お勉強しようUz〕 物理 特殊相対性理論

2017/2-2015/4 Yuji.W

相対論的力学.3次元

◎ 相対論的力学 3次元 横向きの力 荷電粒子 一様な磁場

◇ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ◆質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> 〔物理定数〕 _

◇基本的事項のまとめ◇

■ 任意のベクトル <A> で <A>^2=A^2 <A>*<A>'=A*A'

■ 相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)

 1+[Γ(b)*b]^2=Γ(b)^2 1+[Γ(b)*<b>]^2=Γ(b)^2

 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

 [Γ(b)*<b>]'=Γ(b)^3*(<b>*<b>')*<b>+Γ(b)*<b>'

■ 定義 E/@m=Γ(b) <pc>/@m=Γ(b)*<b>

■ 運動方程式 <pc>'=<p>'*c=<F>*c

「エネルギーと運動量の関係」 ◇ 時間微分 ' 2015/2

◆ 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <p> 力 <F> エネルギー E

■ 運動方程式 <pc>'=<F>*c エネルギーの時間微分 E'=<F>*<b>*c

◇力◇

◆ 質量変化のない粒子 質量 m 速度(対光速比) <b>

■ 運動量と力の関係 <pc>'=<F>*c @

相対論での運動量の定義 <pc>=@m*Γ*<b>

 <pc>'=@m*(Γ*<b>)'=@m*[Γ(b)^3*(<b>*<b>')*<b>+Γ(b)*<b>'] A

@Aより <F>*c=@m*[Γ(b)^3*(<b>*<b>')*<b>+Γ(b)*<b>'] .

☆横向きの力が作用するとき☆

◎ 相対論 進む方向に対して横向きの力が作用するとき

◆ 1粒子3次元運動 質量 m 力 <F> <b>*<F>=0 の場合

■ <F>*c=@m*[Γ(b)^3*(<b>*<b>')*<b>+Γ(b)*<b>']

両辺に <b> を掛けると、

 左辺=c*<F>*<b>=0

 右辺=@m*[Γ(b)^3*(<b>*<b>')*b^2+Γ(b)*(<b>*<b>')]

 右辺の[~]
=Γ(b)*(<b>*<b>')*{Γ(b)*b]^2+1}
=Γ(b)*(<b>*<b>')*Γ(b)^2
=(<b>*<b>')*Γ(b)^3

両辺を比べて <b>*<b>'=0 .速度⊥加速度

さらに (b^2)'=(<b>*<b>)'=2*<b>*<b>'=0

 b^2=一定 .

また <F>*c=@m*Γ(b)*<b>' .

◆ さらに |<F>|=F0=一定 の場合

■ 速さは一定で、速度ベクトルの方向だけが変わる。しかも、方向の変わり方の大きさは一定になるから、運動は等速円運動になる。

円運動をする場合、その半径は、速度に対して横向きの運動だから、相対論的効果を受けて短くなる事はない。

円運動 半径 R 速さ v0 b0=v0/c 力 F0 とすれば、

 b'*c=v0^2/R

 b'=v0^2/(c*R)

 F0*c=@m*Γ(b0)*b'=@m*Γ(b0)*[v0^2/(c*R)]

 R=Γ(b0)*(m/F0)*v0^2 .

☆荷電粒子の、一様な磁場での運動☆

◎ 相対論 一様な磁場に垂直に飛び込む電荷の運動

「Lorestz力」

■ 電荷 +q が電磁場から受ける力 <F>=q*(<E>+<v>#<B>)

◆ 粒子 質量 m 電荷 q 一様な磁場 <B>=<zu>*B0 電場なし

初速度 xy平面 初速度の大きさ v0

■ 磁場による力は、速度に垂直であるから、速度の大きさを変えない。初速度の大きさ v0 のままである。磁場による力は、進む方向を変える事に使われる。

 粒子が磁場から受ける力の大きさ F0=q*v0*B0 質量に依らない

粒子は、xy平面上で等速円軌道を描く。b0=v0/c Γ(b0)=1/root(1-b0^2)

 その円運動の半径 R
=Γ(b0)*m*v0^2/F0
=Γ(b0)*m*v0^2/(q*v0*B0)
=Γ(b0)*m*v0/(q*B0)

≫ R=Γ(b0)*m*v0/(q*B0)  回転半径が定まった

 角速度 w=v0/R=q*B0/[Γ(b0)*m]

 周期 T=2Pi*Γ(b0)*m/(q*B0)

お勉強しようUz〕 物理 特殊相対性理論 相対論的運動.3次元

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