2式を掛けると

 左辺=Γ(b)*Γ(B)
 右辺=Γ(b.)^2*Γ(b)*Γ(B)*(1+b.*Bx)*(1-b.*bx) だから、

 Γ(b.)^2*(1+b.*Bx)*(1-b.*bx)=1 .

◇時間の変換◇

『特殊相対論.速度の合成.2次元』 2016/3

■ <b>=<b. 0>[+]<Bx By>=<b.+Bx By/Γ(b.)>/(1+b.*Bx)

Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx) Γ(b)*<b>=<Γ(b.)*Γ(B)*(b.+Bx) Γ(B)*By>

■【 dT/dt 】

 T=Γ(b.)*t-Γ(b.)*b.*x/c

 dT/dt=Γ(b.)-Γ(b.)*b.*(dx/dt)/c=Γ(b.)-Γ(b.)*b.*bx=Γ(b.)*(1-b.*bx) .

■【 dt/dT 】

 dt/dT=Γ(b.)*(1+b.*Bx) .

{確かめ} (dT/dt)*(dt/dT)=Γ(b.)^2*(1+b.*Bx)*(1-b.*bx)

ここで Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*Bx) & Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-b.*bx) を使うと、

 (dT/dt)*(dt/dT)=[Γ(b)/Γ(B)]*[Γ(B)/Γ(b)]=1 {なるほどね!2016/4}

◇力の変換.非相対論◇

◎ 2つの慣性系で、力は変化するのか?

■【 非相対論での運動量の関係 】

 pcx=pcKx+@m*b. & pcy=pcKy & pcz=pcKz

■【 非相対論での時間の関係 】dt/dT=1 & dT/dt=1

■【 運動方程式 】

 d(<pc>)/dt=<F>*c & d(<pcK>)/dT=<FK>*c

■【 非相対論での力の関係 】

 Fx*c=d(pcx)/dt=d(pcKx+@m*b.)/dt=d(pcKx)/dt+0=d(pcKx)/dT=FKx*c

 Fx=FKx

y成分やz成分は Fy=FKy & Fz=FKz

≫ <F>=<FK> . 非相対論

{こういう事を考える事で、相対論への理解が深まる!2016/4}

◇相対論.力の変換◇

◎ 相対論において、2つの慣性系の力の関係

『運動量のローレンツ変換.3次元』 2016/4 ◇ 運動量(光速倍) <pc>

■ pcx=Γ(b.)*pcKx+Γ(b.)*b.*EK pcy=pcKy pcz=pcKz

 E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcKx

(E,pcx,pcy,pcz)はローレンツ変換に従う

■【 運動量の関係 】

  pcx=Γ(b.)*pcKx+Γ(b.)*b.*EK pcy=pcKy pcz=pcKz

■【 時間の関係 】

 dT/dt=Γ(b.)*(1-b.*bx) & dt/dT=Γ(b.)*(1+b.*Bx)

■【 運動方程式 】

 d(<pc>)/dt=<F>*c & d(<pcK>)/dT=<FK>*c ※ ここは、非相対論と同じ

■【 エネルギーの時間微分 】

x系で d(E)/dt=<F>*<b>*c  X系で d(EK)/dT=<FK>*<B>*c

■【 運動量の時間微分 】

 d(pcKx)/dt=[d(pcKx)/dT]*(dT/dt)=(FKx*c)*Γ(b.)*(1-b.*bx)

 d(EK)/dt=[d(EK)/dT]*(dT/dt)=<FK>*<B>*c*Γ(b.)*(1-b.*bx)

■【 相対論での力のx成分の関係 】

 Fx*c
=d(pcx)/dt
=Γ(b.)*[d(pcKx)/dt]+Γ(b.)*b.*[d(EK)/dt]
=(FKx*c)*Γ(b.)^2*(1-b.*bx)+<FK>*<B>*Γ(b.)^2*b.*c*(1-b.*bx)
=c*Γ(b.)^2*(1-b.*bx)*(FKx+<FK>*<B>*b.)

 Fx=Γ(b.)^2*(1-b.*bx)*(FKx+<FK>*<B>*b.)

ここで Γ(b.)^2*(1+b.*Bx)*(1-b.*bx)=1 を使って、

 Fx=(FKx+<FK>*<B>*b.)/(1+b.*Bx) .

逆変換 FKx=(Fx-<F>*<b>*b.)/(1-b.*bx) .

■【 相対論での力のy成分の関係 】

 Fy*c
=d(pcy)/dt
=d(pcKy)/dt
=[d(pcKy)/dT]*[dT/dt]
=FKy*c*Γ(b.)*(1-b.*bx)

 Fy=FKy*Γ(b.)*(1-b.*bx)

ここで Γ(b.)^2*(1+b.*Bx)*(1-b.*bx)=1 を使って、

 Fy=FKy/[Γ(b.)*(1+b.*Bx)]

逆変換 FKy=Fy/[Γ(b.)*(1-b.*bx)]

■【 相対論での力のz成分の関係 】

 Fz=FKz/[Γ(b.)*(1+b.*Bx)]

逆変換 FKz=Fz/[Γ(b.)*(1-b.*bx)]

『相対論.力の関係』 2016/4

■ Fx=(FKx+<FK>*<B>*b.)/(1+b.*Bx)

 Fy=FKy/[Γ(b.)*(1+b.*Bx)] Fz=FKz/[Γ(b.)*(1+b.*Bx)]

■ FKx=(Fx-<F>*<b>*b.)/(1-b.*bx)

 FKy=Fy/[Γ(b.)*(1-b.*bx)] FKz=Fz/[Γ(b.)*(1-b.*bx)]

◇力の変換,粒子と共に動く系◇

◎ 瞬間的に慣性系になっていると考える

◆ 慣性系 x系 粒子の速度(対光速比) <x>*b. 粒子に働く力 <F>=<Fx Fy Fz>

粒子とともに進む系 O系 粒子に働く力 <FO>=<FOx FOy FOz>

■ O系で粒子は静止 b.=bx

 Fx=FOx Fy=FOy/Γ(b.) Fz=FOz/Γ(b.) _粒子と共に進む系での力が最大

■ x系で粒子の速度(対光速比) <u>*b. |<u>|=1

任意のベクトル <A> <A>の<u>方向成分 Au
<A>の、<u>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

 Fu=FOu <Fv>=<FOv>/Γ(b.)

『力の変換,粒子と共に進む系』

◆ x系 粒子の速度(対光速比) <u>*b. |<u>|=1

任意のベクトル <A> <A>の<u>方向成分 Au
<A>の、<u>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>
粒子に働く力 <u>*Fu+<Fv>

粒子とともに進む系 O系 粒子に働く力 <u>*FOu+<FOv>

■ Fu=FOu <Fv>=<FOv>/Γ(b.) 粒子と共に進む系での力が最大

◇直線上の運動.力◇

◆ x軸上の運動の場合 <b>=<bx 0 0> , <B>=<Bx 0 0>

■ Fx=(FKx+FKx*Bx*b.)/(1+b.*Bx)=FKx*(1+Bx*b.)/(1+b.*Bx)=FKx .力の変化はない

◇ミンコフスキー力◇

■ 1粒子3次元運動 粒子の速さ(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc>=<pcx pcy pcz>

力 <F>=<Fx Fy Fz>

固有時(粒子と共に動く仮想的な時計での時間) τ タウ dτ/dt=1/Γ(b)

ミンコフスキー力(4元力)
=[d(E , pcx , pcy , pcz)/dτ]/c
=[(E , pcx , pcy , pcz)'/(dτ/dt)]/c
=(E' , pcx' , pcy' , pcz')*Γ(b)/c
=(<b>*<F> , Fx , Fy , Fz)*Γ(b)

■ ミンコフスキー力を定義すると、ローレンツ変換できるようになる。(ローレンツ変換できるように、ミンコフスキー力を定めた)

2つの慣性系で Fμ=Γ(b)*(<b>*<F> , <F>) FμK=Γ(B)*(<B>*<FK> , <FK>)

y成分(第2成分) Fμy=Γ(b)*Fy FμKy=Γ(B)*FKy

ローレンツ変換により Fμy=FμKy ⇒ Γ(b)*Fy=Γ(B)*FKy ⇒ FKy/Fy=Γ(b)/Γ(B)

ここで Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-bx*b.) を使うと、

 FKy/Fy=1/[Γ(b.)*(1-bx*b.)]

同様に z成分(第3成分)でも FKz/Fz=1/[Γ(b.)*(1-bx*b.)]

第0成分 Fμ0=Γ(b)*<b>*<F> x成分(第1成分) Fμx=Γ(b)*Fx

X系で FμK0=Γ(B)*<B>*<FK> FμKx=Γ(B)*FKx

ローレンツ変換すると、

 FμK0
=Γ(b.)*Fμ0-Γ(b.)*b.*Fμx
=Γ(b.)*[Γ(b)*<b>*<F>]-[Γ(b.)*b.]*[Γ(b)*Fx]
=Γ(b.)*Γ(b)*[<b>*<F>-b.*Fx]

 Γ(B)*<B>*<FK>=Γ(b.)*Γ(b)*[<b>*<F>-b.*Fx]

 <B>*<FK>=Γ(b.)*Γ(b)*[<b>*<F>-b.*Fx]/Γ(B)

ここで Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-bx*b.) を使うと、

 <B>*<FK>=[<b>*<F>-b.*Fx]/(1-bx*b.)

また FμKx
=Γ(b.)*Fμx-Γ(b.)*b.*Fμ0
=Γ(b.)*[Γ(b)*Fx]-[Γ(b.)*b.]*[Γ(b)*<b>*<F>]
=Γ(b.)*Γ(b)*[Fx-b.*<b>*<F>]

 Γ(B)*FKx=Γ(b.)*Γ(b)*[Fx-b.*<b>*<F>]

ここで Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-bx*b.) を使うと、

 FKx=Γ(b.)*Γ(b)*[Fx-b.*<b>*<F>]/Γ(B)=[Fx-b.*<b>*<F>]/(1-bx*b.)

4つの成分をまとめると、

 FKx=[Fx-b.*<b>*<F>]/(1-bx*b.) .

 FKy=Fy/[Γ(b.)*(1-bx*b.)] FKz=Fz/[Γ(b.)*(1-bx*b.)] .

 EK'/c=<B>*<FK>=[E'/c-b.*Fx]/(1-bx*b.)

☆お勉強しよう 2017-2011 Yuji.W☆

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