物理 特殊相対性理論

2017/6-2015/6 Yuji.W

☆相対論的運動.1次元☆

. 特殊相対性理論 運動 力学 1次元 直線上 力一定 質量変化なし 宇宙旅行 _

【ベクトル】ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積#
【微積】微分;x 
時間微分' 積分$ 【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【光速】2.99792458=\3 c=\3*Ten(8)_m/sec=\3*Ten(10)_cm/sec
【相対論】速さ(対光速比)b 相対論的効果率Γ(b)=1/root(1-b^2)
質量(光速の2乗倍)@m 運動量(光速倍)<pc> 時間(光速倍)tc

【電磁気】クーロン力定数ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi=Ten(-7)
電場<E> 磁場<B> c*<B>=<cB> ベクトルポテンシャル<A>
【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

物理定数〕〔質量やエネルギーの単位〕〔力学の単位〕〔電磁気の単位

◇非相対論.運動方程式◇

◎ 運動方程式は「原理」だから、他の式から導き出すことはできない。運動方程式を元に E=(1/2)*m*v^2 などの式を導出する。が、逆に、 E=(1/2)*m*v^2 を原理として運動方程式を導出するという考え方もできる。

■ 3次元1質点の運動

時間微分すると (v^2)'=(<v>*<v>)'=<v>'*<v>+<v>*<v>'=2*<v>*<v>'

エネルギー E=(1/2)*m*v^2 時間微分して E'=m*<v>*<v>'

力とエネルギー E=<F>*<距離> 時間微分して E'=<F>*<v>

以上の式より m*<v>*<v>'=<F>*<v>

 m*<v>'=<F> _

運動量 <p>=m*<v> を使えば <p>'=<F>

■ 質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) b 運動量(光速倍) pc=@m*b を使うと,

 <pc>'=c*<F> _

◇相対論.運動方程式.1次元◇

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし

■ 運動量(光速倍) pc=@m*Γ(b)*b 運動方程式 pc'=c*F

 @m*[Γ(b)*b]'=c*F

 [Γ(b)*b]'=c*F/@m _相対論的力学.1次元.運動方程式

◇力一定のとき◇

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし 力 F=一定

t=0 のとき b=0 , x=0

■ [Γ(b)*b]'=c*F/@m=F/(m*c)=一定=1/t0 と置くと、

 [Γ(b)*b]'=1/t0=一定

[Γ(b)*b]'=k t=0 のとき b=0 解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

 b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2] _〔 t0=@m/(c*F)=c*m/F 〕

If{ t/t0<<1 } b=(t/t0)*[1-(t/t0)^2/2]=t/t0

If{ t/t0>>1 } b=1 _b>1 にはならない。光速度を超えない。

■ x
=c*${b*dt}
=c*${{(t/t0)/root[1+(t/t0)^2]}*dt}
=c*${t*dt/root(t^2+t0^2)}

ここで、

root(x^2+A^2) <=積分 微分=> x/root(x^2+A^2)

 x=c*root(t^2+t0^2)+積分定数

t=0 で x=0 になるようにして、

 x=c*root(t^2+t0^2)-c*t0=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1} _

■ Γ(b)=1/root(1-b^2)=root[1+(t/t0)^2] Γ(b)*b=t/t0

 E=@m*Γ(b)=@m*root[1+(t/t0)^2] pc=@m*Γ(b)*b=@m*t/t0=c*F*t

※ [運動量 ∝ 時間]であるが、[速さ ∝ 時間]でない

『相対論的運動.1次元.力一定』 2017/2-2015/8

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし 力 F=一定

t=0 で x=0 , v=0 t0=@m/(c*F)=m*c/F

■ b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2] x=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1}

 pc=@m*Γ(b)*b=@m*t/t0=c*F*t E=@m*root[1+(t/t0)^2]

※ [運動量 ∝ 時間]であるが、[速さ ∝ 時間]でない

☆宇宙旅行.等速直線運動☆

◎ まず、等速直線運動の場合

◆ ロケット 等速直線運動 速さ(対光速比) b

ロケット内の時間(同じ位置で観測) T 距離 xx

地球系の時間(異なる位置で観測) t 距離 XX

■ xx=b*c*T t/T=Γ(b) XX=b*c*t=b*c*Γ(b)*T

● 光速 c=1_光年/年

★ b=1/2 1年で 0.5光年先まで行けないのか? もっと先まで行ける{!}

Γ(1/2)~1.155

T=1_年 xx=0.5_光年 t=1.155_年 XX=0.578_光年 地球から0.578光年離れた星まで行ける(ロケット内で1年、地球系で1.155年)

T=5_年 xx=2.5_光年 t=5.775_年 XX=2.888_光年

T=10_年 xx=5_光年 t=11.55_年 XX=5.78_光年

b

Γ(b)

10年で行ける距離

0.8

5/3倍

13_光年

0.9

2.3倍

21_光年

0.99

7倍

70_光年 

0.999

22倍

223_光年

0.9999

70倍

707_光年

※ 地球から0.578光年離れた星は、ロケットにとっては、0.578/1.155~0.5_光年しか離れていない。速さ(対光速比) 1/2 で行けば、1年で行ける。

☆宇宙旅行.力一定☆

◆ 相対論 1次元 ロケット(質量 m) 次の場合を考える。

@ ロケットの質量は変化しない
A ロケットに常に m*g の力が加わる〔地球の重力加速度 g〕

※ 何かしらの装置があって、ロケットの外部から一定の力が加わる

力が一定であっても、相対論では、加速度が徐々に小さくなる。

地球系(慣性系)の時間 t ロケット内(非慣性系)の時間 T

 t0=m*c/F=m*c/(m*g)=c/g t=0 で x=0 , x'=0

■ 力一定の場合の相対論的運動の結果より、

 b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2] Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] Γ(b)*b=t/t0

 x=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1}

☆ロケット内の時間で☆

■【 地球系の時間とロケット内の時間の関係 】

ロケットの速さは徐々に増すが、加速度は徐々に小さくなる。ロケットは慣性系でない。

微少時間 dT , dt では、ロケットも等速直線運動をするとみなし、両方とも慣性系とする。ロケットの時計は、ロケット系の同じ位置で観測したもの、地球系の時計は、異なる位置で観測したものであるから、ロケット内の時計が最小になる。

 T;t=dT/dt=1/Γ(b)

ここで Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] だから、

 T;t=1/root[1+(t/t0)^2]=t0/root(t^2+t0^2)

${[1/root(x^2+a^2)]*dx}=arsinh(x/a)

 T=t0*${dt/root(t^2+t0^2)}=t0*arsinh(t/t0)

 T/t0=arsinh(t/t0)

 sinh(T/t0)=t/t0 

■【 ロケット内の時間で表して 】

cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

 1+(t/t0)^2=1+sinh(T/t0)^2=cosh(T/t0)^2

 root[1+(t/t0)^2]=cosh(T/t0)

 b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2]=sinh(T/t0)/cosh(T/t0)=tanh(T/t0)

 Γ(b)=root[1+(t/t0)^2]=cosh(T/t0)

 Γ(b)*b=t/t0=sinh(T/t0)

 x=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1}=c*t0*[cosh(T/t0)-1] 

〔ロケット内の時間 T 地球系の距離 x t0=c/g〕

{双曲線関数がピタリはまっている!2016/4}

{計算例}

■ 速さ_光年/年 時間_年 とすれば c=1_光年/年 g=1.032_光年/年^2

 t0=c/g~0.9690_年 c*t0=c^2/g~0.9690_光年

 b=tanh(T/0.969)~tanh(T)

 Γ(b)=cosh(T/0.969)~cosh(T/0.969)

 Γ(b)*b=sinh(T/0.969)~sinh(T/0.969)

 x=0.969*[cosh(T/0.969)-1]~cosh(T)-1_光年

ロケット内の時計 T

1年

2.27年

5年

10年

20年

b

0.77

0.98

0.9999

1

1

Γ(b)

1.58

5.24

87

15166

4.6*Ten(8)

x_光年

0.56光年

4.11光年

83光年

14694光年

4.4*Ten(8)光年

▲ ロケット内の時計の20年で4.4億光年先まで行ける 

地球系の時計

1年

5年

10年

20年

ロケット内の時計 T

0.87年

2.27年

2.94年

3.60年

b

0.72

0.98

0.9953

0.9988

Γ(b)

1.43

5.24

10

21

x_光年

0.42光年

4.11光年

8.7光年

19.4光年

▲ 地球系の時計の20年では、19光年先までしか行けない 


@ ロケットの質量は変化しない
A ロケットに常に m*g の力が加わる〔地球の重力加速度 g〕

前半は、m*g の力で加速し、後半は m*g の力で減速するとし、地球系での 8.22光年先の星まで往復する事を考えよう。

■ 地球系の時計で往復にかかる時間=5*4=20_年

 ロケット内の時計で往復にかかる時間=2.27*4=9.08_年 ロケット内の人は、9才しか歳をとらない{!}

☆十分な時間、十分な距離、ほぼ光速☆

◆ t/t0 >>1 , T/t0 >> 1 のとき

地球系の時間 t で

 b=t/t0/root(1+t/t0^2)=t/t0/t/t0=1 Γ(b)=root(1+t/t0^2)=t/t0

 \x=root(1+t/t0^2)-1=t/t0 x=(c*t0)*(t/t0)=c*t ほとんどの時間、ほぼ光速で動いているから

ロケット内の時間 T で

 t/t0=sinh(T/t0)=exp(T/t0)/2 b=tanh(T/t0)=1

 Γ(b)=cosh(T/t0)=exp(T/t0)/2 x/x0=cosh(T/t0)-1=exp(T/t0)/2-1

★ g=10_m/sec^2 t0=c/g=3*Ten(7)_sec~0.95_年 x=3万光年

{解} 地球系の時間で x=c*t 30000=1*t t=30000_年

 T=t0*ln(2*t/t0)=0.95*ln(2*30000/0.95)~0.95*11.05~10.5_年

{計算例}

★ F=Ten(5)_N~Ten(4)_kg重 m=Ten(-3)_kg

b=4/5 になる時 t ?

{解} m*c/F=Ten(-3)*[3*Ten(8)]/Ten(5)=3_sec

Γ(4/5)=5/3 t=3*(5/3)*(4/5)=4_sec {早い!2015/4}

★ 電子 質量 me=9.1*Ten(-31_kg) 電荷 q=1.60*Ten(-19)_C

 一様な電場 E0=500_N/C F=q*E0=一定 運動エネルギー K(t)=10*@m t ?

{解} m*c/F
=m*c/(q*E0)
=[9.1*Ten(-31)*3*Ten(8)]/[1.60*Ten(-19)*500]
=3.41*Ten(-6)_sec

 root{1+[F/(m*c)]^2*t^2}-1=10

 [F/(m*c)]^2*t^2}=120

 t
=root(120)*m*c/F
=2*root(30)*3.41*Ten(-6)
~2*5.48*3.41*Ten(-6)
~3.74*Ten(-5)_sec {早い!2015/4}

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