物理 特殊相対性理論 2018/1-2015/4 Yuji.W

☆ 力のローレンツ変換

2つの慣性系 力の変換 ミンコフスキー力 4元力 _

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

デカルト座標単位ベクトル <x>,<y>,<z>
円柱座標座標単位ベクトル <hu>,<a>,<z> 球座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>

\3=2.99792458{定義値} 光速 c=\3*Ten(8)_m/sec

◇ 速度(対光速比) <b> 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2) 時間(光速倍) tc
質量(光速の2乗倍) @m 運動量(光速倍) <pc> 磁場(光速倍) <cB>

◇ 電磁気.国際単位系 真空の誘電率 ε0=Ten(7)/(4Pi*c^2)
 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)=(\3)^2*Ten(9)_N*m^2/C^2

 真空の透磁率 μ0=4Pi*ke/c^2=1/(c^2*ε0)=4Pi*Ten(-7)_N/A^2
 \e=1.6021766208 素電荷 qe=\e*Ten(-19)_C
 qe/me=1.7588*Ten(11)_C/kg

◇ 1_eV=\e*Ten(-19)_J

物理定数 力学の単位 電磁気の単位 00

〓 力のローレンツ変換 〓 .

@ 観測系が異なると、力の大きさや方向は変化するのか?

■ 力そのもののの変換を考えるのは難しい。運動方程式を使う。

 運動方程式 <力>=<運動量の時間変化>

右辺が観測系によって違う値になるのなら、力も変化すると言える。

相対論では、時間が観測系によって変わるから、<運動量の時間変化> が観測系によって違う値になる可能性が出てくる。 _

■ 2つの慣性系 x系、X系 X系はx系のx軸の方向に等速直線運動をする

X系で、y軸方向に力を受け、y軸方向に運動する場合を考える。x系では、y軸方向の長さの短縮はない。ただ、ゆっくり動くように観測される。X系で働いていた力が弱くなったと解釈される。 _

X系で、x軸方向に力を受け、x軸方向に運動する場合を考える。x系でゆっくり動くように観測されるのだが、x軸方向の長さの短縮があり、早く移動しているように観測される。2つの効果が打ち消しあって、X系で働いていた力は変化ないと解釈される。 _

〓 2つの慣性系 〓 .

■【 このページで扱う2つの事象 】

2つの慣性系 x系、X系 x軸とX軸は重なる y軸‖Y軸 z軸‖Z軸 X系のx系に対する速度(対光速比) <xu>*b.

1粒子 質量(光速の2乗倍) @m エネルギー x系で E , X系で EK

粒子に働く力 x系で <F>=<Fx Fy Fz> , X系で <FK>=<FKx FKy FKz>

その粒子の速度 x系で <bK>=<bKx bKy bz> , X系で <bK>=<bKx bKy Bz>

その粒子の固有時間 x系で t , X系で T 粒子の動く速度によって時間の進み方が変わる .

※ 非相対論で <F>=<FK>

〓 {解釈}相対論.力の変換 〓 .

@ 力が変化する?

■ y軸上に並ぶ2質点の間に働く力を考える。

観測者がx軸方向に動き出すと、その力は小さくなる{?}

観測者にとって、時間の進み方が遅くなるのだから、2質点の動きは遅くならなければならない。質点に働く力は小さくならなければならない。

■ x軸上に並ぶ2質点の間に働く力を考える。

観測者がx軸方向に動き出しても、その力は変わらない{?}

観測者にとって、時間の進み方が遅くなるのだから、2質点の動きは遅くならなければならない。だが、2質点間の距離が縮まっている。質点に働く力は小さくなる必要がない。

{以上のような事だと思う!どうなんでしょう?2018/2}

〓 Γの関係 〓 .

『特殊相対論.速度の合成.2次元』 2016/3

■ <bK>=<b. 0>[+]<bKx bKy>=<b.+bKx bKy/Γ(b.)>/(1+b.*bKx)

Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*bKx) Γ(b)*<bK>=<Γ(b.)*Γ(B)*(b.+bKx) Γ(B)*bKy>

■ Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*bKx) & Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-b.*bKx)

2式を掛けると

 左辺=Γ(b)*Γ(B)
 右辺=Γ(b.)^2*Γ(b)*Γ(B)*(1+b.*bKx)*(1-b.*bKx) だから、

 Γ(b.)^2*(1+b.*bKx)*(1-b.*bKx)=1 .

〓 時間の変換 〓 .

『特殊相対論.速度の合成.2次元』 2016/3

■ <bK>=<b. 0>[+]<bKx bKy>=<b.+bKx bKy/Γ(b.)>/(1+b.*bKx)

Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*bKx) Γ(b)*<bK>=<Γ(b.)*Γ(B)*(b.+bKx) Γ(B)*bKy>

■【 dT/dt 】

 T=Γ(b.)*t-Γ(b.)*b.*x/c

 dT/dt=Γ(b.)-Γ(b.)*b.*(dx/dt)/c=Γ(b.)-Γ(b.)*b.*bKx=Γ(b.)*(1-b.*bKx) .

■【 dt/dT 】

 dt/dT=Γ(b.)*(1+b.*bKx) .

{確かめ} (dT/dt)*(dt/dT)=Γ(b.)^2*(1+b.*bKx)*(1-b.*bKx)

ここで Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+b.*bKx) & Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-b.*bKx) を使うと、

 (dT/dt)*(dt/dT)=[Γ(b)/Γ(B)]*[Γ(B)/Γ(b)]=1 {なるほどね!2016/4}

〓 力の変換.非相対論 〓 .

◎ 2つの慣性系で、力は変化するのか?

■【 非相対論での運動量の関係 】

 pcx=pcKx+@m*b. & pcy=pcKy & pcz=pcKz

■【 非相対論での時間の関係 】dt/dT=1 & dT/dt=1

■【 運動方程式 】

 d(<pc>)/dt=<F>*c & d(<pcK>)/dT=<FK>*c

■【 非相対論での力の関係 】

 Fx*c=d(pcx)/dt=d(pcKx+@m*b.)/dt=d(pcKx)/dt+0=d(pcKx)/dT=FKx*c

 Fx=FKx

y成分やz成分は Fy=FKy & Fz=FKz

≫ <F>=<FK> . 非相対論

{こういう事を考える事で、相対論への理解が深まる!2016/4}

〓 相対論.力の変換 〓 .

◎ 相対論において、2つの慣性系の力の関係

『運動量のローレンツ変換.3次元』 2016/4 ◇ 運動量(光速倍) <pc>

■ pcx=Γ(b.)*pcKx+Γ(b.)*b.*EK pcy=pcKy pcz=pcKz

 E=Γ(b.)*EK+Γ(b.)*b.*pcKx

(E,pcx,pcy,pcz)はローレンツ変換に従う

■【 運動量の関係 】

  pcx=Γ(b.)*pcKx+Γ(b.)*b.*EK pcy=pcKy pcz=pcKz

■【 時間の関係 】

 dT/dt=Γ(b.)*(1-b.*bKx) & dt/dT=Γ(b.)*(1+b.*bKx)

■【 運動方程式 】

 d(<pc>)/dt=<F>*c & d(<pcK>)/dT=<FK>*c ※ ここは、非相対論と同じ

■【 エネルギーの時間微分 】

x系で d(E)/dt=<F>*<bK>*c  X系で d(EK)/dT=<FK>*<bK>*c

■【 運動量の時間微分 】

 d(pcKx)/dt=[d(pcKx)/dT]*(dT/dt)=(FKx*c)*Γ(b.)*(1-b.*bKx)

 d(EK)/dt=[d(EK)/dT]*(dT/dt)=<FK>*<bK>*c*Γ(b.)*(1-b.*bKx)

■【 相対論での力のx成分の関係 】

 Fx*c
=d(pcx)/dt
=Γ(b.)*[d(pcKx)/dt]+Γ(b.)*b.*[d(EK)/dt]
=(FKx*c)*Γ(b.)^2*(1-b.*bKx)+<FK>*<bK>*Γ(b.)^2*b.*c*(1-b.*bKx)
=c*Γ(b.)^2*(1-b.*bKx)*(FKx+<FK>*<bK>*b.)

 Fx=Γ(b.)^2*(1-b.*bKx)*(FKx+<FK>*<bK>*b.)

ここで Γ(b.)^2*(1+b.*bKx)*(1-b.*bKx)=1 を使って、

 Fx=(FKx+<FK>*<bK>*b.)/(1+b.*bKx) .

逆変換 FKx=(Fx-<F>*<b>*b.)/(1-b.*bKx) .

■【 相対論での力のy成分の関係 】

 Fy*c
=d(pcy)/dt
=d(pcKy)/dt
=[d(pcKy)/dT]*[dT/dt]
=FKy*c*Γ(b.)*(1-b.*bKx)

 Fy=FKy*Γ(b.)*(1-b.*bKx)

ここで Γ(b.)^2*(1+b.*bKx)*(1-b.*bKx)=1 を使って、

 Fy=FKy/[Γ(b.)*(1+b.*bKx)]

逆変換 FKy=Fy/[Γ(b.)*(1-b.*bKx)]

■【 相対論での力のz成分の関係 】

 Fz=FKz/[Γ(b.)*(1+b.*bKx)]

逆変換 FKz=Fz/[Γ(b.)*(1-b.*bKx)]

〓 相対論.力の変換 〓 .

◆ 1質点の運動 2つの慣性系 x系,X系

X系のx系に対する速さ(対光速比) <x>*b.

質点の速さ(対光速比) X系で <bK>=<bKx bKy bKz>

質点に働く力 x系で <Fx Fy Fz> X系で <FKx FKy FKz>

■ Fx=(FKx+<FK>*<bK>*b.)/(1+b.*bKx)

 Fy=FKy/[Γ(b.)*(1+b.*bKx)] Fz=FKz/[Γ(b.)*(1+b.*bKx)]

◆ 1質点の運動 2つの慣性系 x系,O系

O系で観測時刻に質点が静止していたとする
その時、x系での粒子の速度(対光速比) b.

粒子に働く力 x系で <F>=<Fx Fy Fz> O系で <FO>=<FOx FOy FOz>

■ Fx=FOx Fy=FOy/Γ(b.) Fz=FOz/Γ(b.)

〓 力の変換,粒子と共に動く系 〓 .

◎ 瞬間的に慣性系になっていると考える

◆ 慣性系 x系 粒子の速度(対光速比) <x>*b. 粒子に働く力 <F>=<Fx Fy Fz>

粒子とともに進む系 O系 粒子に働く力 <FO>=<FOx FOy FOz>

■ O系で粒子は静止 b.=bKx

 Fx=FOx Fy=FOy/Γ(b.) Fz=FOz/Γ(b.) _粒子と共に進む系での力が最大

■ x系で粒子の速度(対光速比) <u>*b. |<u>|=1

任意のベクトル <A> <A>の<u>方向成分 Au
<A>の、<u>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

 Fu=FOu <Fv>=<FOv>/Γ(b.)

〓 力の変換,粒子と共に動く系 〓 .

◎ 瞬間的に慣性系になっていると考える

◆ 慣性系 x系 粒子の速度(対光速比) <x>*b. 粒子に働く力 <F>=<Fx Fy Fz>

粒子とともに進む系 O系 粒子に働く力 <FO>=<FOx FOy FOz>

■ O系で粒子は静止 b.=bKx

 Fx=FOx Fy=FOy/Γ(b.) Fz=FOz/Γ(b.) _粒子と共に進む系での力が最大

■ x系で粒子の速度(対光速比) <u>*b. |<u>|=1

任意のベクトル <A> <A>の<u>方向成分 Au
<A>の、<u>に垂直な平面上への射影ベクトル <Av>

 Fu=FOu <Fv>=<FOv>/Γ(b.)

〓 直線上の運動.力 〓 .

◆ x軸上の運動の場合 <bK>=<bKx 0 0> , <bK>=<bKx 0 0>

■ Fx=(FKx+FKx*bKx*b.)/(1+b.*bKx)=FKx*(1+bKx*b.)/(1+b.*bKx)=FKx .力の変化はない

〓 ミンコフスキー力 〓 .

■ 1粒子3次元運動 粒子の速さ(対光速比) <bK> 運動量(光速倍) <pc>=<pcx pcy pcz>

力 <F>=<Fx Fy Fz>

固有時(粒子と共に動く仮想的な時計での時間) τ タウ dτ/dt=1/Γ(b)

ミンコフスキー力(4元力)
=[d(E , pcx , pcy , pcz)/dτ]/c
=[(E , pcx , pcy , pcz)'/(dτ/dt)]/c
=(E' , pcx' , pcy' , pcz')*Γ(b)/c
=(<bK>*<F> , Fx , Fy , Fz)*Γ(b)

■ ミンコフスキー力を定義すると、ローレンツ変換できるようになる。(ローレンツ変換できるように、ミンコフスキー力を定めた)

2つの慣性系で Fμ=Γ(b)*(<bK>*<F> , <F>) FμK=Γ(B)*(<bK>*<FK> , <FK>)

y成分(第2成分) Fμy=Γ(b)*Fy FμKy=Γ(B)*FKy

ローレンツ変換により Fμy=FμKy ⇒ Γ(b)*Fy=Γ(B)*FKy ⇒ FKy/Fy=Γ(b)/Γ(B)

ここで Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-bKx*b.) を使うと、

 FKy/Fy=1/[Γ(b.)*(1-bKx*b.)]

同様に z成分(第3成分)でも FKz/Fz=1/[Γ(b.)*(1-bKx*b.)]

第0成分 Fμ0=Γ(b)*<bK>*<F> x成分(第1成分) Fμx=Γ(b)*Fx

X系で FμK0=Γ(B)*<bK>*<FK> FμKx=Γ(B)*FKx

ローレンツ変換すると、

 FμK0
=Γ(b.)*Fμ0-Γ(b.)*b.*Fμx
=Γ(b.)*[Γ(b)*<bK>*<F>]-[Γ(b.)*b.]*[Γ(b)*Fx]
=Γ(b.)*Γ(b)*[<bK>*<F>-b.*Fx]

 Γ(B)*<bK>*<FK>=Γ(b.)*Γ(b)*[<bK>*<F>-b.*Fx]

 <bK>*<FK>=Γ(b.)*Γ(b)*[<bK>*<F>-b.*Fx]/Γ(B)

ここで Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-bKx*b.) を使うと、

 <bK>*<FK>=[<bK>*<F>-b.*Fx]/(1-bKx*b.)

また FμKx
=Γ(b.)*Fμx-Γ(b.)*b.*Fμ0
=Γ(b.)*[Γ(b)*Fx]-[Γ(b.)*b.]*[Γ(b)*<bK>*<F>]
=Γ(b.)*Γ(b)*[Fx-b.*<bK>*<F>]

 Γ(B)*FKx=Γ(b.)*Γ(b)*[Fx-b.*<bK>*<F>]

ここで Γ(B)=Γ(b.)*Γ(b)*(1-bKx*b.) を使うと、

 FKx=Γ(b.)*Γ(b)*[Fx-b.*<bK>*<F>]/Γ(B)=[Fx-b.*<bK>*<F>]/(1-bKx*b.)

4つの成分をまとめると、

 FKx=[Fx-b.*<bK>*<F>]/(1-bKx*b.) .

 FKy=Fy/[Γ(b.)*(1-bKx*b.)] FKz=Fz/[Γ(b.)*(1-bKx*b.)] .

 EK'/c=<bK>*<FK>=[E'/c-b.*Fx]/(1-bKx*b.)

お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆

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