物理 特殊相対性理論

2017/6 Yuji.W

☆相対論.等速円運動☆

. 相対論的力学 2次元 等速円運動 地球を一周する

ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 
10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $
 〔物理定数

光速 c=@3*Ten(8)_m/sec〔 @3=2.99792458{定義値} 〕 (@3)^2=@9
国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ε0*μ0*c^2=1_無次元
 CGS静電単位系 ke=1_無次元 磁場 <Bcgs> ベクトルポテンシャル <Acgs>
 [国際単位系 B=1_T] ⇔ [CGS静電単位系 Bcgs=10000_G]
 〔電磁気の単位

◇ 非相対論.等速円運動の運動方程式 ◇

◆ 1質点 質量 m 等速円運動 半径 R 速さ v

円座標(r,a) 原点:回転の中心 座標単位ベクトル <ru>,<au>

速さ v 加速度 <Ac>=v^2/R 周期 T=2Pi*R/v 力 <F>=-<ru>*F

■ R*F=m*v^2 F*T=2Pi*m*v

◇ 相対論.等速円運動 ◇

◎ 一定の向心力を受けて、等速円運動をする粒子の運動を、相対論的に考える

◆ 質量 m 等速円運動 半径 R 速度 <v> 速さ v

円座標(r,a) 原点:回転の中心 座標単位ベクトル <ru>,<au>

加速度 <Ac> 周期 T=2Pi*R/v 力 <F>=-<ru>*F

相対論効果率 Γ=Γ(v/c)=1/root[1-(v/c)^2] 相対論的運動量 <p>=m*Γ*<v>

■【 回転半径 】

相対論であっても、等速円運動をする質点の速度の方向の時間変化率は非相対論の場合と同じだから、

 <Ac>=<v>'=-<ru>*v^2/R *_{核心!}

運動方程式.相対論 <p>'=<F>

 m*(Γ*<v>)'=<F>

Γ は等速円運動の場合、時間に依らない一定の値だから (Γ*<v>)'=Γ*<v>'

 m*Γ*(-<ru>*v^2/R)=-<ru>*F

 m*Γ*v^2/R=F

 F*R=Γ*m*v^2 *_

静止質量エネルギー @m 運動量(光速倍) pc=@m*Γ(v/c)*(v/c)=E*(v/c)
全エネルギー E=@m*Γ(v/c) を使うと  *_

 F*R=Γ*m*(c*pc/E)^2=Γ*@m*(pc/E)^2=pc^2/E

 F*R*E=pc^2 *_

{やっと円運動に相対論を適用できた!2017/6}

◇ 相対論.等速円運動 ◇

◆ 質量 m m*c^2=@m 等速円運動 半径 R 速さ v 向心力 F=一定

 運動量(光速倍) pc=@m*Γ*(v/c) 全エネルギー E=Γ*@m

F*R*E=pc^2 T=2Pi*R/v

◇ 相対論的効果を検出する

◎ 等速円運動での周期を測定すれば、相対論的効果を検出できる

◆ 等速円運動 半径 R 速さ v 周期 T=2Pi*R/v

等速円運動をする物体にとっての周期 TK ずれ ΔT=T-TK

■ 等速円運動をする物体にとって、一周する距離は短くなるから、

 TK=(2Pi*R/Γ)/v=T/Γ _早く着く、時間が経過していない、時間が遅れる

■ ΔT/T=T-TK=1-1/Γ

遅いとき |v/c|<<1 Γ(b)=1+(v/c)^2/2 だから、

 1-1/Γ=1-1/[1+(v/c)^2/2]=1-[1-(v/c)^2/2]=(v/c)^2/2

 ΔT/T=(v/c)^2/2 _


◆ ジェット機で地球を一周する 半径 R=6400_km 速さ v=1000_km/h

■ v=1000_km/h=Ten(6)/3600=278_m/sec

 T=2Pi*R/v=2Pi*6400*Ten(3)/278=1.45*Ten(5)_sec~40_hour

 (v/c)=278/[3*Ten(8)]=9.27*Ten(-7)

 ΔT/T=(v/c)^2/2=[9.27*Ten(-7)]^2/2=4.30*Ten(-13)

 ΔT=[1.45*Ten(5)]*[4.30*Ten(-13)]=6.2*Ten(-8)_sec=62_nsec _

☆お勉強しよう 2011-2017 Yuji.W☆

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