物理 特殊相対性理論

2017/8-2015/6 Yuji.W

☆相対論的力学.1次元.力一定の場合☆

. 特殊相対性理論 運動 力学 1次元 直線上 力一定 質量変化なし 宇宙旅行

☆ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $ ベクトル <A> その単位ベクトル <Au> 座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 内積 * 外積 # *_

◇ Γ(b)=1/root(1-b^2) ◇

◆ 関数 Γ(b)=1/root(1-b^2) 〔 0<b<1 〕※ |b|<1 でもよい

■ 時間微分 ' Γ(b)'=Γ(b)^3*b*b' [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'

■ Γ(b)^2=1+[Γ(b)*b]^2

■ b(t) の微分方程式 [Γ(b)*b]'=Γ(b)^3*b'=k=一定

 解 b=k*t/root(1+k^2*t^2)

◇ 相対論.運動方程式.1次元 ◇

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし

■ 運動量 p=m*c*Γ(b)*b 運動方程式 p'=F

⇒ [Γ(b)*b]'=F/(c*m)

 Γ(b)^3*b'=F/(c*m) _相対論的力学.1次元.運動方程式

◇ 力一定のとき ◇

◎ 力一定でも、相対論では加速度一定にはならない。速さが増せば、加速度は小さくなる。速さは増しにくくなる。

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし 力 F=一定 F/(c*m)=1/t0

t=0 のとき b=0 , x=0

■【 速さ(対光速比) 】

運動方程式 Γ(b)^3*b'=F/(c*m)=1/t0=一定

 解 b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2] *_

■【 Γ(b) 】

 1-b^2=1-(t/t0)^2/[1+(t/t0)^2]=1/[1+(t/t0)^2]

 Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] Γ(b)*b=t/t0 *_

 b'=(1/t0)/Γ(b)^3=(1/t0)/[1+(t/t0)^2]^(3/2)

■【 距離 】

 x
=c*${b*dt}
=c*${{(t/t0)/root[1+(t/t0)^2]}*dt}
=c*${t*dt/root(t^2+t0^2)}

ここで、

root(x^2+A^2) <=積分 微分=> x/root(x^2+A^2)

 x=c*root(t^2+t0^2)+積分定数

t=0 で x=0 になるようにして、

 x=c*root(t^2+t0^2)-c*t0=c*t0*[Γ(b)-1] *_

◇ 粒子系で ◇

◎ 力一定の場合、粒子と共に動く系を考える。

◆ 粒子と共に動く系 X系 慣性系でない 時間 T 位置 X

観測者系 x系 慣性系 時間 t 位置 x

■【 微小時間の関係 】

微少時間 dT , dt では、等速直線運動をするとみなし、両方とも慣性系とする。T はX系の同じ位置で観測したもの、t はx系の異なる位置で観測したものであるから、

 dT/dt=1/Γ(b)

■【 時間の関係 】

Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] だから、

 T;t=1/root[1+(t/t0)^2]=t0/root(t^2+t0^2)

${[1/root(x^2+a^2)]*dx}=arsinh(x/a)

 T=t0*${dt/root(t^2+t0^2)}=t0*arsinh(t/t0)

 T/t0=arsinh(t/t0)

 sinh(T/t0)=t/t0 *_

■【 T で表して 】

cosh(x)^2-sinh(x)^2=1 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

 1+(t/t0)^2=1+sinh(T/t0)^2=cosh(T/t0)^2

 root[1+(t/t0)^2]=cosh(T/t0)

 b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2]=sinh(T/t0)/cosh(T/t0)=tanh(T/t0)

 Γ(b)=root[1+(t/t0)^2]=cosh(T/t0)

 Γ(b)*b=t/t0=sinh(T/t0)

 x=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1}=c*t0*[cosh(T/t0)-1] *_

{双曲線関数がピタリはまっている!2016/4}

◇ 力一定の場合 ◇

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし 力 F=一定 F/(c*m)=1/t0

x系 慣性系 時間 t 位置 x t=0 のとき b=0 , x=0

粒子と共に動く系 X系 慣性系でない 時間 T 位置 X=0

Γ(b)*b=t/t0 Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] b=(t/t0)/Γ(b)

■ sinh(T/t0)=t/t0 Γ(b)*b=sinh(T/t0) Γ(b)=cosh(T/t0) b=tanh(T/t0)

x/(c*t0)=Γ(b)-1 b'*t0=1/Γ(b)^3
t/t0 0 0.1 0.5 1 2 3 5
Γ(b)*b=t/t0 0 0.1 0.5 1 2 3 5
T/t0=arsinh(t/t0) 0 0.099 0.481 0.881 1.444 1.818 2.312
Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] 1 1.005 1.118 1.414 2.236 3.162 5.099
b=(t/t0)/Γ(b) 0 0.0995 0.447 0.707 0.894 0.949 0.981
x/(c*t0)=Γ(b)-1 0 0.005 0.118 0.414 1.236 2.162 4.099
b'*t0=1/Γ(b)^3 1 0.985 0.673 0.354 0.089 0.032 0.008

◇ 力 m*g の場合

◆ F=m*g 地球の重力加速度{定義値} g=9.81_m/sec^2=1.032_光年/年^2

c=1_光年/年 t0=(c*m)/F=(c*m)/(m*g)=c/g=0.969_年 t=5_年

■ t/t0=5/0.969=5.16 c*t0=0.969_光年 Γ(b)*b=5.16

 Γ(b)=root(1+5.16^2)=root(1+5.16^2)=root(27.6256)=5.256

 b=5.16/5.256=0.982 x=0.969*4.256=4.12_光年

 T=0.969*arsinh(5.16)=0.969*2.343=2.27_年

t

1年

5年

10年

20年

T

0.87年

2.27年

2.94年

3.60年

b

0.72

0.98

0.9953

0.9988

Γ(b)

1.43

5.26

10

21

x_光年

0.42光年

4.12年

8.7光年

19.4光年

▲ 地球系の時計の20年では、19光年先までしか行けない 

ロケット内の時計 T

1年

2.27年

5年

10年

20年

b

0.77

0.98

0.9999

1

1

Γ(b)

1.58

5.24

87

15166

4.6*Ten(8)

x_光年

0.56光年

4.12光年

83光年

14694光年

4.4*Ten(8)光年

▲ ロケット内の時計の20年で4.4億光年先まで行ける 

◇ 十分な時間、十分な距離、ほぼ光速 ◇

◆ t/t0 >>1 , T/t0 >> 1 のとき

時間 t で

 b=t/t0/root(1+t/t0^2)=t/t0/t/t0=1 Γ(b)=root(1+t/t0^2)=t/t0

 \x=root(1+t/t0^2)-1=t/t0 x=(c*t0)*(t/t0)=c*t ほとんどの時間、ほぼ光速で動いているから

時間 T で

 t/t0=sinh(T/t0)=exp(T/t0)/2 b=tanh(T/t0)=1

 Γ(b)=cosh(T/t0)=exp(T/t0)/2 x/x0=cosh(T/t0)-1=exp(T/t0)/2-1

★ g=10_m/sec^2 t0=c/g=3*Ten(7)_sec~0.95_年 x=3万光年

{解} 地球系の時間で x=c*t 30000=1*t t=30000_年

 T=t0*ln(2*t/t0)=0.95*ln(2*30000/0.95)~0.95*11.05~10.5_年

◇ {計算例} ◇

★ F=Ten(5)_N~Ten(4)_kg重 m=Ten(-3)_kg

b=4/5 になる時 t ?

{解} m*c/F=Ten(-3)*[3*Ten(8)]/Ten(5)=3_sec

Γ(4/5)=5/3 t=3*(5/3)*(4/5)=4_sec {早い!2015/4}

★ 電子 質量 me=9.1*Ten(-31_kg) 電荷 q=1.60*Ten(-19)_C

 一様な電場 E0=500_N/C F=q*E0=一定 運動エネルギー K(t)=10*@m t ?

{解} m*c/F
=m*c/(q*E0)
=[9.1*Ten(-31)*3*Ten(8)]/[1.60*Ten(-19)*500]
=3.41*Ten(-6)_sec

 root{1+[F/(m*c)]^2*t^2}-1=10

 [F/(m*c)]^2*t^2}=120

 t
=root(120)*m*c/F
=2*root(30)*3.41*Ten(-6)
~2*5.48*3.41*Ten(-6)
~3.74*Ten(-5)_sec {早い!2015/4}

inserted by FC2 system