お勉強しようUz〕 物理 特殊相対性理論

2017/2-2015/6 Yuji.W

☆相対論的力学.2次元☆

. 相対論的力学 2次元

◇ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 内積* 外積# 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ◆質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> 〔物理定数〕 _

Fy=一定.非相対論◇

◆ xy平面上の運動 粒子の質量 m

y軸方向にのみ一定の力 Fy が働く 力 <0 Fy>=一定

速度 <vx vy> 運動量 <px py> t=0 で x=y=0 , vx=v0 , vy=0

■【 非相対論で 】

運動量 <px py>=m*<vx vy>

運動方程式(時間微分') <px py>'=<0 Fy>

 vx=v0 px=m*v0 vy=(Fy/m)*t py=Fy*t _

力のx成分はないから、x軸方向の速さは一定で、x軸方向の運動量は保存される。
y軸方向の速さと運動量は時間に比例している。
軌道は放物線になる。

{復習}運動方程式.相対論

『相対論的運動方程式』 時間微分 ' 2017/2-2015/2

◆ 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc> 力 <F>

■ 運動方程式 <pc>'=c*<F>

『相対論的運動.1次元.力一定』 2017/2-2015/8

◆ 1粒子1次元の相対論的運動 質量の変化なし 力 F=一定

t=0 で x=0 , v=0 t0=@m/(c*F)=m*c/F

■ b=(t/t0)/root[1+(t/t0)^2] x=c*t0*{root[1+(t/t0)^2]-1}

 pc=@m*Γ(b)*b=@m*t/t0=c*F*t E=@m*root[1+(t/t0)^2]

※ [運動量 ∝ 時間]であるが、[速さ ∝ 時間]でない

Fy=一定.相対論

※ 以下の量を使う 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc 速度(対光速比) <b> 運動量(光速倍) <pc>

◆ xy平面上の運動 質量(光速の2乗倍) @m

y軸方向にのみ一定の力 Fy が働く 力 <0 Fy>=一定

速度(対光速比) <bx by> 運動量(光速倍) <pcx pcy>

t=0 で x=y=0 , bx=B , by=0

相対論的効果率 Γ(bx,by)=1/root(1-bx^2-by^2) Γ(B)=1/root(1-B^2)

t0=@m/(c*Fy)=c*m/Fy

■【 運動量 】

運動量 <pcx pcy>=Γ(vx,vy)*<vx vy>*@m

運動方程式(時間微分') <pcx pcy>'=c*<0 Fy>

 pcx'=0 & pcy'=c*Fy

 pcx=一定=Γ(B)*B*@m & pcy=c*Fy*t _x軸方向の運動量は保存され、y軸方向の運動量は時間に比例している。(非相対論と同じ)

■【 速度 】

相対論では、運動量と速度は比例しないので、bx=一定 とはならない。 _

 bx
=pcx/[@m*Γ(vx,vy)]
=Γ(B)*B/Γ(vx,vy)
=Γ(B)*B*root(1-bx^2-by^2)

& by=pcy/[@m*Γ(vx,vy)]=(c*Fy/@m)*t*root(1-bx^2-by^2)

t0=@m/(c*Fy)=c*m/Fy を使うと、

 bx=Γ(B)*B*root(1-bx^2-by^2) @ & by=(t/t0)*root(1-bx^2-by^2) A

■【 bx と by の関係 】

@より bx^2=Γ(B)^2*B^2*(1-bx^2-by^2)

 [1+Γ(B)^2*B^2]*bx^2+Γ(B)^2*B^2*by^2=Γ(B)^2*B^2

ここで 1+Γ(B)^2*B^2=1+B^2/(1-B^2)=1/(1-B^2)=Γ(B)^2 だから、

 Γ(B)^2*bx^2+Γ(B)^2*B^2*by^2=Γ(B)^2*B^2

 bx^2+B^2*by^2=B^2

 bx^2/B^2+by^2=1 _B

bx,byのグラフは、楕円
t=0 で bx=B , by=0 by が増加するにつれて、bx は減少する by=1 で bx=0

■【 bx と by を求める 】

by を求める

Aより by^2=(t/t0)^2*(1-bx^2-by^2)

 (t/t0)^2*bx^2+[1+(t/t0)^2]*by^2=(t/t0)^2

Bと比べて bx を消去して、

 [1+(1-B^2)*(t/t0)^2]*by^2=(1-B^2)*(t/t0)^2

Γ(B)^2=1/(1-B^2) である事に注意して、

 [1+(t/t0)^2/Γ(B)^2]*by^2=(t/t0)^2/Γ(B)^2

 [Γ(B)^2+(t/t0)^2]*by^2=(t/t0)^2

 by=(t/t0)/root[Γ(B)^2+(t/t0)^2] _C

bx を求める

BCより

 bx^2
=B^2-B^2*by^2
=B^2-B^2*(t/t0)^2/[Γ(B)^2+(t/t0)^2]
=B^2*[Γ(B)^2+(t/t0)^2-(t/t0)^2]/[Γ(B)^2+(t/t0)^2]
=Γ(B)^2*B^2/[Γ(B)^2+(t/t0)^2]

 bx=Γ(B)*B/root[Γ(B)^2+(t/t0)^2] _D

≫ bx=Γ(B)*B/root[Γ(B)^2+(t/t0)^2] & by=(t/t0)/root[Γ(B)^2+(t/t0)^2] _

■【 bx^2+by^2 】

 bx^2+by^2=[Γ(B)^2*B^2+(t/t0)^2]/[Γ(B)^2+(t/t0)^2]

ここで 初速度(対光速比) B<1 であるから、

 bx^2+by^2<1 _光速を超える事はない

『Fy=一定.相対論』 2017/1

◆ xy平面上の運動 質量(光速の2乗倍) @m

y軸方向にのみ一定の力 Fy が働く 力 <0 Fy>=一定

速度(対光速比) <bx by> 運動量(光速倍) <pcx pcy>

t=0 で x=y=0 , bx=B , by=0

相対論的効果率 Γ(bx,by)=1/root(1-bx^2-by^2) Γ(B)=1/root(1-B^2)

t0=@m/(c*Fy)=c*m/Fy

■【 運動量 】pcx=Γ(B)*B*@m & pcy=c*Fy*t

■【 速度 】

 bx=Γ(B)*B/root[Γ(B)^2+(t/t0)^2] by=(t/t0)/root[Γ(B)^2+(t/t0)^2]

 bx^2/B^2+by^2=1 bx と by のグラフは楕円

 bx^2+by^2=[Γ(B)^2*B^2+(t/t0)^2]/[Γ(B)^2+(t/t0)^2] < 1

{わ-い!うまくまとまった!自力で解いた!2017/1/31}

お勉強しようUz〕 物理 特殊相対性理論 相対論的力学.2次元

inserted by FC2 system